函数的奇偶性与周期性

1. 函数的奇偶性与周期性 制作:白建奇

2. 一 函数的奇偶性 1.奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y轴对称. f（-x）=f（x） f（-x）=-f（x）

3. 2. 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般 步骤是: （1）考查定义域是否关于______对称； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数； 若f（-x）=________，则f（x）为偶函数； 若f（-x）=_______且f（-x）=________, 则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x）， 则f（x）非奇非偶函数. 原点 -f（x） f（x） -f（x） f（x）

4. 例1：判断下列函数的奇偶性: 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 偶函数

5. 3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______ (填“相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶 函数； ②两个偶函数的和、积是_________； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数

6. 例2：(1)已知f(x)=ax2+bx+1为定义在[2a,1-a]上的偶函数,则a+b=________;(2)已知函数y=f(x+2)为偶函数,则f(x)的对称轴方程为________;(3)已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈[-1,0]上为增函数,α、β为锐角三角形的两个内角,则f(cosα)与f(sinβ)的大小关系为_________________.例2：(1)已知f(x)=ax2+bx+1为定义在[2a,1-a]上的偶函数,则a+b=________;(2)已知函数y=f(x+2)为偶函数,则f(x)的对称轴方程为________;(3)已知f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,且当x∈[-1,0]上为增函数,α、β为锐角三角形的两个内角,则f(cosα)与f(sinβ)的大小关系为_________________. -1

7. 抽象函数的奇偶性与单调性 例3:已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y) =f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 试 求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

8. 二 函数的周期性 1.函数周期概念 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

9. 结论2．满足以下条件的函数周期为3a 结论3．满足以下条件的函数周期为4a

10. 2.函数周期常见结论 (约定a>0) 结论1．满足以下条件的函数周期为2a ，

11. 5 -5 1 -2

12. 结论4． （1）若f(a + x)=f(a－x) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为2a的周期函数； （2）若f(a + x)=f(a－x) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为4a的周期函数。 （3）若f(a + x)=－f(a－x) 且f(x) 是偶函数,则y=f(x)是周期为4a的周期函数； （4）若f(a + x)=－f(a－x) 且f(x) 是奇函数,则y=f(x)是周期为2a的周期函数

13. 三 函数的对称性 1.函数自身的对称性 结论1. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 结论2.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,0)对称的 充要条件是 f (x) = -f (2a－x) 2.不同函数对称性 ①y = f (x)与y = f (－x)的图像关于直线x = 0成轴对称 ②y = f (x)与y = －f (x)的图像关于直线y = 0成轴对称 ③y = f (x)与y = －f (－x)的图像关于原点成中心对称

14. 变式1:判断下列函数的奇偶性. 奇函数 奇函数

15. 变式2:(1)若函数 是奇函数,则实数a的值是________. (2)已知f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,在 (-1,0)上单调递增,若对于任意x∈(-1,1),总有f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的取值范围.

16. 变式3: 函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足 对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值； （2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； （3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在 (0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

17. 例3(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=1,对于任意x∈R恒成立,且f(0)>0,则f(2009)=________.例3(1)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)·f(x)=1,对于任意x∈R恒成立,且f(0)>0,则f(2009)=________. 1 (2)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+2)=f(x),若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是 ( )A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 A 变式3:已知偶函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,-2]时,f(x)=2x,则f(116.5)=________. -5

18. 例4：已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求f(0)的值;(2)证明:函数f(x)是周期函数;(3)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.例4：已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线x=1对称.(1)求f(0)的值;(2)证明:函数f(x)是周期函数;(3)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈R时,函数f(x)的解析式,并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象.

19. 考 向 精 测1.函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )A.3 B.0 C.-1 D.-2 B A

20. 变式4:设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(-1)=1,则f(0)-f(-2)=________.变式4:设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(-1)=1,则f(0)-f(-2)=________. 1

21. 例:已知函数f（x）定义域为R，则下列命题: ① y＝f（x）为偶函数, 则y＝f（x＋2 ）的图象关于y轴对称. ② y＝f（x ＋2 ）为偶函数, 则y＝f（x）关于直线x＝2对称. ③ 若函数f（2x＋1）是偶函数, 则f（2x）的图象关于直线 对称. ④ 若f（x－2 ）＝f（2－x ）, 则y＝f（x）关于直线x＝2对称. ⑤ y＝f（ x－2 ）和y＝f（2－x）的图象关于x＝2对称. 其中正确的命题序号是 （ ） A． ①②④ B．①③④　C．②③⑤ D．②③④ C