● O

1. ●O 2

2. A H G D N B C E · F M 0 3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长. 解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2

3. 4 C M B A O D

4. E A B . O 5

5. 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 A B A B ●O ●O C D C D 6

6. 8 C M B A O D

7. ●O 9

8. ●O 10

9. ●O 11

10. 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 A B A B ●O ●O C D C D 12

11. ●O 13

12. ●O 14

13. 解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得 做一做 6 船能过拱桥吗 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.

14. 九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识 2. 圆的对称性(3) 圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系

15. ●O 圆的对称性及特性 • 圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. • 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. • 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合. • 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

16. 圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB). 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离(如线段OD). A D ┓ B ●O 有关概念

17. 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. A A A A A A B D A′ A′ B B B B B B A ┓ D D D D D ┓ ┓ ┓ ┓ ┓ ┓ ┓ B′ B′ ●O ●O D′ D′ • 你能发现那些等量关系?说一说你的理由.

18. 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合. 想一想 3 A A A A A A B B B B B B A A A′ A′ ┓ ┓ ┓ ┓ B′ B B′ B ●O ●O ●O′ ●O′ D′ D′ D′ D′ • 你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.

19. 议一议 4 A A D D ┓ ┓ B B ●O ●O′ ●O ⌒　⌒ 可推出 ┏ ┏ ②AB=A′B′ A′ A′ B′ B′ D′ D′ 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 • 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等. 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

20. 猜一猜 5 A A D D ┓ ┓ B B ●O′ ●O ●O ⌒　⌒ 可推出 ┏ ┏ ②AB=A′B′ A′ A′ B′ B′ D′ D′ 拓展与深化 • 在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由. ①∠AOB=∠A′O′B′ 如由条件: ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

21. 猜一猜 6 A A D D ┓ ┓ B B ●O′ ●O ●O ⌒　⌒ 可推出 ┏ ┏ ②AB=A′B′ A′ A′ B′ B′ D′ D′ 推论 • 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ①∠AOB=∠A′O′B′ 如由条件: ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′

22. B ⌒ ⌒ OE=OF AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD，那么 ， ，； ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD 已知：如图，AB，CD是⊙O的两条弦， OE，OF为AB、CD的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空： E D A O F C (1)如果∠AOB=∠COD，那么 ， ， ; （2）如果OE=OF，那么 ， ， ； ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF （4）如果AB=CD，那么 ， ， 。

23. B 二.如图，⊙O中，AB=CD，∠1=500，则∠2=。 A 1 o 50 C 2 O D 一.判断下列说法是否正确： 1、相等的圆心角所对的弧相等。（ ） 2、相等的弦所对的圆心角相等。（ ） 3.相等的弧所对的弦相等。（ ） 4、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等。 × × √

25. 随堂练习 7 ⌒ AB • 已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 • 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由. A C O B

26. 已知：如图，在⊙O中，C、D是直径AB上的点,且AC=BD,MC⊥AB，ND⊥AB,M、N在⊙O上。已知：如图，在⊙O中，C、D是直径AB上的点,且AC=BD,MC⊥AB，ND⊥AB,M、N在⊙O上。 求证：AM=BN M N A B C O D 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两 条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.

27. 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两 条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等. ︵ ︵ 如图，在⊙O中，已知AC=BD，求证：AE= BF。

28. B E A · P C D F M O N 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两 条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分 别相等. 如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：AB=CD 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M、N为垂足，∵∠MPO=∠NPO OM⊥AB , ON⊥CD ∴OM＝ON ∵OM⊥AB ON⊥CD AB＝CD

29. B · M D O A N C

30. B • C M O E F P N A D

31. 如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。如图⊙A与⊙B是两个等圆,直线CF∥AB,分别交⊙A于点C、D，交⊙B于点E、F。 求证：∠CAD=∠EBF •B •A E H F D G C

32. 2、在⊙O上有顺次三点A、B、C，若AB=BC=CA，则△ABC是三角形。2、在⊙O上有顺次三点A、B、C，若AB=BC=CA，则△ABC是三角形。 3、在⊙O中，点C存在AB上，若AB=2AC，则AB2AC。 1、下列命题中，正确的是 A.长度相等的弧是等弧 B.优弧大于劣弧 C.直径是圆中最长的弦 D.同圆或等圆中的弦一定相等 A B A O B C C

33. 如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 求证：∠AMN＝∠CNM A C • M N O B D

34. 已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？已知AB和CD是⊙O的两条弦，OE和OF分别是AB和CD的弦心距，如果AB＞CD,那么OE和OF有什么关系？为什么？ A C •O F E D B

35. 如图，CD垂直平分AB，EF垂直平分AD， GH垂直平分DB，下列结论中不正确的是 ︵ ︵ ︵ ︵ C A AC=CB B EC=CG C AE=EC D EA=GB E G ︵ ︵ ︵ ︵ A B F D H

36. 解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 37.4 由题设 7.2 D R 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 (如图)的桥拱是圆弧形, 它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高 (弧的中点到弦的距离, 也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 解得 R≈27.9（m） 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.