定积分的物理应用

1. F(x) x a x+dx b 定积分的物理应用 一. 变力沿直线作功 若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,. 则W=Fs 若物体在变力F(x)作用下沿力的方向 由x=a移到x=b,可用微元法解决做功问题. 取x为积分变量, 变化区间为[a,b]. dW=F(x)dx 相应于任意小区间[x,x+dx]的功的微元 则

2. 0 y 1 x x+dx 3 (3,2) x 例1 设9.8牛顿的力能使弹簧伸长1厘米, 求伸长10厘米需作多少功? 解 已知 F=kx, 而x=0.01米时, F=9.8牛顿, 所以k=980. 从而 F=980x. 由公式 (焦耳) 例2 形如圆锥台的水桶内盛满了水(如图), 问将全部水吸出需作多少功? (水比重为9800牛顿/立方米) 解 设想将水分成许多薄层, 吸出各层水所作的功的总和即为所求.

3. 0 y 1 x x+dx 3 (3,2) x 取x为积分变量,变化区间为 [0,2].相应于任意小区间[x,x+dx] 的薄层水近似于圆柱, 吸出这层水的位移近似于x. 因此功的微元 则 例3 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的 绳子系着,将它从20m深的井里提上来需作多少功?

4. o x x+dx 20 x 解 将水桶从井里提上来所作的功为 将绳子从井里提上来所作的功, 即变力沿直线作的功为 则所作的总功为

5. o y a x y=f(x) x+dx b x 二. 静液压力 设有一面积为A的平板,水平放置在液体下深度h处,则平板一侧所受压力为 N=hA. (为液体比重) 如果平板垂直放置在液体下, 则平板一侧所受压力须用微元法解决. 以如图曲边梯形为例: 取x为积分变量,变化区间为[a,b]. 相应于[x,x+dx]的窄条所受到的压力 近似于水深x处水平放置的 长方形窄条所受的压力.

6. o y a x y=f(x) x+dx b x y o x 则压力微元为dN= xydx= xf(x)dx 因此整个平板所受压力为 例4 一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶油(比重),求一个端面所受的压力. 解 由对称性 从而转化为上述曲边梯形情形,即

7. o 2 y (2,1) 2 x 例5 求如图的等腰梯形水闸门一侧所受的压力. 解 由对称性 也可转化为曲边梯形情形,曲边为 则压力为 三. 引力 由万有引力定律,两质点之间的引力为 若要计算细棒对质点的引力,须用微元法解决.

8. a l x o x x+dx 例6 设有质量为M,长度为l的均匀细杆, 另有一质量为m的质点位于同一直线上, 且到杆的近段距离为a,求杆对质点的引力. 取x为积分变量,变化区间为[0,l], 任意小段[x,x+dx]近似于质点,且质量为 则引力微元为

9. a l x o x x+dx 则引力为 四. 连续函数的平均值 n个数的平均值为 而连续函数f(x)在区间[a,b]上的平均值, 需要用定积分计算.

10. 将[a,b]n等分,在每个小区间上依次任取 则 由定积分定义可知

11. 注意: 积分中值定理中的f()就是f(x) 在区间[a,b]上的平均值. 例1 求从0秒到T秒这段时间内 自由落体的平均速度. 解