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9.8 距 离

9.8 距 离. 点到平面的距离. 直线到与它平行平面的距离. 两个平行平面的距离. 两条异面直线的距离. P. 可见，连结平面 外一点 P 与 内一点所得的线段中， 垂线段 PA 最短. 点到平面的距离. A. B. 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做 这一个点到这个平面的距离 。. 如果一条直线 平行于平面 ，. 则直线 上的各点到平面的垂线段相等，. 即 上各个点到 的距离相等。. 直线到与它平行平面的距离. 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做 这条直线到平面的距离 。.

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Presentation Transcript

  1. 9.8 距 离 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离 两条异面直线的距离

  2. P 可见，连结平面 外一点P与 内一点所得的线段中，垂线段PA最短 点到平面的距离 A B 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点到这个平面的距离。

  3. 如果一条直线 平行于平面 ， 则直线 上的各点到平面的垂线段相等， 即 上各个点到 的距离相等。 直线到与它平行平面的距离 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。

  4. 在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段:在棱长为a的正方体AC1中找出表示下列距离的垂线段: （1）点A到面BCC1B1的距离； （2）B1D1到面ABCD的距离； （3）点A到面BB1D1D的距离． a a

  5. 例1.如图,已知正三角形ABC的边长为6cm，点O到△ABC各顶点的距离都是4cm，求点O到这个三角形所在平面的距离。例1.如图,已知正三角形ABC的边长为6cm，点O到△ABC各顶点的距离都是4cm，求点O到这个三角形所在平面的距离。 即点O到平面ABC的距离是2cm 解: 设H为点O在平面ABC内的射影， 延长AH，交BC于E，连结BH、CH O 即H是△ABC的中心，AE是边BC上的垂直平分线 C E 在Rt△BHE中， H A B

  6. 两个平行平面的距离 B 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。 A 公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。 B’ A’ 直线AA’、BB’都是它们的公垂线段 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

  7. 练习P49： 1.零,零。 2.与已知平面的距离等于3cm的所有点的集合是什么图形？ 3.已知两平面平行，且两平面距离为4cm，与两平面距离相等的所有点集合是什么图形？ 在已知平 面之间且 距离为2, 平行于已 知平面的 一个平面. 在已知平 面两侧且 距离为 3 的两个平 行平面.

  8. A O E 5. E C B D A 4. 解: 连结CD, 解:

  9. H A O B C D 6.如图,正三角形ABC的中心为点O,边长为2cm. OH⊥平面ABC,且OH=2cm,求点H到这个正三 角形各边的距离. 解: 连结AO并延长AO交BC于D,连HD.

  10. 异面直线的距离 在正方体中，棱AA’和BC所在直线是异面直线， 直线AB和它们都垂直相交。 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。 直线AB就是两异面直 线AA’和BC的公垂线 思考： 任意两条异面直线有几条公垂线？

  11. 设b、a’确定平面 ，则a// 在a上任取一点Q，过Q引QM ，垂足为M， a A’ A Q 设a和QM确定的平面 与平面 相交于直线c， c a’ 在 内作BA // MQ，交a于点A，则 B b M B’ P 任意两条异面直线有且只有一条公垂线 证：设a、b是两条异面直线 在b上任取一点P，过P引a’//a， c与b相交于点B。

  12. a b 可见，直线AB就是异面直线a、b的公垂线 两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 A （即线段AB就是异面直线a、b的公垂线段） B 思考： 两条异面直线的公垂线段长是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。 两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。

  13. 中说出下列各对棱所在直线的距离： ；② ；③ ；④ 与 ① D1 C1 A1 B1 D C 练习：在正方体 A B (1)|BB1| (2)|BC| (3)|AB| (4)|CC1|

  14. 异面直线间距离的求法： a E m A’ d a’ A n F b

  15. A B A’

  16. O D C E A B 3.已知一空间四边形OABC个边及对角线长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，连结DE。 （1）求证DE是异面直线OA和BC的公垂线段; 证明一：连结DB、DC

  17. O D C E A B 3.已知一空间四边形OABC个边及对角线长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，连结DE。 （1）求证DE是异面直线OA和BC的公垂线段; 证明二：连结OE、AE

  18. O D C E A B 3.已知一空间四边形OABC个边及对角线长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，连结DE。 （1）求证DE是异面直线OA和BC的公垂线段; 证明三：

  19. O D C H E A F B 3.已知一空间四边形OABC个边及对角线长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，连结DE。 (2)计算DE的长； (3)求点O到平面ABC的距离OH．

  20. H 3．已知一空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D、E分别是边OA、BC的中点，连结DE． (1)求证DE是异面直线OA和BC的公垂线段； (2)计算DE的长； (3)求点O到平面ABC的距离OH． O D C A E B

  21. B C A D B’ C’ D’ 4．已知正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为1，求直线DA′与AC的距离． O E O’

  22. B C A 5．已知直线AB与平面α所成的角为30°，直线AC与平面α所成为60°，AB＝6cm，AC＝8cm，且斜线段AB和AC在平面α内的射影AB′和AC′互相垂直，求BC．

  23. 习题P50 .6. 已知二面角 , 点A和点B分 别在平面 和平面 内,点C在棱PQ上, ∠ACP=∠BCP= 300,CA=CB=a.(1)求证:AB⊥PQ;(2)求点B到平面 的 距离;(3)设R是线段CA上一点,直线BR与平面 所成角是 450,求线段CR的长. B Q P N H R A 解: (1)作BN⊥PQ于N,连AN. C 即AN⊥PQ,故AB⊥PQ. (2) ∵α⊥面ABN,过B作BH⊥AN于H.

  24. 习题P50 .6. 已知二面角 , 点A和点B分 别在平面 和平面 内,点C在棱PQ上, ∠ACP=∠BCP= (3)设R是线段CA上一点,直线BR与平面 所成角是450,求线段CR的长. 连结HR,因BH⊥ 故∠BRH是BR C 与 所成的角. B Q P N R H A 300,CA=CB=a 解: 由已知,∠BRH=450,

  25. 7. 在1200二面角的棱长，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。 解：∵直线AC与直线BD是异面直线 且AB⊥AC，AB⊥BD ∴线段AB为异面直线AC与BD的公垂线段 B C D A

  26. 8. 设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是1m，所成的角是600，这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是10cm，求这两点的距离。 a E A’ a’ A F b

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