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第七章 利率期权

第七章 利率期权. 第一节 基本概念 第二节 影响期权价值的因素 第三节 期权定价模型 ——Black’s models 第四节 二项式模型 第五节 顶、底、互换选择权的定价 第六节 利率模型 第七节 可转换债券. 第一节 基本概念. 定义 嵌入期权的金融工具 期权的盈亏. 定义. 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。 买入期权（ Call Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。 卖出期权 （ Put Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。

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第七章 利率期权

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  1. 第七章 利率期权 • 第一节 基本概念 • 第二节 影响期权价值的因素 • 第三节 期权定价模型——Black’s models • 第四节 二项式模型 • 第五节 顶、底、互换选择权的定价 • 第六节 利率模型 • 第七节 可转换债券

  2. 第一节 基本概念 • 定义 • 嵌入期权的金融工具 • 期权的盈亏

  3. 定义 • 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。 • 买入期权（Call Option），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。 • 卖出期权（Put Option ），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。 • 美式期权（American option）， 在到期前的任何时刻都可以执行的期权。 • 欧式期权（European option ），只有在到期时才能执行的期权。

  4. 定义 • In-the-money • Out-of-the money • At-the-money • Strike price：exercise price

  5. 嵌入期权的金融工具 • 可回购债券（callable bonds） • 可回卖债券（puttable bonds） • 可提前偿还的住房贷款（prepayable mortgages） • 顶（caps）, 箍（collars）, 底（ floors） • 期货期权（options on futures） (e.g., Eurodollars and Treasury notes) • 互换期权（swaptions）

  6. 期权的盈亏 • profit profit • Long a call Short a call

  7. 期权的盈亏 • profit profit • Long a put Short a put

  8. 第二节 影响期权价值的因素

  9. 第三节 期权定价模型 ——Black’s models • Black－Scholes

  10. 例 7.1. Black-Scholes 模型的问题 • 给欧式 call option 定价：3年零息债券，施权价格$110, 面值 $100 • 结论很明显，应该是0. • 但在下面假设情况下， r = 10% ， 4% 的年价格波动率，用Black-Scholes 模型计算出来的价格为7.78!

  11. 应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题

  12. 价格波动率：股票与债券 • 股票 • 债券 • 时间

  13. Black's Model • 尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形，叫做Black’s Model, 也还经常被使用，条件是: • a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 • b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。 • 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Black’s Model

  14. 利用Black’s Model给欧式期权定价

  15. 利用Black‘s Model给欧式期权定价 • T = 期权到期日 • F = 到期日为T，价值为V的远期价格 • K = 执行价格 • r = T期的即期收益率 (连续利率) • σ = F的波动率 • N = 累积正态分布 • Pc = value of call • Pp = value of put

  16. 例 7.2: 应用 Black's Model • 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 的，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和9个月后得到)? • 已知 • 今天债券价格 $960 (包括应计利息) • 执行价格 $1,000 • 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础，连续利率) • 债券价格的波动率为年9%

  17. 例 7.2: 应用 Black's Model • 求解 • 第一步: 找到远期价格 • 计算期权价格的参数为:F = 939.68, X=1000, r=0.1, σ=0.09, T = 10/12=.8333.

  18. 例 7.2: 应用 Black's Model

  19. 第四节 二项式模型 • 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值 • 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 • 回购债券定价策略: • 利用利率模型给不可回购债券定价 • 利用利率模型给嵌入的call option定价.

  20. 第四节 二项式模型 • 利用已知的二项式模型定价 • 附息债券 • 基于附息债券的欧式期权 • 基于附息债券的美式期权

  21. 例7.3 • 有如下的二项式树图，该树图可以用来给无风险债券以及债券期权定价（利率上升下降的概率都是50%。 ruu=6.757% ru=4.976% rud=5.532% r0=3.5% rd=4.074% rdd=4.530%

  22. 例7.3 • Price option-free bonds . 例如 票面利率5.25%（年支付），期限3年的债券 V=100 C=5.25 V=98.588 C=5.25 ruu=6.757% V=99.461 C=5.25 rU=4.976% V=100 C=5.25 V=102.075 C=0 r0=3.5% V=99.732 C=5.25 rud=5.532% V=100 C=5.25 V=101.333 C=5.25 rd=4.074% V=100.689 C=5.25 rdd=4.53% V=100 C=5.25

  23. 例7.3 • Pricing a European Call Option: 假定票面利率 5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格为 $99.50. Vcall=0.383, Vbond=101.692 Vcall=0 ruu=6.757% Vcall=0.11 ru=4.976% Vcall=0.383 r0=3.5% Vcall=0.232 rud=5.532% Vcall=0.683 rd=4.074% Vcall=1.189 rdd=4.53%

  24. 例7.3 • Pricing a American Call Option: 在1年后和2年后都可以回购，价格都是 $99.50. Vcall=0.938, Vbond=101.137 Vcall=0 ruu=6.757% Vcall=max(0.11, 0) ru=4.976% Vcall=0.938 r0=3.5% Vcall=0.232 rud=5.532% Vcall=max(0.683, 1.833) rd=4.074% Vcall=1.189 rdd=4.53%

  25. 第五节 顶、底、互换选择权的定价 • 顶与底 • 互换选择权

  26. 顶与底 • 利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最高利率水平。 • 利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最低利率水平。 • 顶和底可以： • 脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。 • 与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。

  27. 顶与底 • 一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。 • 一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串put options。 • 顶和底被分离出来的部分被称为 “caplets”, “floorlets” • 顶的盈亏 = 本金 × 期限 × max[Rt - Rk, 0] • Rt = t 期的利率 • Rk = cap rate • 注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支付的利率！

  28. 例 7.4: 给Cap定价 • Cap rate 5.2%, 名义数量:$10,000,000, 支付频率:年 • 利率变化 ruuu=9.1987% ruu=7.0053% ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% r0=3.5% rd=4.4448% rudd=6.1660% rdd=4.6958% rddd=5.0483%

  29. 例 7.4: Value of the year 1 caplet • 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) • 11,058=0.5(22,890+0)/1.035 22,890 ru=5.4289% 11,058 r0=3.5% 0 rd=4.4448%

  30. 例 7.4: Value of the year 2 caplet 180,530 ruu=7.0053% 111,008 ru=5.4289% 66,009 r0=3.5% 53,540 rud=5.7354% 25,631 rd=4.4448% 0 rdd=4.6958%

  31. 例 7.4: Value of the year 3 caplet 399,870 ruuu=9.1987% 295,775 ruu=7.0053% 214,217 ru=5.4289% 233,120 ruud=7.5312% 155,918 rud=5.7354% 150,214 r0=3.5% 96,726 rd=4.4448% 96,600 rudd=6.1660% 46,134 rdd=4.6958% 0 rddd=5.0483%

  32. 例 7.4:Value of Cap • Value of cap • = value of caplet 1+ value of caplet 2 + value of caplet • =11,058+66,009+150,214 • =227,281

  33. 例 7.5: 给 Floor定价 • Floor rate 4.8%, 名义金额:$10,000,000, 支付频率:年 • 利率变化如下 ruuu=9.1987% ruu=7.0053% ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% r0=3.5% rd=4.4448% rudd=6.1660% rdd=4.6958% rddd=5.0483%

  34. 例 7.5: Value of the year 1 floorlet • 35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%) • 17,159=0.5(35,520+0)/1.035 0 ru=5.4289% 17,159 r0=3.5% 35,520 rd=4.4448%

  35. 例 7.5: Value of the year 2 floorlet 0 ruu=7.0053% 0 ru=5.4289% 2,410 r0=3.5% 0 rud=5.7354% 4,988 rd=4.4448% 10,420 rdd=4.6958%

  36. 例 7.5: Value of the year 3 floorlet 0 ruuu=9.1987% 0 ruu=7.0053% 0 ru=5.4289% 0 ruud=7.5312% 0 rud=5.7354% 0 r0=3.5% 0 rd=4.4448% 0 rudd=6.1660% 0 rdd=4.6958% 0 rddd=5.0483%

  37. 例 7.5:Value of Floor • Value of floor • = value of floorlet 1+ value of floorlet 2 + value of floorlet • =17,159+2,410+0 • =19,569

  38. 互换选择权（Swaptions） • 例 7.6：有下面互换：名义本金$1000 ，期限3年。固定利率支付方每年支付10.1% , 他拥有选择权，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定这一互换选择权的价值。 • 假定在0时点利率为10%。利率上升与下降的概率各为50%。利率路径如下：

  39. 例 7.6: Swaptions ruu=12% ru=11% rud=10% r0=10% rd=9% rdd=8%

  40. 例7.6: Swaptions • 如果理解为本金也相互交换，对于分析该问题，也许更为方便。由于收和付的金额是相等的，这不会影响期权的价值。

  41. 例 7.6: Swaptions • 在Time 2: 市场利率分别为 12%, 10%, or 8%. • 如果是12%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.12 = $983.04(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1120/1.12 = $1000.00 • 不执行！因此，期权的价值为 $0.

  42. 例 7.6: Swaptions • 如果是 10%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.10 = $1000.91(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1100/1.10 = $1000.00 • 执行的价值为 $0.91, 所以，期权的价值为$0.91.

  43. 例 7.6: Swaptions • 如果是 8%, • 固定利率最后支付额的现值=$1101/1.08 = $1019.44(YOU) • 浮动利率最后支付额的现值=$1080/1.08 = $1000.00 • 执行的价值为 $19.44, 所以，$19.44.

  44. 例 7.6: Swaptions • 在 Time 1: 市场利率分别为11% or at 9%. • 如果是 11%, • 剩下的固定利率支付额的现值= 101/1.11 + 0.5(1101/1.1 +1101/1.12)/1.11 = $984.66(YOU) • 浮动利率支付的现值=110/1.11+1000(1+r2)/[(1.11)(1+r2)] = $1000. • 不执行 ! • 另外，你仍然有选择权，该选择权也许在下一期带来价值。 • 期权的现值为: [.5(0)+.5(.91)]/1.11 = $.41

  45. 例 7.6: Swaptions • 如果是9%, • 剩下的固定利率支付额的现值=101/1.09 + .5(1101/1.08 +1101/1.1)/1.09 = $1019.35 • 浮动利率支付的现值= 1090/1.09 = $1000. • 执行的价值为 $19.43. • 等待的价值也许超过执行的价值. • = [.5(19.43) + .5(.91)]/1.09 = $9.33. • 结论: 立即执行! • 价值 =$19.35

  46. 例 7.6: Swaptions • 在Time 0: 利率为 10%,剩下的固定利率支付额的现值=1002.77 1101 983.04 101 ruu=12% 984.66 101 ru=11% 1101 1002.77 r0=10% 1000.91 101 rud=10% 1019.43 101 rd=9% 1101 1019.44 101 rdd=8% 1101

  47. 例7.6: Swaptions • 浮动利率支付的现值= 1100/1.1 = $1000. • 立即执行的价值为 $2.76. • 但是,也许等待的价值更高. 不执行则期权的价值为: [.5(.41)+.5(19.35)]/1.1 = $8.98. • 在 time 0，期权的价值为 $8.98。我们终于找到了它！

  48. 第六节 利率模型 • 杈树模型概述 • 简单加减式模型（Simple Additive Model） • 简单乘除式模型（Simple Multiplicative Model） • 波动率（Volatility） • 从短期利率得到长期利率 • Ho-Lee Model • Salomon Brother Model • B.D.T Model • Vasicek Model

  49. 简单杈树模型概述 • 核心是得到单期利率（短期利率）的演变过程 • 从短期利率可以导出到期收益曲线，通过假定投资者的行为（风险中性）可以得到长期利率 • 选择和确定阶梯的高度（ Step size ）以及概率分布。 • 普通的杈树模型为二项式模型（binomial ）和三项式模型（ trinomial）

  50. 简单加减式模型 • rt+1 = rt + d or rt - d ，概率相等; • 例 7.7 d = .01; r0 = 10% ruu=12% ru=11% r0=10% rud=10% rd=9% rdd=8%

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