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第一节 反常积分的概念 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 第三节 瑕积分的性质与收敛判别

第十一章 反常积分. 第一节 反常积分的概念 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 第三节 瑕积分的性质与收敛判别. 第一节 反常积分的概念. 一、问题提出. 例 1 （第二宇宙速度） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？. 例 2 圆柱形桶的内壁高为 h ，内半径为 R ，桶底有一半径为 r 的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？. 二、两类反常积分的定义. 例 1 计算广义积分. 解. 例 2 计算广义积分. 解. 证.

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第一节 反常积分的概念 第二节 无穷积分的性质与收敛判别 第三节 瑕积分的性质与收敛判别

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  1. 第十一章 反常积分 第一节 反常积分的概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别

  2. 第一节 反常积分的概念 一、问题提出 例1 （第二宇宙速度） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？ 例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？

  3. 二、两类反常积分的定义

  4. 例1计算广义积分 解

  5. 例2计算广义积分 解

  6. 证

  7. 定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.

  8. 例４ 计算广义积分 解

  9. 1 1 ò < dx q 1 例 ５ 证明广义积分 q x 0 ³ q 1 当 时收敛，当 . 时发散 证

  10. 例６ 计算广义积分 解 故原广义积分发散.

  11. 瑕点 例７ 计算广义积分 解

  12. 三、小结 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分（瑕积分） （注意：不能忽略内部的瑕点）

  13. 第二节　无穷积分的性质与收敛判别 一、无穷积分的性质 定理11.1 （柯西准则）无穷积分 收敛的充要条件是：任给 只要 便有

  14. 都收敛， 性质1 若 与 也收敛，且 为任意常数，则 性质2 若 在任何有限区间 上可积， 则 同敛态，且有 与

  15. 性质3 若 在任何有限区间 上可积， 且有 收敛，则 亦收敛，并有 定义：当 收敛时，称 为绝 对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。 注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。 但逆命题一般不成立。

  16. +¥ f ( x ) [ a , ) 定理　 设函数 在区间 上连续， x ò ³ = f ( x ) 0 F ( x ) f ( t ) dt 且 ．若函数 a + ¥ ò +¥ [ a , ) f ( x ) dx 在 上有界，则广义积分 收敛． a 二、比较判别法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法. 　　由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理．

  17. (比较法则) 设函数 11.2 f ( x ) g ( x ) 定理 、 在 +¥ £ £ £ [ a , ) 0 f ( x ) g ( x ) ( a 区间 上连续，如果 + ¥ + ¥ ò ò < +¥ x ), g ( x ) dx f ( x ) dx 并且 收敛，则 a a £ £ £ < +¥ 0 g ( x ) f ( x ) ( a x ), 也收敛；如果 并 + ¥ + ¥ ò ò g ( x ) dx f ( x ) dx 且 发散，则 也发散． a a 证

  18. 由定理知 例如，

  19. 例１ 解 根据比较审敛法１，

  20. 都在任何 推论1 若 与 上可积， 且 则有： 时， 与 （1）当 同敛态； 收敛可推知 （2）当 时，由 也收敛； 发散可推知 （3）当 时，由 也发散。

  21. 推论2 设 定义于 且在任何有限区间 上可积，则有： 且 时 （1）当 收敛； 且 时 （2）当 发散。

  22. 定义于 且在任何有限区间 推论3 设 则有： 上可积，且 时， 收敛； （1）当 （2）当 时， 发散。 例２ 解 所给广义积分收敛．

  23. 例３ 解 故所给广义积分发散． 例４ 解 故所给广义积分发散．

  24. 定理11.3 （狄利克雷判别法）若 在 上有界， 在 上当 时 单调趋于0，则 收敛。 收敛， 定理11.4（阿贝尔判别法）若 在 上单调有界，则 收敛。 三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法

  25. 例5 讨论 的收敛性。 解：（1）当 时 绝对收敛。这是因为： 时收敛，故有比较法则推知 而 当 收敛。 条件收敛。 （2）当 时

  26. ，有 这是因为对任意 而 当 时单调趋于0，故由狄利克雷判别法 推知 当 时总是收敛的。 另一方面，由于 满足狄利克雷判别法 其中

  27. 故 收敛，而 是发散的，因此当 时该无穷积分不是绝对收敛的，所以它 是条件收敛的。 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的： 证明：分别换元 结合例5即证。

  28. 第三节　瑕积分的性质与收敛判别 一、无穷积分的性质 定理11.5 （柯西准则）无穷积分 收敛的充要条件是：任给 只要 便有

  29. 性质1 设函数 与 的瑕点同为 与 都收敛 为常数，则当瑕积分 时,瑕积分 也收敛，并有： 性质2 若 的瑕点为 为任一常数。 则 与 同敛态，且有

  30. 的任一内闭 性质3 若 的瑕点为 在 区间 上可积，则当 收敛时， 亦收敛，并有 定义：当 收敛时，称 为绝 对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。 注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。 但逆命题一般不成立。

  31. 上的两个 定理11.6 （比较法则）设定义在 函数 与 ，瑕点同为 在任何 上都可积，且满足： 则当 收敛时， 必定收敛。 当 发散时， 必定发散。 二、比较判别法

  32. 且 则有： 推论1 若 （1）当 时， 与 同敛态； （2）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （3）当 时，由 发散可推知 也发散。

  33. 定义于 为瑕点，且在任何 推论2 设 上可积，则有： 且 时， （1）当 收敛； （2）当 且 时， 发散。

  34. 定义于 为瑕点，且在任何 推论3 设 则有： 上可积，且 收敛； （1）当 时， （2）当 时， 发散。 例1 解 所给瑕积分收敛．

  35. 例２ 讨论反常积分 的收敛性。 解：把反常积分 写成： （1）先讨论 ，当 即 时它是定 积分；当 时它是瑕积分，瑕点为 由于

  36. 根据比较法则推论3知，当 即 且 时，瑕积分 收敛；当 即 且 时，瑕积分 发散。 （2）再讨论 ，它是无穷积分。由于 根据比较法则知，当 即 且 即 且 时， 收敛；而当

  37. 时， 发散。 综上所述，把讨论结果列如下表： 由此可见，反常积分 只有当 时才是 收敛的。

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