§4 实对称矩阵的对角化

§4实对称矩阵的对角化

定理：设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值， p1, p2, …, pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm各不相同，则 p1, p2, …, pm线性无关．（P.98定理1）

可逆矩阵P，满足 P −1AP = L （对角阵） ? 矩阵P 的列向量组线性无关 AP = PL Api = lipi (i = 1, 2, …, n) (A−li E) pi = 0 对应的特征向量 A的特征值其中

定理：设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值， p1, p2, …, pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm各不相同，则 p1, p2, …, pm线性无关．（P.98定理1）定理： n 阶矩阵 A和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量．（P.101定理4）推论：如果 A有 n 个不同的特征值，则 A和对角阵相似．说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．（P.96例4）

定理：设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值， p1, p2, …, pm 依次是与之对应的特征向量，如果 l1, l2, …, lm各不相同，则 p1, p2, …, pm线性无关．（P.98定理1）定理：设 l1 和 l2是对称阵 A的特征值， p1, p2是对应的特征向量，如果 l1 ≠l2，则 p1, p2正交．（P.105定理2）证明： Ap1= l1 p1，Ap2= l2p2， l1 ≠l2 l1 p1T= (l1 p1)T = (Ap1)T = p1T A T=p1T A （A 是对称阵） l1 p1Tp2 =p1T Ap2 = p1T(l2p2) = l2 p1Tp2 (l1 − l2) p1Tp2 = 0 因为l1 ≠l2，则 p1Tp2 = 0，即 p1, p2正交．

定理： n 阶矩阵 A和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量．（P.101定理4）推论：如果 A有 n 个不同的特征值，则 A和对角阵相似．说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化．定理：设A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P−1AP = PTAP = L，其中 L是以 A的 n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.105定理3）

定理： n 阶矩阵 A和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量．（P.101定理4）推论：如果 A有 n 个不同的特征值，则 A和对角阵相似．说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化． • 推论：设A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 • 矩阵 A−lE的秩等于n − k， • 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应．

把对称阵 A对角化的步骤为： 求出 A的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls，它们的重数依次为k1, k2, …, ks（k1 + k2 + … + ks = n）．对每个 ki重特征值 li，求方程组 | A−liE | = 0 的基础解系，得 ki个线性无关的特征向量．把这 ki个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki个两两正交的单位特征向量．因为k1 + k2 + … + ks = n，总共可得 n 个两两正交的单位特征向量．这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有 P−1AP = L ． L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.

例1：设，求正交阵 P，使P−1AP = L对角阵. 解：因为A 是对称阵，所以 A可以对角化．求得 A的特征值 l1 = l2 =5，l3 = -4 ．

当 l1 =l2 =5时，解方程组 (A -5E) X= 0． ，得基础解系，将正交化，取再将单位化，得

当 l3 = -4 时，解方程组 (A+4E) X = 0． ，得．再将单位化，得令，则P为所求正交阵，且 .

例2：设，求 An. 分析： • 数学归纳法 • 因为A 是对称阵，所以 A可以对角化．求得 A的特征值 l1 = 1， l2 = 5．下面求满足 P−1AP = Λ的可逆矩阵P．

下面求满足 P−1AP = Λ的可逆矩阵P． 当 l1 = 1时，解方程组 (A−E) x = 0 ．，得基础解系．将其单位化得当 l2 = 5 时，解方程组 (A−5E) x = 0．，得基础解系．将其单位化得

记，则有 故 ,于是得

作业 P108 1.(2); P109 5.(2);11.；

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