3-12 序关系

3-12 序关系 掌握如下概念：偏序关系、盖住关系、链、反链、全序集、极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上界（上确界）、最大下界（下确界）、良序集、严格序关系、拟序关系。

一、偏序关系及其表示 1、定义3-12.1：设A是一个集合，如果A上的一个关系R满足自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系，记作≤ 。<A，≤ >称作偏序集。例：设集合A={a，b，c}，A上的关系 R={<a，a>，<a，b>，<a，c>，<b，b>，<b，c>，<c，c>}是偏序关系。例：设集合A={1，2，3，4}，A上的小于等于关系 ≤={<1，1>， <1，2>，<1，3>，<1，4>， <2，2>， <2，3>，<2，4>， <3，3>，<3，4>，<4，4>} 是偏序关系。集合A={1，2，3，4}，A上的大于等于关系 ≥ ={<1，1>， <2，1>，<3，1>，<4，1>， <2，2>， <3，2>，<4，2>， <3，3>，<4，3>，<4，4>} 也是偏序关系。

例：设A={1，2，3}，A的幂集 (A) ={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}} 上的包含关系是偏序关系。 ={< ,>,< ,{1}>,< ,{2}>,< ,{3}>,< ,{1,2}>, <  , {1,3}>,<  , {2,3}>,< ,{1,2,3}>,< {1},{1}>, < {1},{1,2}>,< {1},{1,3}>,< {1},{1,2,3}>, <{2},{2}>,< {2},{1,2} >,<{2},{2,3}>,<{2},{1,2,3} >, <{3},{3}>,<{3},{1,3}>,<{3},{2,3}>,<{3},{1,2,3}> , < {1,2},{1,2}>,< {1,2},{1,2,3}>,< {1,3},{1,3}>, < {1,3},{1,2,3}>, < {2,3}, {2,3}>, < {2,3},{1,2,3}>, < {1,2,3},{1,2,3}>}

证明： (1)S∈(A)，因S S∴ 具有自反性。 (2)S、W∈ (A)，如S W，且W S，则S=W。即如<S，W>∈ ，<W，S>∈ ，则S=W。∴ 具有反对称性。 (3)S，W，Z∈ (A)，如<S，W>∈ ，<W，Z>∈ ，即S W，W Z，则S Z， ∴<S，Z>∈ ，∴ 具有传递性。所以是(A)上的偏序关系。

例：设A是非零自然数集，DA是A上的整除关系。例：设A是非零自然数集，DA是A上的整除关系。 (1)x∈A，因x能整除x，∴DA具有自反性。 (2)x、y∈A，如x能整除y，且y能整除x，则x=y。即如<x，y>∈DA，<y，x>∈DA，则x=y。 ∴DA具有反对称性。 (3)x，y，z∈A，如<x，y>∈DA，<y，z>∈DA，即x能整除y，y能整除z，则x能整除z， ∴<x，z>∈DA，∴DA具有传递性。所以DA是A上的偏序关系。

2、盖住 定义3-12.2：在偏序集<A，≤>中，如果x、y∈A，x≤y，x≠y，且没有其他元素z，使x≤z，z≤y，则称元素y盖住元素x。记COVA={<x，y>|x、y∈A，y盖住x}。如在前面的中 ={<  ,  >,<  , {1} >,<  , {2} >,< ,{3} >,< ,{1，2}>, <  , {1,3} >,<  , {2,3} >,< ,{1,2,3} >,< {1} ,{1}>, < {1} ,{1,2} >,<{1} , {1,3} >,< {1} , {1,2,3} >, <{2},{2}>,< {2},{1,2} >,<{2}, {2,3}>,<{2}, {1,2,3} >, <{3} ,{3}>,<{3}, {1,3}>,<{3},{2,3}>,<{3}, {1,2,3}>} , < {1,2}, {1,2}>,< {1,2}, {1,2,3}>，< {1,3},{1,3}>， < {1,3}, {1,2,3}>, < {2,3}, {2,3}>, < {2,3}, {1,2,3}>, < {1,2,3}, {1,2,3}>}

先去掉第1元素与第2元素相同的序偶，得 {<  , {1} >,<  , {2} >,< ,{3} >,< ,{1，2}>, <  , {1,3} >, <  , {2,3} >,< ,{1,2,3} >, < {1} ,{1，2} >,< {1} , {1,3} >, < {1} , {1,2,3} >, < {2},{1,2} >,<{2}, {2,3}>,<{2}, {1,2,3} >, <{3}, {1,3}>,<{3},{2,3}>,<{3}, {1,2,3}> ,< {1,2}， {1,2,3}>， < {1,3}， {1,2,3}>, < {2,3}， {1,2,3}> } 由<  , {1} >, < {1} ,{1，2} >,< ,{1，2}>可去掉< ,{1，2}> 由<  , {3} >, < {3} ,{1，3} >,< ,{1，3}>可去掉< ,{1，3}> 由<  , {2} >, < {2} ,{2，3} >,< ,{2，3}>可去掉< ,{2，3}> 由<  , {1,3} >, < {1,3} ,{1,2,3} >,< ,{1,2,3}>可去掉< ,{1,2,3}>

{<  , {1}>,<  , {2}>,< ,{3}>, < {1} ,{1，2}>, <{1} , {1,3}>,<{1} , {1,2,3}>,<{2},{1,2}>,<{2},{2,3}>,<{2}, {1,2,3}>,<{3},{1,3}>,<{3},{2,3}>,<{3},{1,2,3}>,<{1,2},{1,2,3}>, <{1,3}, {1,2,3}>, <{2,3},{1,2,3}>} 由< {1} ,{1，2} >, < {1,2}， {1,2,3}>, < {1} , {1,2,3} >可去掉< {1} , {1,2,3} >，

{<,{1}>,< , {2}>,<,{3}>, <{1} ,{1,2}>, <{1},{1,3}>,<{2},{1,2}>,<{2},{2,3}>,<{2},{1,2,3}>, <{3},{1,3}>,<{3},{2,3}>,<{3},{1,2,3}>,<{1,2},{1,2,3}>, <{1,3}, {1,2,3}>,<{2,3}, {1,2,3}>} 由<{2},{1,2}>, < {1,2}, {1,2,3}> ,<{2}, {1,2,3}> 可去掉< {2}, {1,2,3}>, 由<{3},{2,3}>, < {2,3}, {1,2,3}> ,<{3}, {1,2,3}> 可去掉< {3}, {1,2,3}>, COV (A) ={<  , {1}>,<  , {2}>,< ,{3}>, < {1} ,{1，2}>,< {1} , {1,3}>,< {2},{1,2} >,<{2}, {2,3}>, <{3}, {1,3}>,<{3},{2,3}>,< {1,2}， {1,2,3}>, < {1,3}, {1,2,3}>, < {2,3}, {1,2,3}> }

140页例题3 3、哈斯图对于给定偏序集<A，≤>，它的盖住关系是唯一的，所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其作图规则为： (1)小圆圈代表元素。 (2)如果x≤y且x≠y，将代表y的小圆圈画在代表x的小圆圈之上。 (3)如果<x，y>∈COVA，则在x与y之间用直线连结。例题3中的哈斯图见141页图3-12.3

例：画出下列偏序集<{1，2，3，4，5，6}，DA>的哈斯图例：画出下列偏序集<{1，2，3，4，5，6}，DA>的哈斯图（DA是A上的整除关系） DA={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>，<6，6>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<1，5>，<1，6>，<2，4>，<2，6>，<3，6>}

例：设A={1，2，3}， 而(A) ={，{1}，{2}，{3}，{1，2}， {1，3}，{2，3}，{1，2，3}} 画出偏序集<(A)， >的哈斯图。 COV (A) ={<  , {1}>,<  , {2}>,< ,{3}>, < {1} ,{1,2}>,< {1} , {1,3}>,< {2},{1,2} >,<{2}, {2,3}>, <{3}, {1,3}>,<{3},{2,3}>,< {1,2},{1,2,3}>, < {1,3}, {1,2,3}>, < {2,3}, {1,2,3}> }

3、链和反链 定义3-12.3：设<A，≤ >是一个偏序集合，在A的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链。在A的一个子集中，如果每两个元素都是无关的，则称这个子集为反链。约定，若A的子集只有单个元素，则这个子集即是链又是反链。

例：偏序集<{1，2，3，4，5，6}，DA>的盖住关系为:例：偏序集<{1，2，3，4，5，6}，DA>的盖住关系为: :DA={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>，<6，6>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<1，5>，<1，6>，<2，4>，<2，6>，<3，6>} 子集{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}， {1，2}，{2，4}，{1，4}，{1，2，4} {1，3}，{3，6}，{1，6}，{1，3，6} {2，6}，{1，5}都是链。子集{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}， {2，3}，{2，5}，{3，5}，{4，6} {5，6}，{2，3，5}，{4，5，6} 都是反链。哈斯图为：从哈斯图上容易看出，在每个链中总可以从最高结点出发沿着盖住方向遍历该链中所有结点。每个反链中任两个结点间均无连线。再看141页举例。

二、全序关系 1、定义3-12.4：在偏序集<A，≤>中，如果A是一个链，则称<A，≤>为全序集合或线序集合，在这种情况下， ≤称为全序关系或线序关系。例：A={1，2，3，4，5，6}，≤是整数上的小于等于关系，<A，≤>不仅是偏序集，而且还是全序集。其哈斯图如下：练习：145页（1） 146页（4）再看142页例题5 全序关系的哈斯图是一条线。

145页（1）设集合为{3,5,15}，{1,2,3,6,12}，{3,9,27,54}，偏序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出哪些是全序关系。145页（1）设集合为{3,5,15}，{1,2,3,6,12}，{3,9,27,54}，偏序关系为整除，画出这些集合的偏序关系图，并指出哪些是全序关系。解集合A1= {3,5,15}上的整除关系为 R1={<3,3>,<5,5>,<15,15>,<3,15>,<5,15>} COV A1 = {<3,15>,<5,15>} 偏序关系图为 R1不是全序关系

集合A2= {1,2,3,6,12}上的整除关系为 R2={<1,1>, <1,2>,<1,3>, <1,6>,<1,12>, <2,2>, <2,6>,<2,12>,<3,3>,<3,6>,<3,12>,<6,6>,<6,12>, <12,12>} COV A2={<1,2>,<1,3>,<1,12>,<2,6>,<3,6>,<6,12>} 偏序关系图为 R2不是全序关系

集合A3= {3,9,27,54}上的整除关系为 R3={<3,3>, <3,9>,<3,27>, <3,54>,<9,9>, <9,27>, <9,54>,<27,27>,<27,54>,<54,54>} COV A2 = {<3,9>,<9,27>, <27,54>} 偏序关系图为 R3是全序关系

146页（4）找出集合{0，1，2，3}上包含序偶<0,3>和<2,1>的线序关系。146页（4）找出集合{0，1，2，3}上包含序偶<0,3>和<2,1>的线序关系。线序关系的定义：在偏序集<A，≤>中，如果A是一个链（每两个元素都是有关系的），则称<A，≤>为全序集合或线序集合，在这种情况下， ≤称为全序关系或线序关系。解：所求线序关系为：R={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<0,3>,<2,1>,<0,1>, <0,2>,<1,3>,<2,3>} COV {0，1，2，3}={<2,1>,<0,2>,<1,3>} 哈斯图为：

三、特殊元素 1、极大元、极小元定义3-12.5：设<A，≤ >是一个偏序集，且B是A的子集，对于B中的一个元素b，如果B中没有任何元素x，满足b≠x 且b ≤x，则称b为B的极大元；同理，如果B中没有任何元素x，能满足b≠x且x≤b，则称b为B的极小元。

例： A={1，2，3，4，5，6},DA是A上的整除关系. DA={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>，<6，6>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<1，5>，<1，6>，<2，4>，<2，6>，<3，6>} 偏序集<A，DA>的哈斯图为：子集{2，3，4，6}的极大元是4，6，极小元是2，3。子集{1，2，3，6}的极大元是6，极小元是1。极大元和极小元不是唯一的。再看143页例题6。

从定义3-12.5中可以知道，当B=A时，偏序集<A，≤ >的极大元即是哈斯图中最顶层的元素，其极小元是哈斯图中最低层的元素，不同的极小元素或不同的极大元素之间是无关的。

2、最大元、最小元 定义3-12.6：设<A，≤>是一个偏序集，且B是A的子集，若有某个元素bB，对于B中的每一个元素x，有x≤b，则称b为<B，≤>的最大元；同理，若有某个元素bB，对于B中的每一个元素x，有b≤x，则称b为<B≤>的最小元。见143页图3-12.7

3、定理3-12.1：设<A，≤>是偏序集，且B是A的子集，若B有最大元(最小元)，则必是唯一的。3、定理3-12.1：设<A，≤>是偏序集，且B是A的子集，若B有最大元(最小元)，则必是唯一的。证明：如果b1，b2∈B均是最大元，由b1是最大元，有b2≤b1，由b2是最大元，有b1≤b2，从≤的反对称性得 b1＝b2，即最大元是唯一的。 B的最小元情况与此类似。当B=A时，B的最大（最小）元就是偏序集<A，≤>的最大（最小）元。如例题3的图3-12.3 （141页）中， <A，≤>的最大元为12，最小元为1。

B的最大元必为极大元，B的最小元必为极小元。B的最大元必为极大元，B的最小元必为极小元。最大元或最小元可能不存在。如143页图3-12.6中，偏序集<A，≤>无最大元，也无最小元。

4、上界、下界 定义3-12.7：设<A，≤>是一偏序集，对于BA，如有a∈A，且对任意元素x∈B，都有x≤a，则称a为B的上界。同理，对任意元素x∈B，都有a≤x，则称a为B的下界。见144页图3-12.8

5、上确界、下确界 定义3-12.8：设<A，≤>是一偏序集且BA，a是B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y，则称a是B的最小上界(上确界)，记作LUBB。同理，b是B的任一下界，若对B的所有下界z均有z≤b，则称b是B的最大下界(下确界)，记作GLBB。见144页图3-12.8和图3-12.8 练习：146页（6）

(6)设集合P={x1，x2，x3，x4，x5}上的偏序关系如图所示，找出P的最大元素，最小元素，极小元素，极大元素。找出子集{x2，x3，x4}， {x3，x4，x5}和{x1，x2，x3}的上界、下界，上确界、下确界。解 P的最大元素为x1，无最小元素，极小元素为x4，x5，极大元为素x1。其余见下表。

四、良序集合： 1、定义3-12.9：任一偏序集合，假如它的每一个非空子集都有最小元，这种偏序集称为良序的。例如，In={1，2，…，n}及N={1，2，3，…}，对于小于等于关系来说是良序集合，即< In，≤>，<N，≤>是良序集合。

2、定理3-12.2：每一良序集合，一定是全序集合。2、定理3-12.2：每一良序集合，一定是全序集合。证明设<A，≤>为良序集合，则对任意两个元素x,yA可构成子集{x,y}，必存在最小元素，这个最小元素不是x就是y，因此一定有x≤y或y≤x。所以<A，≤>为全序集合。

3、定理3-12.3：每一有限的全序集合，一定是良序集合。3、定理3-12.3：每一有限的全序集合，一定是良序集合。对无限的全序集合不一定成立。例如，大于零小于1的全部实数，按大小次序关系是一个全序集合，但不是良序集合，因为集合本身就不存在最小元素。证明见145页。练习：146页（7）

(7)146页图3-12.11给出了集合A={1，2，3，4}上的四个偏序关系图，画出它们的哈斯图，并说明哪一个是全序关系，哪一个是良序关系。(7)146页图3-12.11给出了集合A={1，2，3，4}上的四个偏序关系图，画出它们的哈斯图，并说明哪一个是全序关系，哪一个是良序关系。解：R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,3>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} COVA={<1,2>,<1,3>,<4,1>} 哈斯图为： R1不是良序关系，也不是全序关系

解：R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>} COVA={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>} 哈斯图为： R2不是良序关系，也不是全序关系

解：R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<3,1>, <3,2>,<3,4>,<4,1>,<4,2>} COVA={<1,2>, <3,4>,<4,1>} 哈斯图为： R3是全序关系，也是良序关系。

解：R4={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<3,1>,<4,1>,<4,2>,<4,3>} COVA={<3,1>,<4,2>,<4,3>} 哈斯图为： R4不是良序关系，也不是全序关系。

练习：145页（2）（3） 146页（5）

145页（2）设R是A上的二元关系，如果R是传递的和反自反的，称R是拟序关系。145页（2）设R是A上的二元关系，如果R是传递的和反自反的，称R是拟序关系。证明： a）如果R是A上的拟序关系，则r(R)=R∪IA是偏序关系。 b）如果R是A上偏序关系，则R-IA是一拟序关系。

证明： a）(1)对任意a∈A，因为<a,a>∈IA，所以<a,a> ∈ R∪IA ，即<a,a> ∈ r (R) ，所以r (R)是自反的。 (2)对任意a,b∈A，若有<a,b> ∈ r (R) ，则 <a,b> ∈R∨ <a,b> ∈ IA，当a=b时， <a,b> ∈ IA。当a≠b时， <a,b> ∈R，如果另有<b,a> ∈R，因为R是传递的，则有<a,a> ∈R，这与R是反自反的矛盾，因此<b,a>  R。即当a≠b时， <a,b> ∈R，<b,a>  r(R) ，所以r(R)是反对称的。 (3)对任意a,b,c∈A，若有<a,b> ∈ r (R)∧<b,c> ∈ r (R) ，则有<a,b> ∈ R∪IA ∧<b,c> ∈ R∪IA，即（<a,b> ∈ R∨ <a,b> ∈ IA ) ∧（<b,c> ∈ R ∨ <b,c> ∈ IA）因为R是反自反的，所以a≠b ∧ b≠c，因此<a,b>  IA ，<b,c>  IA， <a,b> ∈ R ∧<b,c> ∈ R，因为R是传递的，所以 <a,c> ∈ R ，从而<a,c> ∈ r (R) ，所以r (R)是传递的。所以r(R)=R∪ IA是偏序关系。

b）设R是A上的偏序关系，任意a∈A，因为<a,a>∈ IA ，所以<a,a>  R-IA，因此R-IA是反自反的。对a,b,c∈A，若有<a,b> ∈ R-IA∧<b,c> ∈ R-IA，则有 <a,b> ∈ R ∧ <a,b>  IA ∧<b,c> ∈ R ∧ <b,c>  IA 所以a≠b ≠c，<a,b> ∈ R ，<b,c> ∈ R，因为R是传递的，所以 <a,c> ∈ R ，而<a,c>  IA ，所以<a,c> ∈ R-IA，即R-IA是传递的。所以R-IA是一拟序关系。

(3)设R是集合S上的关系，S’是S的子集，定义S’上的关系R’如下：(3)设R是集合S上的关系，S’是S的子集，定义S’上的关系R’如下： R’=R∩(S’×S’) 确定下述每一断言是真还是假。 a) 如果R在S上是传递的，那么R’在S’上是传递的。 b) 如果R是S上的偏序关系，那么R’是S’上的偏序关系。 c) 如果R是S上的拟序关系，那么R’是S’上的拟序关系。 d) 如果R是S上的线序关系，那么R’是S’上的线序关系。 e) 如果R是S上的良序关系，那么R’是S’上的良序关系。每一断言都是真的。请予以证明。

a) 如果R在S上是传递的，那么R’在S’上是传递的。若有<a,b> ∈R’，<b,c> ∈ R’，因R’=R∩(S’×S’)，得到 <a,b> ∈ R∩(S’×S’)  <a,b> ∈ R ∧ <a,b> ∈ (S’×S’)  <a,b> ∈ R ∧ a ∈S’ ∧ b ∈ S’ 同理<b,c> ∈ R∩(S’×S’)  <b,c> ∈ R ∧ b ∈S’ ∧ c ∈ S’ 因为R在S上传递，故 <a,b> ∈R’ ∧ <b,c> ∈ R’ <a,c> ∈ R ∧ a ∈S’ ∧ c ∈ S’  <a,c> ∈ R∩(S’×S’)  <a,c> ∈ R’

b) 如果R是S上的偏序关系，那么R’是S’上的偏序关系。对任意a∈S’，因S ’  S ，故a∈S，由<a,a> ∈ R且 <a,a> ∈ S’×S’得到<a,a> ∈R’ ，所以R’ 在S’上是自反的。若有<a,b> ∈ S’且 a≠b ，则对任意 <a,b> ∈ R’  <a,b>∈ R∧ <a,b>∈ (S’×S’) 因为R是反对称的，必有 <b,a>  R ，从而<b,a>  R ’ 所以 R’在S’上是反对称的。由a) 中证得R’在S’上是传递的。故R’是S’上的偏序关系。

c) 如果R是S上的拟序关系，那么R’是S’上的拟序关系。对任意a∈S’  S ，因为<a,a>  R，所以<a,a>  R∩(S’×S’)即<a,a>  R’ ，所以R’ 在S’上是反自反的。由a) 知R’在S’上是传递的。所以 R’是S’上的拟序关系。

d) 如果R是S上的线序关系，那么R’是S’上的线序关系。设任意a，b∈S’ ，如果R是S上的线序关系，必有 <a,b> ∈ R或 <b,a> ∈ R ，即<a,b> ∈ R∩(S’×S’)或 <b,a> ∈ R∩(S’×S’) 即<a,b> ∈ S’ 或 <b,a> ∈ S’ 所以 R’是S’上的线序关系。

e) 如果R是S上的良序关系，那么R’是S’上的良序关系。设<S,R>为良序集，若<S’,R’>不是良序集，则必有 S’’ S’且S’’，使得<S’’,R’>中不存在最小元，即对任意a∈S’’必有b∈S’’使得<a,b>∈S’’×S’’，即<a,b>∈S’×S’但<a,b>R’。因为R’=R∩(S’×S’)，所以<a,b>R，但S’’ S’ S，这就说明在S中存在一个非空子集S’’，对所有a∈S’’都存在b∈S’’，使得<a,b>R，这与<S,R>为良序集矛盾。所以 R’是S’上的良序关系。

构造下述集合的例子： • 非空线序集，其中某些子集没有最小元素。 • 非空偏序集，它不是线序集，其中某些子集没有最大元。 • c) 一偏序集有一子集，它存在一最大下界，但没有最小元素。 • d) 一偏序集有一子集，它存在一上界，但没有最小上界。解：a) A是大于零小于1的全部实数的集合，按大小次序关系是一个全序集合，B是大于零小于0.5的全部实数集合， B是A的子集，B没有最小元素。 b)如图所示的哈斯图中，子集 {a,b,c,d,e}没有最大元。 c)如图所示的哈斯图中，子集 {d,e,f,g}有一最大下界a，但没有最小元素。 d)如图所示的哈斯图中，子集 {a,b,c,d,e}有一上界f（或g），但没有最小上界。

3-12 序关系

3-12 序关系

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