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基本不等式的应用

我 思，故 我 在. 基本不等式的应用. 江门市杜阮华侨中学 杨清孟. 教学重点与难点. 重点：用基本不等式解决实际问题，解决的关键是通过转化，将实际问题转化为数学的球最值问题。 难点：将实际问题转化为数学问题。. （ 5 ）求函数 的最大值 _____. （ 4 ）求函数 的最小值 _____.

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基本不等式的应用

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Presentation Transcript

  1. 我 思，故 我 在 基本不等式的应用 江门市杜阮华侨中学 杨清孟

  2. 教学重点与难点 重点：用基本不等式解决实际问题，解决的关键是通过转化，将实际问题转化为数学的球最值问题。 难点：将实际问题转化为数学问题。

  3. （5）求函数 的最大值_____ （4）求函数 的最小值_____ （2）已知 且 求 的最大值___ 放 飞 思 维 的 翅 膀 思维活动： 10 4 0

  4. 例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？

  5. 解：（1）设矩形的长、宽各为 ，由题意可得 。则篱笆的长可表示为 且 ，根据 得 ，当且仅当 时取等号，故长、宽均为 时，所用的篱笆最短。 例1：用篱笆围城一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时所用的篱笆最短。最短的篱笆是多少？ 且 得 时取等号，故长、宽均为 时，所用的篱笆最短。

  6. 例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

  7. 例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？例2：一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：（1）设矩形的长、宽各为 ，由题意可得 且 。矩形的面积为 由 ，当且仅当 得 时等号成立。

  8. 练习 1：一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18米，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 变式练习：（1）若墙的长度为15米呢？ （2）若墙的长度为12米呢？

  9. 设矩形的长为x m,宽为y m菜园的面积为s则 由基本不等式的性质，可得

  10. 例3 某工厂要建造长方形无盖贮水池，其容积为4800 ，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设底面的长为为x m,宽为y m，水池总造价为z元根据题意，有

  11. 由容积为4800 ，可得 因此 由基本不等式与不等式的性质，可得 即 当x=y,即x=y=40时，等号成立 当x=y,即x=y=40时，等号成立 所以，将水池的底面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600

  12. 练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？

  13. 练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？ 练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？

  14. 练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？ 练习2 做一个体积为32 ，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？ 解 设底面的长与宽分别为a m,b m. 因为体积等于32 高为c=2m所以底面积为16 ， 即 即 即 即 即 所以，用纸面积是

  15. 思考： 甲，乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元（a＜ ).为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

  16. 课堂小结 • 知识要点：（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义 • 思想方法技巧：（1） “整体与局部” （2）换元法、分析法（3）配凑等技巧

  17. 研究性作业 不知大家是否注意到许多碳酸饮料和啤酒的包装都是圆柱形的，厂家在固定饮料容量（不妨设为V）的情况下，如何使用包装用料成为节省成本的一项重要研究内容，你能为厂家节约成本提供一些信息吗？

  18. 进货 运输 销售 数 学 源 于 生 活 问题情境： 假设你是超市的经理，超市的大米销售流程如下图所示：

  19. 问 题 是 数 学 的 心 脏 情境一：进货 超市计划在同一地点进货两次，有两种进货方案。 方案一、每次购买大米M千克； 方案二、每次用N元购买。 (两次进货单价不同，设第一次为a元/千克，第二次为b元/千克)，则选用哪种进货方式合算？ “合算”的含义 ： （1）每一元钱购买的大米最多 （2）每千克大米花费的钱最少

  20. 解：（2）约束条件为 目标函数 结合所学的线型规划的知识求出目标函数的最大值及相应的最优解。

  21. 三维目标 一 知识与技能 1.构建基本不等式解决函数的值域,最值问题； 2.让学生探究用基本不等式解决实际问题； 二过程与方法 1.

  22. 进货结束后装车运回。所购大米需装6辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？ 兴 趣 是 最 好 的 老 师 情境二：运输

  23. 第六辆汽车与第一辆汽车相距至少为 米. =20(秒) 当且仅当 即v=10米/秒， 米时，上式取等号， 解 题 是 数 学 的 关 键 解：设卡车全部安全过桥共需t 秒, 每两辆汽车都相距 此时t=20（秒）。 答：每两辆车均相距 20 米，且速度为10米/秒， 所用时间最少为20秒。

  24. 学 海 无 涯 苦 作 舟 情境三：销售 现已知进货单价第一次为1.8元/千克，第二次为2.2元/千克。若以2.4元/千克出售，则每天可售出1000千克，而如果每千克提价0.01元，每天将少售出10千克，如果每千克降价0.01元，每天将多售出10千克。那么请考虑，每千克售价应为多少元，才能使每天的利润最大。

  25. 提炼 实际问题 数学模型 数学知识 回归 分析总结 数学结论 模型的解 来 而 不 往 ，非 礼 也 课堂小结 （1）应用基本不等式求最值。 （2）应用基本不等式解决实际应用题。

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