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Agenda. 3.1 引言 3.2 命题逻辑中的归结原理 3.3 谓词逻辑中的归结原理. 3.1 Introduction. 证明的基本思想是： 设 F 1 、 … 、F n 、G 为公式， G 为 F 1 、 … 、F n 的逻辑推论，当且仅当公式（（ F 1  …  F n ）  G） 是有效的 也可以采用反证法的思想： 设 F 1 、 … 、F n 、G 为公式， G 为 F 1 、 … 、F n 的逻辑推论，当且仅当公式（ F 1  …  F n   G） 是不可满足的

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Presentation Transcript

  1. Agenda 3.1 引言 3.2 命题逻辑中的归结原理 3.3 谓词逻辑中的归结原理

  2. 3.1 Introduction • 证明的基本思想是： 设F1、…、Fn、G为公式，G为F1、…、Fn的逻辑推论，当且仅当公式（（F1…Fn）G）是有效的 • 也可以采用反证法的思想： 设F1、…、Fn、G为公式，G为F1、…、Fn的逻辑推论，当且仅当公式（F1…Fn G）是不可满足的 • 归结法的本质上就是一种反证法，它是在归结推理规则的基础上实现的： 为了证明一个命题P恒真，它证明其反命题～P恒假，即不存在使得P为真的解释

  3. 3.2 命题逻辑中的归结原理 3.2.1 子句和子句形 3.2.2 归结 3.2.3 归结反演 3.2.4 合理性和完备性 3.2.5 归结反演的搜索策略

  4. 3.2.1 子句和子句形（1） • 文字是原子或其否定 • 子句是文字的析取 • 完备连接符集合： • 合取范式（CNF） （L11 …  L1n1) …  (Lm1 …  Lmnm) • 析取范式（DNF） （L11  …  L1n1)  …  (Lm1  …  Lmnm) • 定理： 对任意公式，都有与之等值的合取范式和析取范式 • 转换方法：一般方法 真值表方法

  5. 3.2.2子句和子句形（2） • 一般方法 • Eliminate implication signs by using the equivalent form using  • Reduce the scopes of ~ signs by using DeMorgan’s law and by eliminating double ~ signs • Convert to CNF by using the associative and distributive laws.

  6. 3.2.2 Resolution • 对任意三个子句 p、q 和 r p  r, q  ~r  p  q 或者： for C1= P C1’, C2=~P  C2’ P C1’, ~P  C2’  C1’  C2’ • 归结式： R(C1, C2)=C1’  C2’ • 证明：

  7. 3.2.3 Resolution Refutations（1） • 定理证明的任务: 由前提A1 A2 ... An 推出结论B 即证明:A1 A2 ... AnB 永真 • 转化为证明: A1 A2 ... An  ~B为永假式 • 归结推理就是:从A1 A2 ... An  ~B出发,使用归结推理规则来找出矛盾,最后证明定理A1 A2 ... AnB的成立

  8. 3.2.3 Resolution Refutations（2） • 归结方法是一种机械化的,可在计算机上加以实现的推理方法 • 可认为是一种反向推理形式 • 提供了一种自动定理证明的方法

  9. 3.2.3 Resolution Refutations（3） • 一般过程: • 建立子句集S • 从子句集S出发,仅对S的子句间使用归结推理规则 • 如果得出空子句, 则结束;否则转下一步 • 将所得归结式仍放入S中 • 对新的子句集使用归结推理规则 • 转(3) • 空子句不含有文字,它不能被任何解释满足,所以空子句是永假的,不可满足的 • 归结过程出现空子句,说明出现互补子句对,说明S中有矛盾,因此S是不可满足的.

  10. 3.2.3 Resolution Refutations（4） • 例子:证明(P Q) ~Q  ~p • 首先建立子句集: • (P Q)~Q  ~(~P) • (~P Q) ~Q  P • S={~PQ, ~Q , P} • 对S作归结: (1) ~P Q (2) ~ Q (3) P (4) ~P (1)(2)归结 (5)  (3)(4)归结

  11. 3.2.4 Soundness and Completeness • 归结原理是合理的 • 归结原理是完备的

  12. 3.2.5 Resolution Refutation Search Strategies • 有序策略（Order strategies） • Refinement strategies • 支持集（Set of support）: • 每次归结时，参与归结的子句中至少应有一个是由目标公式的否定所得到的子句，或者是它们的后裔 • 该策略是完备的 • 线性输入（Linear Input）： • 参与归结的两个子句中至少有一个是初始子句集中的子句 • 该策略是不完备的 • 祖先过滤（Ancestry Filtering） ： • 参与归结的两个子句中至少有一个是初始子句集中的句子，或者是另一个子句的祖先 • 该策略是完备的

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