СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1. СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Беляев Виктор Константинович

2. Содержание • Решетка Браве • Ячейка Вигнера-Зейтца • Кристаллическая структура • Преобразования и группы симметрий • Кристаллические системы (сингонии) • Симметрия кристаллов • Обратная решетка • Условия Лауэ и Вульфа-Брэгга • Индексы Миллера • Дифракционные методы исследования структуры твердых тел ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

3. Кристаллическое состояние твердого тела • Среди конфигураций, реализующих минимум эффективной потенциальной энергии, имеются такие, в которых положения равновесия атомов образуют упорядоченные (периодические) пространственные структуры, соответствующие кристаллическому состоянию вещества. Согласно классическим представлениям, устойчивым состоянием твёрдого тела является кристаллическое. Аморфное тело находится в метастабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллическое состояние, но время кристаллизации очень велико. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

4. Решетка Браве • Дискретная совокупность точек (узлов решетки с радиус-векторами Rn): • Где n принимают любые целочисленные значения, а1,2,3– любые три вектора не лежащие в одной плоскости и называемые Rn=n1a1+n2a2+n3a3 векторами основных трансляций. На рисунке изображена двумерная косоугольная решетка Браве ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

5. Элементарная ячейка решетки Браве • Область пространства, которой можно заполнить все пространство без перекрытий и промежутков, если подвергнуть ее трансляциям на все возможные вектора Rn. Примитивная ячейка имеет минимальный объем и содержит как минимум один узел решетки. • Элементарная ячейка называется условной, если заполняет пространство без перекрытий и промежутков при трансляциях на векторы, образующие некоторое подмножество из совокупности векторовRn. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

6. Элементарная ячейка решетки Браве • 1 и 2 – примитивные ячейки • 3 – условная ячейка ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

7. Ячейка Вигнера-Зейтца • Вигнером и Зейтцем был предложен способ построения примитивных ячеек, которые обладали бы полной симметрией решетки Бравэ. Этот способ состоит в том, что произвольно выбранный узел решетки Бравэ соединяют прямыми линиями с ближайшими эквивалентными узлами; затем проводят плоскости, перпендикулярные этим прямым и проходящие через их середину. В результате получают замкнутую область пространства с центром в выбранном узле, все точки которого лежат ближе к нему, чем к любому другому узлу решетки. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

8. Построение ячейки Вигнера-Зейтца • Соединить любой из узлов со всеми остальными; • Построить плоскости, перпендикулярные к этим отрезкам и проходящие через их середины; • Выбрать наименьший многогранник, очерченный построенными плоскостями. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

9. Построение ячейки Вигнера-Зейтца Аналогично можно построить ячейку Вигнера-Зейтца для различных типов кристаллических решеток: - двумерный случай ОЦ ячейки - для объёмно-центрированной кубической ячейки - для гранецентрированной кубической ячейки ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

10. Кристаллическая структура • Кристаллическая структура – решетка Браве с базисом. • Кристаллическую структуру можно так же представить как несколько решеток Браве, получающихся из исходной решетки трансляциями на все возможные векторы базиса. • В узлах решетки, смещенной на вектор rs, расположены атомы, занумерованные индексом s. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

11. Кристаллическая структура Примеры кристаллической структуры ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

12. Преобразования симметрии • Трансляции (Tn, Rn): • Точечные • Повороты (Cm, φ=2π/m) • Отражения (σ) • Комбинации • Поворот + отражение (Sm) • Инверсия (I) • Виды симметрии – если при выполнении преобразований сохраняется симметрия, то система имеет : • Ось симметрии m-го порядка при Cm • Зеркально поворотная ось m-гопри Sm ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

13. Группы симметрии Преобразования симметрии образуют группу симметрий при выполнении четырех аксиом: • Определена операция умножения: fg=h • Есть ассоциативность умножения: f(gh)=(fg)h • Существует единичный элемент e: ef=f • Существует обратный элементf-1:f-1f=ff-1=e ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

14. Группы симметрии • Конечная и бесконечная группы: • Содержит конечное или бесконечное число элементов • Абелева группа: • Операция умножения коммутативна: fg=gf • Точечная группа: • Включает в себя только точечные преобразования • Пространственная группа: • Включает в себя только пространственные преобразования ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

15. Классификация решеток Браве • Удобней всего выбирать (в общем случае) условную элементарную ячейку в виде наименьшего параллелепипеда, построенного на векторах, являющихся линейными комбинациями векторов основных трансляций и обладающего полной точечной симметрией. • Обычно длины ребер обозначают как a, b, иc, а углы между ребрами α, β и γ. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

16. Классификация решеток Браве • [П] – Простая – узлы расположены в вершинах параллелепипеда, выбранного в качестве элементарной ячейки; • [ОЦ] – объемоцентрированная- узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в его центре; • [ГЦ] – гранецентрированная - узлы расположены в вершинах параллелепипеда, в центре его граней и в центре пересечения диагоналей соответствующих параллелограммов. • [БЦ] – базоцентрированная- узлы расположены в вершинах параллелепипеда и в центрах двух его противоположных граней. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

17. Кристаллические системы Разбиение на кристаллические системы выполняется в зависимости от набора элементов симметрии, описывающих кристалл. Такое деление приводит к семи кристаллическим системам: • Кубическая (a=b=c, α=β=γ=90о) • Тетрагональная (a=b, b≠c, α=β=γ=90о) • Гексагональная (a=b, b≠c, α=β=90о, γ=120о) • Ромбическая (a ≠ b ≠ c, α=β=γ=90о) • Тригональная (a=b=c, α=β=γ ≠ 90о) • Моноклинная (a ≠ b ≠ c, α=β=90о, γ ≠ 90о) • Триклинная (a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ) ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

18. Кристаллические системы Кубическая Тригональная Тетрагональная Гексагональная Ромбическая Моноклинная Триклинная ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

19. Кристаллические системы ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

20. Кристаллические системы • Текст внутри Clear Sans ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

21. Симметрия кристаллов • В кристаллических решетках атомы представляются в виде сфер конечных радиусов, расположенных на расстоянии, обеспечивающим их касание без пересечения. • Координационное число – одинаковое число ближайших атомов для любого узла решетки Браве. • Коэффициент упаковки – относительная доля объема, занятая сферами. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

22. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах • Падающая на атом вещества электромагнитная волна рентгеновского излучения вызывает индуцированные колебания электронов. При этом излучается электромагнитная волна с той же частотой, с какой происходят колебания. Излучаемая электроном волна имеет сферический фронт, в центре которого находится осциллирующий диполь. Таким образом, волна рассеивается по всем направлениям. Этот процесс поглощения энергии падающего излучения и отдачи этой энергии при испускании сферической волны той же длины называется когерентным рассеянием падающего излучения. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

23. Обратная решетка • Удобная абстракция, позволяющая математически просто описать условия протекания того или иного явления в твердом кристаллическом теле. Между векторами элементарных трансляций и параметрами обратной решетки существует вполне определенная связь. Вкристаллической решетке элементарная ячейка определяется тремя элементарными векторами a1, a2, a3, а обратная решетка будет задаваться векторами b1,b2,b3 . ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

24. Обратная решетка • b1,b2,b3 - векторы основных трансляций в решетке: g1=l1b1+l2b2+l3b3, • которая является обратной к решетке: Rm=m1a1+m2a2+m3a3 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

25. Зоны Бриллюэна • Отображение ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве. • на кристаллической решётке дифрагируют только те лучи, волновой вектор которых оканчивается на границе зоны Бриллюэна. - зонами Бриллюэнаобуславливается возникновение запрещённых и разрешённых энергетических состояний. Это связано с выполнением условий Брегговского отражения на границах зон Бриллюэна. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

26. Условие Лауэ • Лауэ определил условия, при которых возникают интерференционные максимумы при рассеянии излучения на узлах кристаллической решетки. Дифракционный максимум наблюдается при изменении волнового вектора на произвольный вектор обратной решетки k’=k+g1 • Рассеяние плоской электромагнитной волны, удовлетворяющее условию дифракции Лауэ можно представить как зеркальное отражение волны от перпендикулярных вектору атомных плоскостей, при котором выполняется условие дифракции Вульфа-Брегга. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

27. Закон Вульфа-Брегга • Зная распределение электронов в атоме, можно теоретически рассчитать рассеивающую способность атома. Рассеивающая способность будет зависеть от строения кристаллической решетки, длины волны и угла падения излучения. • Где d — межплоскостное расстояние,- угол скольжения, m— порядок дифракционного максимума, а ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

28. Индексы Миллера • Кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат. Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости: • плоскость пересекает три оси • плоскость пересекает две оси и ll третьей • плоскость пересекает одну ось и llдвум другим ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

29. Индексы Миллера • Кристаллографические плоскости одного семейства находятся на равных расстояниях друг от друга. Кратчайшее расстояние между этими плоскостями, измеренное по нормали к ним, называется межплоскостным расстоянием и обозначается dHKL • Индексы Миллера –компоненты наименьшего вектора обратной решеткиG1=kb1+lb2+mb3,перпендикулярного данной плоскости. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

30. Индексы Миллера • Символы основных плоскостей в кубической решетке: ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

31. Экспериментальные методы исследованиякристаллической структуры ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

32. Дифракционные методы исследования • Для определения атомно-молекулярной структуры твердых тел используют дифракционные методы. Их классификация связана с видом используемого излучения. • Рентгенография • Электронография • Нейтронография • Эти методы основываются на том, что волны, проходя через кристаллическое вещество, испытывают дифракцию, т. к. кристаллическая решетка со средними межатомными расстояниями порядка 1 А является для них дифракционной решеткой. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

33. Рентгенография • Рентгеновское излучение при прохождении через кристалл взаимодействует с электронными оболочками атомов, и дифракционная картина отражает распределение электронной плотности ρв веществе, которую можно характеризовать как функцию координат ρ(x,y,z) ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

34. Электронография • Электронография использует электроны таких энергий, что они взаимодействуют не с электронными оболочками, а с электростатическим полем атома φ(x,y,z). Такое взаимодействие значительно сильнее, чем в случае рентгеновского излучения, поэтому интенсивность дифракции электронов примерно в 106 раз больше, чем для рентгеновских лучей. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

35. Нейтронография • В методе нейтронографии нейтроны взаимодействуют с дельтообразным потенциалом ядерных сил δ(x,y,z).Интенсивность дифракции примерно в 100 раз меньше, чем для рентгеновского излучения. Однако метод обладает тем преимуществом, что с его помощью легко выявляется различие атомов с близкими порядковыми номерами в таблице Менделеева, что трудно сделать методами рентгенографии и электронографии. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

36. Метод Лауэ • Немонохроматический пучок рентгеновских лучей направляется на неподвижно закрепленный монокристалл. Каждое пятно на лауэграмме соответствует плоскости решетки, ориентация которой полностью определяется направлением дифракционного луча. ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

37. Метод вращения монокристалла • Монокристалл вращается вокруг какой-либо фиксированной оси, направление которой заранее найдено методом Лауэ, в монохроматическом пучке рентгеновских лучей или нейтронов. Этот метод позволяет выяснить структуру кристалла (установить форму и периоды элементарной ячейки). ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

38. Спасибо за внимание