บทที่ 5 Linear momentum and collision พิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นตีลูกกอล์ฟด้วยไม้กอล์ฟ ลูกกอล์ฟ จะมีความเร็วเริ่มต้น

1. บทที่ 5 Linear momentum and collision พิจารณาว่าเกิดอะไรขึ้นตีลูกกอล์ฟด้วยไม้กอล์ฟ ลูกกอล์ฟ จะมีความเร็วเริ่มต้น (initial velocity)สูงมากเป็นผลเนื่องมาจากการตีบางครั้งอาจเคลื่อนที่ได้ไกลมากกว่า100 เมตร โดยลูกกอล์ฟได้รับความเร่งอย่างมากในช่วงเวลาอันสั้น แรงเฉลี่ยที่กระทำต่อลูกกอล์ฟ ระหว่างการชนมีค่ามาก ซึ่งสอดคล้องกับกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน ปรากฏกฎว่ามีแรง ปฎิกิริยา ที่ไม้ตีกอล์ฟและมีทิศทางตรงข้ามกับแรงที่กระทำต่อลูกกอล์ฟเนื่องจากไม้กอล์ฟหนักกว่า ลูกกอล์ฟมากฉะนั้นการเปลี่ยนแปลงความเร็ว ไม้ตีกอล์ฟจะมีค่าน้อยกว่าการเปลี่ยนแปลง ความเร็วของลูกกอล์ฟ จุดประสงค์หลักที่จะกล่าวในบทนี้ คือ นักศึกษาควรทำความเข้าใจและสามารถ วิเคราะห์เหตุการณ์การชนกันระหว่าอนุภาคในที่นี้เราจะเริ่มต้นด้วยการทำความเข้าใจในเรื่อง โมเมนตัม (momentum) ซึ่งสามารถใช้อธิบาย การเคลื่อนที่ของวัตถุได้ ตัวอย่างเช่น

2. นักฟุตบอล ขณะวิ่งลงสนามจะมีโมเมนตัมสูงกว่านักฟุตบอลอีกคนหนึ่งที่มีมวลน้อยกว่า นักฟุตบอลคนแรก นักฟุตบอลคนที่สองจะต้องวิ่งให้เร็วกว่าคนแรก จึงจะทำให้มีโมเมนตัม เท่ากันได้ เช่นนี้เราสามารถนิยามได้ว่า " โมเมนตัมเท่ากับผลคูณระหว่างมวลกับความเร็ว " แนวคิดเรื่องโมเมนตัมเป็นหนทางให้เราสามารถศึกษาได้ว่ มีการอนุรักษ์โมเมนตัม ( momentum conservation ) กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมช่วยให้เราสามารถศึกษาวิเคราะห์ การชนกันระหว่างวัตถุและการยิงจรวดออกนอกโลก นอกจากนี้ศึกษาเรื่องศูนย์กลางมวล (center of mass) ของระบบอนุภาคที่มีมากกว่าหนึ่งอนุภาค เราจะพบว่าการเคลื่อนที่ของ ระบบอนุภาคนั้นเราสามารถศึกษาได้โดยพิจารณาศึกษาการเคลื่อนที่ของศูนย์กลางมวล

3. 5.1 โมเมนตัมเชิงเส้นและการอนุรักษ์โมเมนตัม( the linear momentum and its conservation) โมเมนตัมเชิงเส้น(linear momentum)ของอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v นิยามว่า เป็นผลคูณระหว่างมวลกับความเร็ว 5.1 โมเมนตัมเชิงเส้นเป็นปริมาณเวกเตอร์และมีทิศเดียวกับความเร็ว v มีมิติหน่วยเป็น ML/T ในระบบ SI หน่วยของโมเมนตัมเชิงเส้นเป็น kg.m/s กรณีที่อนุภาคเคลื่อนที่ในทิศทางใด ๆ สามารถแตกโมเมนตัม p ออกเป็นองค์ประกอบย่อย ในทิศ x , y และ z ได้ดังนี้ จากนิยามดังกล่าวจะพบว่าอนุภาคที่เบา กับอนุภาคที่หนักแม้จะมีความเร็วเท่ากัน แต่โมเมนตัมจะแตกต่างกัน เช่น โมเมนตัมของลูกโบลิ่งเคลื่อนที่ 10 m/s จะมีค่ามากกว่า โมเมนตัมของลูกเทนนิสที่มีความเร็วเท่ากับลูกโบลิ่ง 5.2

4. จากนิยามดังกล่าวจะพบว่าอนุภาคที่เบา กับอนุภาคที่หนักแม้จะมีความเร็วเท่ากัน แต่โมเมนตัม จะแตกต่างกัน เช่น โมเมนตัมของลูกโบลิ่งเคลื่อนที่ 10 m/s จะมีค่า มากกว่าโมเมนตัมของ ลูกเทนนิสที่มีความเร็วเท่ากับลูกโบลิ่ง นิวตันนิยามปริมาณโมเมนตัมว่าเป็นปริมาณการเคลื่อนที่ (quantity of motion) โดย อาศัยกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน เราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาค กับแรงลัพท์ที่กระทำต่ออนุภาค จะพบว่า "อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาค จะมีค่าเท่ากับแรงลัพท์ที่กระทำต่ออนุภาค" กล่าวคือ 5.3 จากสมการ 5.3 จะพบว่าถ้าแรงลัพธ์มีค่าเป็นศูนย์ อัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจะมีค่า เป็นศูนย์อธิบายได้ว่า ค่าโมเมนตัมมีค่าคงที่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า โมเมนตัมเชิงเส้น ของอนุภาคจะมีค่าคงที่เมื่อ จะพบว่า ถ้าอนุภาคเป็นระบบโดดเดี่ยว (isolated system ) ค่า จึงสรุปได้ว่า p มีค่าไม่เปลี่ยนแปลง

5. การอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ 2 อนุภาค พิจารณาอนุภาค 2 อนุภาค มีอันตรกิริยาต่อกันและกัน แต่โดดเดี่ยวจากสภาพแวดล้อม ดังแสดงในรูป5.1 กล่าวคืออนุภาคทั้งสองต่างมีแรงต่อกัน โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ ให้ย้อนกลับไปในบทที่ 4 กฎข้อ 3 ของนิวตัน กล่าวได้ว่าแรงที่มีต่ออนุภาคทั้งสองจะมีขนาด เท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้ามกัน ดังนั้นถ้ามีแรงภายใน เช่น แรงโน้มถ่วงมากระทำต่อ อนุภาคที่ 1 แล้วจะปรากฎมีแรงกระทำต่ออนุภาคที่ 2 โดยขนาดแรงเท่ากันต่างกันตรงที่มี ทิศตรงข้ามกัน รูป5.1 ระบบ 2 อนุภาค

6. ถ้าหากที่เวลาใด ๆ p1 = โมเมนตัมของอนุภาคที่ 1 p2 = โมเมนตัมของอนุภาคที่ 2 และใช้กฎข้อ 2 ของนิวตันต่อแต่ละอนุภาคเราสามารถเขียนได้ว่า เมื่อ F21 = แรงที่กระทำโดยอนุภาคที่ 2 ต่ออนุภาคที่ 1 F12 = แรงที่กระทำโดยอนุภาคที่ 1 ต่ออนุภาคที่ 2

7. แรงดังกล่าวนี้อาจเป็นแรงโน้มถ่วงหรือแรงประเภทอื่นก็ได้ จากกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน พบว่า หรือเขียนได้ว่า ซึ่งมีความหมายทางฟิสิกส์ว่าโมเมนตัมรวม ( total momentum) มีค่าคงที่กล่าวคือ 5.4 หรือเท่ากับว่า

8. เมื่อ 1. P1i และ P2i คือโมเมนตัมเริ่มต้น ( the initial value of the momentum) 2. P1f และ P2f คือโมเมนตัมสุดท้าย ( the final value of the momentum) เมื่อเวลาเปลี่ยนแปลง dt อาจจะเขียนโมเมนตัมเป็นองค์ประกอบย่อยทางแกน x , y และ z ได้ดัง (5.6) ผลที่ได้นี้รู้จักกันว่าเป็น กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น ซึ่งมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์ กลศาสตร์ของวัตถุ กฎนี้บอกเราว่าโมเมนตัมรวมของระบบอนุภาคที่เป็นระบบโดดเดี่ยว กล่าวคือไม่มีแรงจากภายนอกมากระทำ ค่าโมเมนตัมรวมของระบบจะมีค่าคงที่

9. ตัวอย่าง 5.1 The floating astronaut นักบินอวกาศของเครื่อง SkyLab พบว่าขณะที่เขาตั้งใจเขียนโน๊ตอยู่ เขาได้ลอย ไปอยู่ที่กลางยานอวกาศ (the spacecraft) เขาไม่ต้องการที่จะรอจนกระทั่งเขาลอยไปถึงด้าน ตรงข้าม นักบินอวกาศจึงตัดสินใจถอดชุด uniform ออกและขว้างออกไปในทิศทางที่ตรงข้าม กับทิศที่เขาต้องการไป จงประมาณค่าความเร็วของนักบินอวกาศที่เกิดขึ้น รูป5.2 นักบินอวกาศขว้าง uniform

10. วิธีทำ เราจะเริ่มต้นคิดด้วยการเดาโดยใช้ข้อมูลอย่างมีเหตุผล โดยเราสมมติว่านักบินอวกาศ มีมวล 70 kg และได้ขว้างเสื้อ uniform มวล 1 kg ด้วยความเร็ว 20 m/s เพื่อความสดวกเรา จะกำหนดให้ ทิศทางในแกน x ด้านบวกเป็นทิศทางในการโยนเสื้อ ดังรูป 5.2 เรากำหนดให้ระบบประกอบด้วยนักบินอวกาศและเสื้อ uniform และเนื่องจากแรงดึงดูด ( ซึ่งยังรักษาให้นักบินอวกาศ เสื้อ uniform และ spacecraft ยังอยู่ในวงโคจร ทำให้ระบบไม่ใช่ ระบบโดดเดี่ยวที่แท้จริง( not really isolated) โดยแรงนี้มีทิศทางตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของระบบ ดังนั้นโมเมนตัมจะมีค่าคงที่ในทิศทางของแกน x เพราะว่าไม่มีแรงจากภายนอกมากระทำในทิศนี้ โมเมนตัมรวมของระบบก่อนการขว้างเสื้อมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นโมเมนตัมรวม ของระบบหลังขว้างเสื้อก็มีค่าเป็นศูนย์

11. เมื่อ m1 คือมวลนักบินอวกาศ 70 kg m2 คือมวลของเสื้อ uniform 1 kg v2f คือความเร็วในการขว้างเสื้อ uniform 20 im/s v1f the recoil velocity of the astronaut เครื่องหมายลบของความเร็ว v1f มีความหมายว่า นักบินอวกาศเคลื่อนที่ไปทางด้านซ้าย หลังจากขว้างเสื้อ uniform ( ทิศทางตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ของ uniform ) ซึ่งสอดคล้อง กับกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน เพราะว่านักบินอวกาศมีมวลมากกว่าเสื้อ uniform ความเร่งและ ความเร็วที่เป็นผลตามมา จะมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับความเร่งและความเร็วของ uniform

12. ตัวอย่างที่ 5.2 Breakup of a kaon at rest เมซอน (mason) เป็นอนุภาคมูลฐานในนิวเคลียสมีมวลมากกว่าอิเล็กตรอน แต่ น้อยกว่ามวลของโปรตอน หรือของนิวตรอน อนุภาคเมซอนชนิดหนึ่ง คือเคออน ( Kaon ) ซึ่งสลายเป็นไพออน (Pion) คู่หนึ่ง ที่มีประจุต่างคือ แต่มีมวลเท่ากัน ดังแสดง ในรูป 5-3 pion เป็นอนุภาคที่มีแรงทางนิวเคลียร์แรงมากช่วยให้โปรตรอนอยู่กับนิวตรอนได้ สมมติว่าเมื่อเริ่มต้น kaon อยู่นิ่งอยู่กับที่ ให้พิสูจน์ว่าการ pion ทั้งสองจะต้องมีโมเมนตัม ขนาดเท่ากัน และมีทิศทางในการเคลื่อนที่ตรงข้ามกัน รูป 5-3 kaon ในสถานะหยุดนิ่งแตกออกเป็นคู่ของ pions ที่มีประจุตรงข้ามกัน และ pions เคลื่อนที่ออกจากกันด้วยโมเมนตัมที่เท่ากัน แต่มีทิศทางตรงข้ามกัน

13. การแตกออกของ kaon สามารถเขียนได้ดังนี้ ถ้าเราให้ P+ เป็นโมเมนตัมของไพออนบวก ( positive pion) P- เป็นโมเมนตัมของไพออนลบ (negative pion ) โมเมนตัมสุดท้าย (the final momentum) ของระบบซึ่งประกอบด้วย pion 2 ตัว สามารถเขียน ได้ดังนี้ เนื่องจาก kaon อยู่ในสถานะหยุดนิ่งก่อนที่จะแตกตัวดังนั้น Pi = 0 เนื่องจากโมเมนตัมมี การอนุรักษ์ดังนั้น

14. ดังนั้น สรุปได้ว่าโมเมนตัมของ มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศทางตรงกันข้าม

15. การดลและโมเมนตัม ( impulse and momentum) เราพบว่าโมเมนตัมของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลง ถ้ามีแรงกระทำต่ออนุภาค การเปลี่ยนแปลง โมเมนตัมซึ่งมีสาเหตุจากแรงมีประโยชน์ในการใช้ แก้ปัญหาโจทย์บางประเภท โดยสมมติ ให้มีแรงเดี่ยว F กระทำต่ออนุภาค และแรงนี้มีค่าไม่คงที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาจากกฎ ข้อที่ 2 ของนิวตัน F = dp/dt หรือ dp = Fdt 5.7 ทำการ integrate 5.7 เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอนุภาคเมื่อมีแรงกระทำต่ออนุภาค ในช่วงเวลาหนึ่งถ้าโมเมนตัมของอนุภาคเปลี่ยนจาก p1 ณ เวลา t1 เป็น p2 ณ เวลา t2 จะได้ว่า 5.8 ปริมาณทางด้านขวามือของ 5.8 เรียกว่าการดล( impulse ) ของแรง F ในช่วงเวลา นิยามการดล I เป็น

16. สรุปได้ว่าการดลของแรง F ในช่วงเวลา Dt คือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม DP ข้อความดังกล่าวเรียกว่าเป็นทฤษฎีโมเมนตัม- การดล(impulse-momentum theorem) ซึ่งสมมูลกับกฎข้อที่ 2 ของนิวตัน จากนิยามดังกล่าวข้างต้น ปริมาณการดล เป็นปริมาณ เวคเตอร์ มีขนาดเท่ากับพื้นที่ ใต้กราฟเส้นโค้ง ของแรงกับเวลา ดังแสดงในรูป 5.4 ก)ในรูป ดังกล่าวเราถือว่าแรงแปลไปกับเวลา และมีค่าไม่เป็นศูนย์ในช่วงเวลา ทิศทางของ เวคเตอร์การดลจะมีทิศเดียวกับทิศการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม หน่วยของการดลเป็นมิติ เดียวกับโมเมนตัม คือ ML/T (Mass Length / Time ) ปริมาณการดลไม่เป็นคุณสมบัติของ อนุภาค แต่เป็นความพยายามอย่างหนึ่ง ที่จะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอนุภาค ดังนั้นเมื่อ เราพูดว่ามีการให้การดลแก่อนุภาค เราหมายความว่าโมเมนตัมถูกถ่ายโอน (transfer) จาก แรงภายนอกไปยังอนุภาค เนื่องจากแรงที่ให้กับการดลโดยทั่วไปมีค่าแปรตามเวลา เพื่อ ความสดวกเราจะนิยาม แรงเฉลี่ย (a time-average force) เป็น

17. เมื่อ ( เป็นการประยุตใช้ทฤษฎีค่าเฉลี่ยของ calculus) ดังนั้นเราสามารถเขียน 5.9 ได้ดังนี้ โดยค่าแรงเฉลี่ยแสดงในรูป 5.4 ข และอาจถือว่าเป็นแรงที่มีค่าคงที่ค่าหนึ่งในช่วงเวลา Dt พื้นที่ที่ปรากฎในรูป 5.4 ข จะเท่ากับที่แสดงไว้ในรูป 5.4 ก รูป 5.4 (ก) แสดงว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคแปล ตามเวลาการดลที่ให้กับอนุภาคกระทำ โดยแรงคือพื้นที่ใต้กราฟ (ข) ในช่วงเวลา Dt แรงเฉลี่ย (horizontal dashed line) ให้ค่าการดลที่เท่ากับการดล ของอนุภาคของแรงที่แปรตามเวลาในรูป (ก) ( )

18. โดยหลักการถ้าทราบ Dt ที่เป็นฟังก์ชันกับเวลา t เราจะคำนวณการดลได้จากสมการ 5.9 แต่ถ้าแรงที่มากระทำต่ออนุภาคมีค่าคงที่ การคำนวณจะง่ายมากขึ้นกล่าวคือ จะได้ว่า 5.12 ในบางสถานะการณ์ ของกระบวนการทางฟิสิกส์เราอาจจะใช้การประมาณการดล (impulse approximation ) กล่าวคือ ให้ถือว่ามีแรง แรงหนึ่งมากระทำต่ออนุภาคในระยะเวลาสั้น ๆ แต่ขนาดของแรงนี้มากกว่าแรงอื่น ๆ ที่ปรากฏ การประมาณเช่นนี้มีประโยชน์ต่อการศึกษา วิเคราะห์การชนกันในช่วงเวลาสั้นมาก ๆ แรงดังกล่าวนี้มีชื่อเรียกว่า "แรงดล" (impulsive force) ตัวอย่างของแรงดล ได้แก่ แรงที่ลูกเทนนิสถูกตีออกไป ซึ่งระยะเวลาที่ลูกเทนนิส กระทบไม้เทนนิสสั้นมาก หรือแรงที่ลูกกอล์ฟถูกตี

19. ตัวอย่างที่ 5.3 Teeing off ลูกกอล์ฟมวล 50 g กระทบไม้ตีช่วงระยะสั้น ๆแรงที่กระทำต่อลูกกอล์ฟแปรจาก ศูนย์ จนกระทั่งขณะกระทบไม้ตีแรงจะมีค่ามากที่สุด ค่าแรงแสดงในรูป 5.4 ปรากฏว่า ลูกกอล์ฟไปได้ไกล 200 m ให้หาขนาดของการดล วิธีทำ ให้ถือว่าไม่มีแรงต้านอากาศเราจะใช้สมการ รูป 5.5 ลูก golf ถูกกระแทกโดย a club

20. ให้ลูกกอล์ฟเคลื่อนที่ขึ้นในทิศทำมุม 45o ซึ่งเป็นมุมที่ทำให้พิสัยการเคลื่อนที่ ในแนวราบได้ ไกลที่สุดนั่นคือ ดังนั้นความเร็วของลูกกอล์ฟคือ พิจารณาช่วงเวลาระหว่างการชน และ สำหรับลูกกอล์ฟ ดังนั้นขนาด ของแรงดลที่เกิดกับลูกกอล์ฟคือ Question 1 ถ้าไม้ตีกอล์ฟสัมผัสลูกกล์ฟในช่วงเวลาจงประมาณค่า ของแรงเฉลี่ยที่ไม้กอล์ฟ กระทำต่อลูกกอล์ฟ ( )

21. ตัวอย่าง 5.4 ในการทดสอบการชนของรถยนต์มวล 1500 kg กับกำแพง ดังแสดงในรูป 5.6 ความเร็วต้น และ ความเร็วสุดท้ายของรถยนต์คือ vi = -15.0i m/s และ vf = 2.60i m/s ตามลำดับ ถ้าการชนเกิดขึ้นใน 0.15 s ให้หาการดลเนื่องจากการชนและแรงเฉลี่ยที่กระทำต่อ รถยนต์ รูป 5.6 (ก)โมเมนตัมของรถเปลี่ยนเป็นผลเนื่องจากการชนกับกำแพง (ข) ในการทดสอบการชนพลังงานจลน์ส่วนใหญ่ของรถในตอนเริ่มต้นจะถูก ถ่ายโอนเป็นพลังงาน ที่ใช้ในการทำลายรถยนต์

22. วิธีทำ โมเมนตัมก่อนชนและหลังชน ของรถยนต์คือ ดังนั้นการดลคือ

23. แรงเฉลี่ยที่กระทำกับรถยนต์คือแรงเฉลี่ยที่กระทำกับรถยนต์คือ 5.3 การชนกัน (collision) ในหัวข้อนี้จะแสดงให้เห็นการประยุกต์ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงเส้น อธิบาย ว่าเกิดอะไรขึ้นบ้าง ขณะที่อนุภาค 2 อนุภาค ชนกันเราใช้คำว่า "การชนกัน" (collision) หมายถึง อนุภาค 2 อนุภาค เข้าชนกันในระยะเวลาอันสั้น ทำให้เกิดแรงดลต่อกัน โดย พิจารณาว่าแรงดลที่เกิดขึ้นมีขนาดมาก ๆ การชนกันระหว่างอนุภาคอาจจะเป็นการชนกัน จริง ๆ โดยอนุภาคสัมผัสกันดังแสดงในรูป 5.7 ก ในกรณีการชนกันในระดับอะตอมการชน กันอาจจะไม่มีการสัมผัสกันก็ได้ ดังตัวอย่างในรูป 5.7 ข ซึ่งเป็นการชนกันระหว่างโปรตอน กับอนุภาคแอลฟา ( alpha particle) ซึ่งเป็นนิวเคลียสของอะตอมฮีเลียมจะพบว่าทั้งโปรตอน และอนุภาคอัลฟาต่างก็มีประจุเป็นบวก อนุภาคจึงไม่มีโอกาสสัมผัสกัน ทั้งนี้เนื่องจาก

24. ต่างก็มีแรงผลักกันตลอดเวลา เมื่ออนุภาคทั้งสองเคลื่อนที่มาใกล้กัน แรงผลักทางไฟฟ้าสถิต จะมีค่าสูงมากถ้าอนุภาคทั้งส่องมีมวล m1 และ m2 ชนกันแสดงดังรูป 5.8 แรงดลจะแปลเปลี่ยน ไปกับเวลาในลักษณะที่ซับซ้อนมาก ดังรูป 5.7 ถ้าแรง F12 เป็นแรงกระทำต่อมวล m1 และ m2 โดยที่เราถือว่าไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อระบบ เราจะได้ว่าการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ของมวล m1 คือ รูป5.7 (ก) การชนระหว่างวัตถุ 2 ชิ้น ซึ่งเป็นผล เนื่องจากการชนกันโดยตรง (ข) การชนกัน ของอนุภาคมีประจุ 2 อนุภาค

25. รูป 5.8 แรงดลซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาของอนุภาค 2 อนุภาคที่ชนกัน โดยการพิจารณาทำนองเดียวกัน ถ้า F12 คือแรงกระทำต่อมวล m2 โดย m1 ฉะนั้น การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของมวล m2 คือ

26. จากกฎข้อที่ 3 ของนิวตัน กล่าวว่าแรงที่กระทำต่อมวล m1 และ m2 มีค่าเท่ากันแต่มีทิศทาง ตรงกันข้ามจึงสรุปได้ว่า เนื่องจากโมเมนตัมรวมทั้งระบบคือ เราสรุปได้ว่าการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม ของระบบเนื่องจากมีการชนกันจะมีค่าเป็นศูนย์ เนื่องจากไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อระบบและแรงดลเป็นแรงภายในระบบ ซึ่งจะไม่ทำให เกิดการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมรวมของระบบ ดังนั้นสรุปได้ว่า "โมเมนตัมทั้งหมดของระบบ ก่อนการชนกันจะเท่ากับโมเมนตัมทั้งหมดของระบบหลังการชนกัน"

27. ตัวอย่างที่ 5.5 Collision at intersection รถยนต์คันหนึ่งมวล 1800 kg หยุดอย่างกระ an ทันหันเมื่อมีสัญญาณไฟแดงและถูกชน ทางด้านหลัง โดยรถยนต์มวล 900 kg และรถยนต์ทั้งสองเคลื่อนที่ติดกันไป ถ้ารถคันเล็ก เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 20 m/s ก่อนการชน ความเร็วของรถทั้งสองที่เคลื่อนที่ติดกันไป ภายหลังการชนมีค่าเท่าใด วิธีทำ เราสามารถเดา ได้ว่าความเร็วของรถที่เคลื่อนที่ติดกันไปจะมีค่าน้อยกว่า 20 m/s ซึ่งเป็นความเร็วต้นของรถคันที่เล็กกว่า โมเมนตัมรวมของระบบก่อนการชน จะต้องเท่ากับ โมเมนตัมรวมทันทีทันใด ภายหลังการชนเพราะว่าโมเมนตัมมีการอนุรักษ์ สำหรับการชน ทุกชนิด โดยขนาดของโมเมนตัมรวมก่อนการชนจะมีค่าเท่ากับโมเมนตัมของรถคันเล็กเนื่อง จากรถคันใหญ่หยุดนิ่งในตอนเริ่มต้น

28. หลังจากการชนขนาดโมเมนตัมของรถที่วิ่งติดกันไปคือหลังจากการชนขนาดโมเมนตัมของรถที่วิ่งติดกันไปคือ ปริมาณ จะได้ว่า โดยทิศทางของความเร็วสุดท้ายมีทิศเดียวกับความเร็วของรถคันที่เคลื่อนที่ในตอนเริ่มต้น Question 2 ความเร็วสุดท้ายจะมีค่าเท่าไรถ้ารถแต่ละคันมีมวลเป็น 900 kg (10.0m/s)

29. 5.4 การชนแบบยืดหยุ่นและแบบไม่ยืดหยุ่นในหนึ่งมิติ (elastic and inelastic collisions in one dimension) จากที่กล่าวมาข้างต้น เราพบว่าการชนมีการอนุรักษ์โมเมนตัม ถ้าไม่มีแรงจาก ภายนอกมากระทำในทางกลับกัน พลังงานจลน์อาจจะมีการอนุรักษ์หรือไม่อนุรักษ์ก็ได้ ขึ้นอยู่กับชนิดของการชน โดยเราสามารถจำแนกชนิดการชนว่าเป็น การชนแบบยืดหยุ่น ( elastic collision ) หรือเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น (inelastic collision) จากการสังเกต พลังงานจลน์ก่อนชนหรือหลังชนว่ามีการอนุรักษ์หรือไม่ การชนแบบยืดหยุ่นเป็นการชน กันระหว่างวัตถุ 2 ชิ้นที่ทำให้พลังงานจลน์รวม และโมเมนตัมมีค่าเท่ากันทั้งก่อนและหลัง การชน ตัวอย่างได้แก่ การชนของลูกบิลเลียด และการชนกันระหว่างโมเลกุลของอากาศ และผนังของภาชนะที่อุณหภูมิปกติ ในธรรมชาติที่แท้จริงจะไม่มีการชนกันแบบยืดหยุ่น เนื่องจากมีการสูญเสียพลังงานเสมอแต่เราสามารถประมาณได้ว่าเป็นการชนกันแบบยืดหยุ่น การชนกันแบบยืดหยุ่นแท้จริงเกิดขึ้นระหว่าง อะตอมและอนุภาคที่เล็กกว่าอะตอม (subatomic particle)

30. การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนซึ่งพลังงานจลน์รวมก่อนและหลังการชนมีค่าไม่เท่ากันการชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนซึ่งพลังงานจลน์รวมก่อนและหลังการชนมีค่าไม่เท่ากัน แม้ว่าโมเมนตัมจะมีการอนุรักษ์ การชนแบบไม่ยืดหยุ่นมี 2 แบบ ถ้าวัตถุที่ชนกันติดกันไป ภายหลังการชน เช่นการชนของสะเก็ดดาวกับโลก การชนแบบนี้เรียกว่าการชนแบบ ไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ ( perfectly inelastic collision ) แต่ถ้าวัตถุที่เกิดการชนไม่ได้ติดไปด้วยกัน แต่มีการสูญเสียพลังงานจลน์ไปบางส่วนเช่น ลูกบอลยางชนกับกำแพง เนื่องจากมีการสูญเสีย พลังงานจลน์บางส่วนในขณะที่ลูกบอลสัมผัสกับผนังการชนแบบนี้เรียกว่า การชนแบบ ไม่ยืดหยุ่น

31. การชนกันแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์(perfectly inelastic collisions) รูป 5.9 แผนภาพแสดงการชนกันแบบไม่ยืดหยุ่น สมบูรณ์ระหว่างอนุภาค 2 อนุภาค (ก)ก่อนการชน (ข) หลังการชน พิจารณาอนุภาค 2 อนุภาค ที่มีมวล เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว ในแนวเส้นตรง ดังแสดง ในรูป 5.9 ถ้าอนุภาคชนกันอย่างตรง ๆ (head on collision) แล้วเคลื่อนที่ติดกันไปด้วย ความเร็วรวม หลังการชนเนื่องจากโมเมนตัมมีการอนุรักษ์ในการชนทุกชนิด ดังนั้นจะ เขียนสมการการอนุรักษ์โมเมนตัมได้ว่า

32. 5.13 5.14 การชนกันแบบยืดหยุ่น รูป 5.10 แผนภาพแสดงการชนกันแบบยืดหยุ่น แบบ head-on ระหว่างอนุภาค 2 อนุภาค (ก)ก่อนการชน (ข) หลังการชน พิจารณาอนุภาค 2 อนุภาค เคลื่อนที่ชนกันตรง ๆ แบบยืดหยุ่น ดังแสดงในรูป 5.10ในกรณี นี้ทั้งพลังงานและโมเมนตัม จะมีการอนุรักษ์ ดังนั้นจะเขียนได้ว่า

33. 5.15 5.16 ถ้าเราทราบมวล และความเร็วก่อนชนของอนุภาคทั้งสอง เราสามารถแก้สมการ 5.15 และ 5.16 เพื่อหาค่า ได้ดังนี้

34. ในการคำนวณสมการ 5.17 และ 5.18 เราจะต้องพิจารณาเครื่องหมายของความเร็ว ด้วยตัวอย่างถ้า m2 เคลื่อนที่ไปทางซ้ายมือ เครื่องหมายของความเร็ว v2i จะเป็นลบ ในกรณีเฉพาะที่ และ กล่าวคืออนุภาคจะมีการถ่ายความเร็ว ให้แก่กัน ตัวอย่างในกรณีนี้ได้แก่ การชนกันของลูกบิลเลียด กล่าวคืออนุภาคจะมีการถ่าย ความเร็วให้แก่กัน ตัวอย่างในกรณีนี้ได้แก่ การชนกันของลูกบิลเลียด ถ้า m2 อยู่นิ่งกับที่ v2i = 0 สมการ 5.17 และ 5.18 จะกลายเป็น 5.19 5.20

35. ถ้ามวล m1 มากกว่ามวล m2 (m1 >> m2) และ v2i = 0 เราจะพบ เช่นนี้ อธิบายได้ว่าเมื่ออนุภาคที่มีมวลมาก ๆ ชนตรง ๆ กับอนุภาคที่เบามากที่หยุดนิ่ง อยู่กับที่ อนุภาคที่มีมวลมากจะเคลื่อนที่ต่อไปด้วยความเร็ว เกือบเท่าเดิม ขณะที่อนุภาค ที่เบา จะกระดอนกลับด้วยความเร็วประมาณสองเท่าของความเร็วเริ่มต้น ของอนุภาคที่มี มวลมาก ตัวอย่างในกรณีนี้ ได้แก่ การชนกันของอะตอมยูเรเนียมกับอะตอมไฮโดรเจน ในกรณีที่ m2 มีค่ามากกว่า m1 มากๆ (m2 >> m1 ) และ m2 หยุดนิ่งอยู่กับที่ใน ตอนเริ่มต้น เราจะได้ว่า เช่นนี้อธิบายได้ว่า เมื่อ อนุภาคที่เบามาก ๆ ชนกับอนุภาคที่หนักมาก ๆ ซึ่งอยู่นิ่งกับที่ อนุภาคเบาจะกระดอนกลับด้วยความเร็วเกือบ เท่าเดิมและอนุภาคหนักจะคงอยู่นิ่งอยู่กับที่

36. ตัวอย่าง 5.6 The Ballistic pendulum Ballistic pendulum เป็นระบบกายภาพ ใช้วัดความเร็วของอนุภาคโปเจคไตล์ เช่น ลูกกระสุนปืน ถ้าเรายิงกระสุนไปยังแผ่นไม้ที่แขวนอยู่ และกระสุนหยุดนิ่งฝังอยู่ในเนื้อไม้ ปรากฎว่าทั้งระบบแกว่งขึ้นไปสูง h การชนแบบนี้เป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์และ มีการอนุรักษ์โมเมนตัมอย่างเดียว ดังนั้นความเร็วภายหลังการชน สามารถหาได้จากสมการ 5.14 ถ้ากำหนดให้ m1 เป็นมวลลูกปืน m2 เป็นมวลของแผ่นไม้ จะได้พลังงานจลน์ หลังการชนคือ (ข) รูป 5.11 (ก) แผนภาพแสดง Ballistic pendulum (ข) Multiflash photograph ของ ballistic pendulum ที่ใช้ในห้องทดลอง (ก)

37. (1) เนื่องจาก v2i= 0 สมการ 5.14 กลายเป็น (2) แทนค่า vf ลงในสมการ (1) แก้สมการหาค่า v1i จะได้ว่า

38. ดังนั้นเราสามารถหา ความเร็วของกระสุนได้ถ้าทราบมวล m1 m2 และ ความสูง h (โดย การวัดจากการทดลอง ) Question 3 ในการทดลองเรื่อง Ballistic pendulum ถ้าความสูงของแผ่นไม้ h = 5 cm , m1=5kg และ m2 = 1 kg จงคำนวณหาความเร็วเริ่มต้นของลูกปืนและพลังงานจลน์ที่สูญเสียในระหว่าง การชน Ans. 199 m/s , 98.5 J

39. ตัวอย่างที่ 5.7 A two-body collision with a spring มวล m1 =1.6 kg เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4.0 m/s เข้าชนสปริงที่มีมวล m2 =2.1kg ติดอยู่ มวล m2 นี้เคลื่อนที่ไปทางซ้ายมือด้วยความเร็ว 2.5 m/s ดังแสดงในรูป 5.12 (ก) สปริง มีค่าคงที่ 600 N/m โดยไม่คิดถึงแรงเสียดทานจงหา (ก) ขณะที่มวล m1 แตะสปริงมีความเร็ว 3.0 m/s มีทิศไปทางด้านขวาดังรูป 5.12 จงหาความเร็ว v2f ขณะนั้น (ข) จงหาระยะทางที่ สปริงเกิดการหดตัวในขณะที่ m1 แตะสปริงมีความเร็ว 3.0 m/s รูป 5.12 แผนภาพแสดงการชนกันระหว่าง A two-body ด้วย spring

40. วิธีทำ (ก)เริ่มแรกเราพบว่าความเร็วเริ่มต้นของมวล m2 คือ -2.50 m/s เนื่องจากมีทิศไป ทางซ้ายมือ และเนื่องจากโมเมนตัมมีการอนุรักษ์ในการชนทุกชนิดเราจะได้ว่า เครื่องหมายลบของ v2f หมายความว่า มวล m2 ยังคงเคลื่อนที่ไปยังด้านซ้าย ณ. เวลาที่ เราสังเกต

41. (ข) จงคำนวณหาระยะทางที่สปริงถูกกดเข้าไปในขณะนั้น ในการคำนวณหาระยะทางที่สปริงถูกกดเข้าไปเป็นระยะทาง x ดังรูป (ข)จะใช้แนวคิด ทางด้านการอนุรักษ์พลังงานจลน์ ดังนี้ แทนค่าต่าง ๆ ที่ทราบค่าลงไปจะได้

42. ตัวอย่าง 5.8 Slowing down neutrons by collision ในเครื่องปฎิกรณ์นิวเคลียร์ นิวตรอนจะถูกผลิตขึ้นมาเมื่ออะตอม แตกตัวตามกระบวนการ fission นิวตรอนจะเคลื่อนที่ ด้วยความเร็ว 107 m/s และมันจะถูกทำให้มีความเร็วลดลงเป็น 103 m/s ก่อนจะเกิดกระบวนการ fission อีกครั้ง นิวตรอนถูกทำให้ช้าลงโดยปล่อยให้ผ่าน ตัวลดความเร็ว (modulator) ที่เป็นของแข็งหรือของเหลว การที่นิวตรอนเคลื่อนที่ช้าลงก็ เนื่องจากเกิดการชนแบบยืดหยุ่น ให้แสดงว่านิวตรอนเสียพลังงานจลน์ส่วนใหญ่ จากการชน แบบยืดหยุ่นกับอะตอมที่เบาของ modulator เช่น ดิวเทอร์เรียม ในน้ำหนัก (heavy water) วิธีทำ เนื่องจากการชนเป็นแบบยืดหยุ่น จึงมีการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัม ให้ อนุภาคนิวตรอนเคลื่อนที่ชน ตรง ๆ กับนิวเคลียสของ modulator ให้นิวเคลียสของ modulator มีมวลเป็น mm อยู่นิ่งกับที่ในตอนเริ่มต้นและมวลอนุภาคนิวตรอนเป็น mn มีความเร็วต้นเป็น vni ดังนั้นพลังงานจลน์ก่อนชนคือ

43. หลังการชนอนุภาคนิวตรอน มีพลังงานจลน์เป็น ดังนั้นสัดส่วนของพลังงานจลน์หลังการชนต่อพลังงานจลน์ในตอนเริ่มแรกของนิวตรอนคือ (1) จากผลที่ได้ เราพบว่าพลังงานจลน์ในตอนสุดท้ายของนิวตรอนมีค่าน้อยมาก เมื่อ mm มีค่า ใกล้เคียง mn และจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ mm= mn จากสมการที่ 2.20 ซึ่งให้ความเร็วสุดท้าย ของอนุภาค ซึ่งหยุดนิ่งในตอนแรก เราสามารถคำนวณหาความเร็วของนิวตรอนที่ถูกลด ความเร็วภายหลังการชนได้ดังนี้

44. ดังนั้นอัตราส่วนของพลังงานจลน์นิวตรอนในตอนเริ่มแรกที่ถ่ายเทให้กับตัว moderator คือ (2) เนื่องจากพลังงานจลน์รวมของระบบมีการอนุรักษ์สมการ (2) สามารถหาได้จากสมการ (1) โดยใช้สภาวะ fn + fm = 1 ดังนั้น fm = 1 -fn สมมติว่าเราใช้น้ำหนัก ( D2O , D : Deuterium ) เป็นตัว moderator สำหรับการชน ของ นิวตรอน mm=2mn และ fn=1/9 fm=8/9 นั่นคือพลังงานของนิวตรอน 89 % ถูกถ่ายเทให้กับ นิวเคลียสของ Deuterium

45. 5.5 การชนแบบ 2 มิติ (Two- dimensional collision) ในหัวข้อ 5.1 และ 5.3 ที่ได้กล่าวมาแล้ว แสดงให้เห็นว่าโมเมนตัมทั้งหมดของ ระบบ 2 อนุภาค มีค่าคงที่เพื่อให้เป็นกรณีศึกษาได้ทั่วไป เราสามารถกล่าวได้ว่าโมเมนตัมรวม ในทิศ x , y และ z มีค่าคงที่ด้วย ตัวอย่างการชนใน 2 มิติ ได้แก่ บิลเลียด โดยจะทราบได้ทันที ว่าโต๊ะบิลเลียดเป็นระนาบเมีมิติ 2 มิติ คือ x และ y ดังนั้นเราสามารถเขียนสมการ การอนุรักษ์ โมเมนตัมในทิศ x และ y ได้ดังนี้ รูป 5.13 การชนแบบแฉลบที่ยืดหยุ่น (An elastic glancing collision)

46. เพื่อให้เป็นตัวอย่างการศึกษาวิเคราะห์ การชนแบบ2 มิติ ให้พิจารณาว่ามวล m1 เคลื่อนที่ เข้าชนมวล m2 ซึ่งหยุดนิ่งอยู่กับที่ดังแสดงในรูป 5.13 หลังการชนกันมวล m1 เคลื่อนที่ใน ทิศทำมุม q กับแนวราบและมวล เคลื่อนที่ในทิศทำมุม f กับแนวราบ การชนกันแบบ นี้มีชื่อเรียกว่า " การชนกันแบบแฉลบ " (glancing collision) โดยใช้หลักการอนุรักษ์ โมเมนตัมในแต่ละแกนจะได้ว่า 5.21 5.22 สมการ 5.21 และ 5.20 เป็นสมการที่เป็นอิสระต่อกันและมีตัวแปลที่เราต้องการหา 2 ปริมาณ เนื่องจากการชนเป็นแบบยืดหยุ่น เราสามารถเขียนสมการการอนุรักษ์พลังงานได้ดังนี้ (โดยที่ v2i= 0 )

47. 5.23 ถ้าเราทราบค่าความเร็วต้น ของอนุภาคที่กำลังเคลื่อนที่ m1 และมวลของ m1 , m2 จะเหลือ ตัวแปรที่ต้องการหา 4 ปริมาณ แต่เรามี 3 สมการ เราต้องการหา v1f , v2f , q และf ดังนั้นจึงต้องมีการกำหนด ค่าให้กับตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งขึ้นมา

48. ตัวอย่างที่ 5.9 Collision at an intersection รถยนต์คันหนึ่งมวล 1500 kg แล่นไปทางทิศตะวันออกด้วยอัตราเร็ว 25.0 m/s ชน กับรถตู้อีกคันหนึ่งซึ่งมีมวล 2500 kg ที่กำลังเคลื่อนที่ไปทางเหนือด้วยความเร็ว 20.0 m/s ดังแสดงในรูป 5.14 จงหาทิศทางและขนาดของความเร็วของรถทั้งสองคัน ที่เคลื่อนที่ติดกัน ไป ทั้งนี้ให้ประมาณว่าการชนเป็นการชนแบบยืดหยุ่น รูป 5.14 แสดการชนกันของรถยนต์และรถตู้

49. วิธีทำ ให้ทิศตะวันออกเป็นแกน x และทิศเหนือเป็นแกน y ดังแสดงในรูป5.15 ก่อนการชน วัตถุที่มีโมเมนตัมในแนวแกน x คือ รถยนต์ ดังนั้นขนาดของโมเมนตัมรวมของระบบ (car plus van) ในแนวแกน x คือ สมมติว่ารถที่ชนกันเคลื่อนที่ไปเป็นมุม q ด้วยความเร็ว vf ภายหลังการชน ขนาดของ โมเมนตัมรวมในแนวแกน x ภายหลังการชนคือ เนื่องจากโมเมนตัมรวมในแนวแกน x มีค่าคงที่ จับสมการทั้งสองให้เท่ากันจะได้ว่า (1)

50. โมเมนตัมในแนวแกน y คือ (2) หารสมการ (2) ด้วย (1) จะได้ว่า เมื่อแทนค่ามุมลงไปในสมการ (2) จะได้ค่าของ vf