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三角形的中位线 定理. 三烈中学 蔡网红 . 如图, A 、 B 两棵树被池塘隔开,现在要测量出 A 、 B 两树间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办?. 。. A. 。. B. 在△ ABC 中 , 如果 D , E 分别是 AB 、 AC 的中点 , 那么我们就把 DE 叫做△ ABC 的中位线 。. 反之,如果, DE 是△ ABC 的中位线 那么 D , E 分别是 AB 、 AC 的中点 。. 下列图形中,哪个图画出了三角形的中位线?. DE = BC. 猜想.
E N D
三角形的中位线 定理 三烈中学 蔡网红
如图,A、B两棵树被池塘隔开,现在要测量出A、B两树间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办? 。 A 。 B
在△ABC中, 如果D,E分别是AB、AC的中点, 那么我们就把DE叫做△ABC的中位线。 反之,如果, DE是△ABC的中位线 那么D,E分别是AB、AC的中点。
DE= BC 猜想 三角形的中位线DE与三角形的第三条边BC有怎样的位置关系和数量关系? 位置关系: DE∥BC 数量关系:
DE∥BC且 DE= BC DE= BC 中位线DE DE∥BC且 已知:点D、E分别是AB、AC的中点 求证:
如图,A、B两棵树被池塘隔开,现在要测量出A、B两树间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办? 。 D 只要测量DE的长度,就知道A,B两树间的距离 。 A E 。 。 。 C B
例1:如图,点O是ΔABC内任意一点, D、E、F、G分别是OA、 OB、BC、AC的中点。 求证:四边形DEFG是平行四边形。
在△ADE和△CFE中 AE=CE ∠AED=∠CEF DE=EF ∴△ADE≌△ CFE (S.A.S) ∴AD=CF,∠A=∠ACF ∴AD//CF 1 ∵AD=DB 2 ∴CF=DB ∵CF//DB ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF//BC, DF=BC 即 DE//BC , DE=—BC . 证明 延长DE到F,使EF=DE,连接CF。
证法三:延长DE到F,使EF=DE, 连结AF、DC ∵AE=EC∴DE=EF ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD∥FC,AD=FC ∵D为AB中点, ∴DB∥FC,DB=FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF=BC,DF//BC 即DE= BC,DE//BC
证法二:过点C作AB的平行线交 DE的延长线于F ∵CF∥AB ∴∠A=∠ECF 在△ADE和△CFE中 ∠AED=∠CEF AE=EC ∠A=∠ECF ∴AD=FC,DE=FE ∵DB=AD, ∴DB=FC 又∵DB//FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DF=BC,DF//BC 即DE= BC,DE//BC B ∴△ADE≌△ CFE (S.A.S)
如图,A、B两棵树被池塘隔开,现在要测量出A、B两树间的距离 ,但又无法直接去测量,怎么办? 。 D 有人提出,在地面上任取一点C,连接CA,CB,并分别取CA,CB的中点D,E,只要测量DE的长度,就知道A,B两树间的距离 。 A E 。 。 。 C B
例2:如图,在四边形ABCD中,E、F、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点。 (1)四边形EFGH是平行四边形吗?为什么? (2)当四边形ABCD的对角线满足什么条件时,四边形EFGH是菱形?
有人提出只要测量DE的长度,就知道A,B两树间的距离 ,这种方法是否可行?为什么? 。 D 如果测得DE= 20m,那么A、B两点的距离是多少? 。 A 40m 20m C E 。 。 。 B
M N 说一说 A、B两点被池塘隔开,如何才能知道它们之间的距离呢? 在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN = 20m,那么A、B两点的距离是多少?为什么? A 40 20 B C
问题 A 如图1:在△ABC中,DE是中位线 (1)若∠ADE=60°, 则∠B=度,为什么? (2)若BC=8cm, 则DE= cm,为什么? 60 D E 4 B C 图1 B 如图2:在△ABC中,D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, 则△DEF的周长= cm D F 4 3 5 12 C A E 图2
例题讲解 例1. 在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,四边形EFGH是平行四边形吗?为什么? D H A 解:四边形EFGH是平行四边形 G E 连结AC ∵E、F分别是AB、BC的中点 B C F ∴ EF∥AC EF= AC (三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半) 同理:GH∥AC GH= AC ∴EF∥GH且EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
D H A G E A E H 活动二 B C F B D F G C 如果AC=BD,猜想四边形EFGH是什么图形? 如果AC⊥BD呢? 你能说明其中的道理吗?
小结与填空 ①顺次连结四边形四边中点所得的四边形是—————— 平行四边形. ②顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是———— 菱形. ③顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是———— 矩形. ④顺次连结对角线相等且互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是————— 正方形.
看谁更聪明! ①顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是———————— ②顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是—————— ③顺次连结矩形四边中点所得的四边形是—————— ④顺次连结菱形四边中点所得的四边形是—————— ⑤顺次连结正方形四边中点所得的四边形是—————
例3:已知 ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。求 证:∠HEF= ∠FGH。