Jumping Ropes and Wind Turbines

1. Jumping Ropes and Wind Turbines

2. Jumping Ropes and Wind Turbines • 在我們生活週遭充滿著數學計算，如美國 密蘇里州 聖路易市 有個最有名的地標 大拱門 (The Gateway Arch, St. Louis, Missouri)。 • 位於密西西比河畔的聖路易市是十九世紀西拓的起點重鎮，一九六五年在市中心建立之大拱門( Gateway Arch )即紀念這一段蓽路藍縷的拓荒歷史。六百三十呎高的大拱門是美國最高的國家紀念建築，比自由女神像高兩倍。這個呈倒『U』字的大拱門，使用八百八十六噸的不銹鋼造成。搭乘小電梯四分鐘可到拱門頂端瞭望三十哩內之景致，另外大拱門的底層設立西拓博物館( Museum of Westword Expansion )。

3. 從數學的角度上來看這座建築，可以將它視為一條倒立的懸垂線，而分析一條數學懸垂線，我們可以運用下面這公式：從數學的角度上來看這座建築，可以將它視為一條倒立的懸垂線，而分析一條數學懸垂線，我們可以運用下面這公式： • 上面的式子中，cosh 是雙曲線函數，a = To /ρg，ρ是單位長度的質量，而g是重力( g = 32ft/s^2 = 9.82 m/s^2 )，To是最低點張力。 • 由圖可知，當x = 0, y = H 和當y = 0, x = L/2，x、y 接有一定的範圍。

4. 在探討主題前，我們先來熟悉一些比較困難的問題：在探討主題前，我們先來熟悉一些比較困難的問題： • Periods of Pendulums and Length of Ellipses • Periods of Pendulums • 我們拿一條很長的繩子，將它繫在聖路易士大拱門的頂端，讓它垂放到地(L = 630ft)，我們在高中物理學過，一條繩子若一端繫住垂放擺動，只要擺動角度不超過約5度範圍，即會滿足下面公式： • 但若大於一定小角度時，則要換帶入： • K(k) 是complete elluptie integral of rhe first kind。 • 如今我們假設擺動角度是90度，那麼可推出k = 1/√2 = 0.7071，K(k) = 1.8541，將這些數字帶入，集可算出T = 32.8s。

5. Length of Ellipses • 一個圓的面積公式是 A = πR^2，R是半徑。而一個橢圓面積公式是 • A=πab，其中a 指的是橢圓垂直軸的一半，b指的是橢圓橫軸的一半。再來我們繼續探討它們的周長，圓的周長 = 2πR，那橢圓呢？ • 橢圓圓周的求法到19世紀前葉，仍然沒有被數學家解出來，直至出現了兩位偉大的數學家Adrien-Marie Legendre(法國 1752~1833 )，Carl Gustav Jacob Jacobi (德國 1804~1851)才解出答案。 • 計算一個橢圓的周長可使用： • 而 • 現在我們來看一個簡單的問題，我們都知道我們所居住的地球並不是一個圓球形，而是一個扁橢圓球型，現在已知地球赤道半徑長a = 6378.4km，貫穿南北極半軸長b = 63569，赤道與經線相差多遠呢？ • 先看地球橫剖面圖，他是個圓形，可算出赤道長 S = 2πR = 40076.7km， • 把a、b 帶入k，求得 k = 0.082 ，E(k) = 1.5682，帶回公式可得經線長40010.4km，如此就求出赤道與經線長度差ΔS = 66.3 km。

6. Jumping Ropes or,to Be Scinentific,Troposkeins • 在看完鐘擺和橢圓後，我們回歸到跳繩或又稱Troposkeins的主題，Troposkeins就是所謂兒童跳繩旋擺的曲線。 • 在繼續看這些問題前，我們要先清楚知道幾個運算符號代表的意思，ω是對x軸旋轉的角速度，T指的是張力(x、y表名作用方向)，ds力作用在很小很小的地方，F 離心力，U是速度，r是旋轉曲綠半徑。

7. 在繼續看這些問題前，我們要先清楚知道幾個運算符號代表的意思，ω是對x軸旋轉的角速度，T指的是張力(x、y表名作用方向)，ds力作用在很小很小的地方，F 離心力，U是速度，r是旋轉曲綠半徑。 • 我們已知離心力的公式： • 且 • 帶入推得 • 因此

8. 在來我們從角度上來看： • 將其微分一次得： • 將先前結果帶入 淂： • 因為 • 我們令 p = dy/dx 所以 • 整理一下上述式子：

9. 把變數分開分別積分，利用邊界條件 • 整理得到： • 我們可以導出： • 我們再令 帶入，配上邊界條件 • 得： • 同時

10. 經過一番運算和整理，我們可以簡化成： • 其中

11. Darrieus Vertical-Axis Wind Turbines • 水平與垂直風機的分別確實是以發電機之承軸而不是以風向來分別。無論是水平式或是垂直式風機主要都是擷取平行於地表之風能來發電垂直式風機：發電機之承軸垂直於風向，主要採用推力型之葉片，但是因為效率不如水平式昇力型葉片，所以商業型風力發電機大多不採用垂直形式。且因為垂直型風機不易控制葉片的擷風面，因此無法在風速過高的情況下停機，易導致發電機的承軸在強風時轉速過快而損毀。但是垂直風機因為具有構造簡單、無方向性及低噪音之優點，因此在一些受到噪音管制及掃風範圍限制的地方仍有採用，不過大都是屬於小型輔助式的能源供給系統，無法作為百萬瓦級的發電使用。其葉片數目因設計不同所以數量不一定。