0, 1, 2, 3, ..., 24, 25, ..., 1231, 1232, ..., n, ...

1. Természetes számok • 0, 1, 2, 3, ..., 24, 25, ..., 1231, 1232, ..., n, ... •  = {0, 1, 2, 3, ..., n,...} a természetes számok halmaza • Műveletek: összeadás kivonás szorzás osztás

2. Egyenlőségi reláció • Egy szám csak önmagával lehet egyenlő • Pl. 5 + 3 = 10 – 2 • Általánosan a = b, ha a és b ugyanazt a számot jelenti • A számegyenesen minden számból csak egy van és minden szám egy jól meghatározott helyen van. • Az egyenlőségi relácó tulajdonságai:

3. Tulajdonságok • Bármely természetes szám egyenlő önmagával: a = a – reflexív tulajdonság • Ha a = b, akkor b = a – szimmetrikus tulajdonság • Ha a = b és b = c, akkor a = c – ez a tranzitív tulajdonság • Az egyenlőségi reláció egy ekvivalencia reláció

4. A természetes számok összeadása • Kommutatív: a + b = b + a • Asszociatív: (a + b) + c = a + (b + c) • Létezik semleges elem a 0. • Ha a = b és c = d, akkor a + c = b + dEzek a tulajdonságok minden természetes szám esetén igazak. Az összeadás eredménye mindig természetes szám.

5. A természetes számok szorzása • Kommutatív: a · b = b · a • Asszociatív: a(b ·c) =(a ·b)c • Létezik egségelem, az 1. • Ha a = b és c = d, akkor a · c =b · d; • Ezek a tulajdonságok minden természetes számra igazak. • A szorzás eredménye mindig természetes szám.

6. A szorzás disztributív az összeadásra és a kivonásra nézve: a(b + c) = ab + ac; • A kivonás és osztás nem rendelkezik a fenti tulajdonságokkal; • A kivonás és osztás eredménye nem mindig természetes szám; • A kivonás elvégezhető, ha a kisebbítendő nagyobb mint a kivonandó; • Az osztás csak akkor elvégezhető, ha az osztandó többszöröse az osztónak.

7. Természetes számok hatványozása • A hatványozás ismételt szorzás; • An = • Műveletek hatványokkal:

8. Halmazok • A halmaz elsődleges fogalom, nem értelmezhető. • Példákkal lehet érzékeltetni: V. B osztály tanulói, 3-mal osztható természetes számok, stb. • Relációk:  - hozzátartozás  - bennfoglalás • Üres halmaz: Ø – nincs egy eleme sem

9. Műveletek halmazokkal • Halmazok egyesítése: A  B = {x|xA vagy xB} • Halmazok metszete: A  B = {x|xA és xB} • Halmazok külömbsége: A \ B = {x|xA, xB} • Halmazok Descartes-szorzata: A X B = {(x,y)|xA, yB}

10. Halmazok megadása • Az elemek felsorolásával: A = {2, 3, 4, 5} • Az elemek közös tulajdonságának megadásával: B = {x|x a 12 osztója} • Venn-Euler féle diagramm segítségével: A B 2 7 5 1 3 8 6

11. Osztó, többszörös • A b természetes szám osztója az a természetes számnak, ha létezik egy olyan c természetes szám, amelyre a = b·c. • Jelölés: b|a vagy ab • Ilyen esetben mondjuk, hogy a többszöröse a b-nek. • Ha egy szám osztható egy másikkal, akkor nincs maradék.

12. Osztók, többszörösök halmaza - Az n szám osztóinak halmaza - Az n szám többszöröseinek halmaza Pl: Az 1 és 12 nem valódi osztók (triviális osztók). A 2, 3, 4, 6 pedig valódi osztók.

13. A prím számok • Értelmezés: Azokat a számokat, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók, prím számoknak, vagy törzsszámoknak nevezzük (Pl.: 2, 3, 5, 7 stb.). • Ha két vagy több természetes számnak az 1-gyen kívül nincs más közös osztójuk, akkor azokat a számokat viszonylagos törzsszámoknak, vagy relatív prímeknek nevezzük(Pl.:5, 8 és9, vagy 12, 23 és 35 stb.).

14. Két vagy több szám legnagyobb közös osztója és legkisebb közös többszöröse • Legyen a, bN. A max(DaDb) számot az a ás b számok legnagyobb közös osztójának nevezzük és (a, b) jelöljük. • A min(MaMb) nemnulla természetes számot az a és b számok legkisebb közös többszörösének nevezzük és [a, b] jelöljük. • A kető között az alábbi összefüggés áll fenn:

15. Oszthatósági kritériumok • A páros számjegyben végződő természetes számok oszthatók kettővel. • Azok a természetes számok oszthatók hárommal, amelyek számjegyeinek összege osztható hárommal. • Néggyel azok a természetes számok oszthatók, amelyeknek utolsó két számjegyükből alkotott szám osztható néggyel.

16. A nullában vagy ötben végződő számok oszthatók 5-tel. • Kilenccel azok a számok oszthatók amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel. • 10, 100, 1000, ... számokkal a legalább egy, kettő, három, stb. nullában végződő számok oszthatók. • A 00, 25, 50 vagy 75-ben végződő számok oszthatók 25-tel.

17. Vége Köszönöm a figyelmet!