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数学物理方法

数学物理方法. 季保华 德州学院物理系. 数学物理方法. 复变函数 数学物理方程 两个变换 特殊函数. 参考文献. 吴崇试 . 数学物理方法 梁昆淼 . 数学物理方法 郭本宏 . 数学物理方法 H.Jeffeys and B.Jeffey. Methods of Mathematical Physics (Third Edition). Cambridge University Press,1972 许波，刘征编著 . MatLab 工程数学应用 刘元高，刘耀儒 . Mathematica 4.0 使用教程

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  1. 数学物理方法 季保华 德州学院物理系

  2. 数学物理方法 • 复变函数 • 数学物理方程 • 两个变换 • 特殊函数

  3. 参考文献 • 吴崇试. 数学物理方法 • 梁昆淼. 数学物理方法 • 郭本宏. 数学物理方法 • H.Jeffeys and B.Jeffey. Methods of Mathematical Physics (Third Edition). Cambridge University Press,1972 • 许波，刘征编著. MatLab工程数学应用 • 刘元高，刘耀儒. Mathematica 4.0使用教程 • 李世奇，杜慧琴. Maple计算机代数系统应用及程序设计

  4. 第一章 复数与复变函数 • 第一节 复数及运算 • 第二节 区域 • 第三节 复变函数 • 第四节 复变函数的极限和连续性

  5. 第一节 复数及运算 • 复数的概念 形如z=x+iy的数被称为复数，其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1 复数 复数相等 z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1

  6. z平面 虚轴 复数z=x+iy 实轴 幅角 模 主幅角 复平面 复数与平面向量一一对应 复数不能比较大小

  7. 代数表示： z=x+iy • 复数的表示 三角表示： z=r(cosθ+isinθ) 指数表示： z=rexp(iθ) 注意 在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2kπ

  8. 加减运算 z1 +z2 =(x1 +x2)+i(y1 +y2 ) -z2 z1 +(-z2) 设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数 • 复数的运算 复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则

  9. 乘法运算 两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加

  10. 除法运算 两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减

  11. 共轭运算 复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy 共轭复数z*是复数z关于实轴的对称点

  12. 无穷远点 • 复球面

  13. 举例

  14. δ δ z0 z0 第二节 区域 • 区域的概念 平面上以z0为中心，δ为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的δ -邻域 邻域 |z-z0|<δ 0<|z-z0|<δ

  15. z0 G 设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。 开集

  16. D z1 z2 p 区域D连同它的边界L一起构成闭区域，记为 平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。 区域 边界 设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用L来表示。 闭区域

  17. y y y R R R r O x O x x O y y y x θ2 x -R O R O θ1 O x 1

  18. B B 设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。 • 单连通域与多连通域 单连通域 多连通域

  19. 举例 用复数表示的平面点集

  20. 第三节 复变函数 • 复变函数之定义 设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数ω=u+iv与之对应，那么称复变数ω是复变数z的函数，或复变函数，记为ω=f(z)。 说明1 如果z的一个值对应着ω的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个ω的值，那么我们称f(z)是多值函数。

  21. 复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一个映射。复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平面上的一个映射。 说明2 ω =f(z) ω平面 z平面 复变函数ω=f(z)可以写成ω=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy

  22. 求0<θ<π, 0<r<1经ω=iz变换后在ω平面上的图形。 举例 ω=iz=zexp(iπ/2) ω平面 z平面

  23. 指数函数 • 复变函数举例—基本初等函数 性质

  24. ω=ez 求z平面上带形区域-∞<Rez<+∞, 0<Imz<π经 ω=ez 变换后在ω平面上的图形。 举例 注意

  25. 注意 根式函数是多值函数 根式函数 记

  26. 单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域 限制值域的幅角范围为[0,π) 0 1 限制值域的幅角范围为[π,2π) 限制值域

  27. 扩大定义域 Riemann面

  28. 设 ，规定0≤arg(z-1)<2π，求ω(2), ω(i), ω(0), ω(-i)。 举例1

  29. 设 ，规定ω(2)=1, 讨论z沿C1或C2连续变化到原点时，函数ω(0)的值。 举例2 当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|z=0= 当z沿C2移动到z=0时，arg(z-1)|z=0 =-

  30. 对数函数 性质1

  31. 单值化的主要途径 限制值域或扩大定义域 限制值域 Riemann面

  32. 注意 符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别 性质2 恒等式 下列式子不成立

  33. y 1+i O x -1 2 -i 举例 计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)

  34. 三角函数 性质 周期性 恒等式 非有界函数

  35. 求解sinz=0的全部根 • 求解sinz=2的全部根 举例

  36. 反三角函数

  37. 双曲函数 性质 1.以2πi为周期 2.与正弦函数、余弦函数的关系 3.恒等式

  38. 反双曲函数

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