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第3章 解析函数的积分

第3章 解析函数的积分. By 付小宁. 第一节 复变函数积分的概念. 一、积分的定义. 1.有向曲线:. 设 C 为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定 C 的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把 C 理解为带有方向的曲线, 称为 有向曲线. 如果 A 到 B 作为曲线 C 的正向,. 那么 B 到 A 就是曲线 C 的负向,. 关于曲线方向的说明:. 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义:.

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第3章 解析函数的积分

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  1. 第3章 解析函数的积分 By 付小宁

  2. 第一节 复变函数积分的概念 一、积分的定义 1.有向曲线: 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向, 那么B到A就是曲线C的负向,

  3. 关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时, 邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.

  4. 2. 积分的定义: 设在复平面C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。 把曲线C用分点 分成n个更小的弧，在这里分点 是在曲线C上按从 到Z的次序排列的。 如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式

  5. 复变函数的积分

  6. 复变函数的积分 分实部与虚部，有 或 在这里 分别表示的 实部与虚部。

  7. 复变函数的积分 按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且 时，上面的四个式子分别有极限： 这时，我们说原和式有极限

  8. 复变函数的积分 这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为 因此，我们有

  9. 复变函数的积分 如果C是简单光滑曲线： ，并且 ，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成 因此，我们有

  10. 复变函数的积分 我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有 当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。

  11. 例1 解 直线方程为

  12. 这两个积分都与路线C 无关

  13. 例2 (1) 积分路径的参数方程为 解 y=x

  14. y=x (2) 积分路径的参数方程为

  15. y=x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为

  16. 例3 解 积分路径的参数方程为

  17. 例4 解 积分路径的参数方程为

  18. 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.

  19. 三、积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. 估值不等式

  20. 性质(4)的证明 两端取极限得 [证毕]

  21. 例5 解 根据估值不等式知

  22. 注意 即为一元实函数的定积分.

  23. 第二节 柯西－古萨基本定理 一、问题的提出 观察上节例1, 此时积分与路线无关. 观察上节例4,

  24. 观察上节例5, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析. 由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.

  25. 二、基本定理 柯西－古萨基本定理 定理中的 C 可以不是简单曲线. 此定理也称为柯西积分定理.

  26. 关于定理的说明: (1) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界, 定理仍成立.

  27. 三、典型例题 例1 解 根据柯西－古萨定理, 有

  28. 例2 证 由柯西－古萨定理,

  29. 由柯西－古萨定理, 由上节例4可知,

  30. 例3 解 根据柯西－古萨定理得

  31. (1) 注意定理的条件“单连通域”. (2) 注意定理的不能反过来用.

  32. 第三节 基本定理的推广 一、问题的提出 复合闭路定理 根据本章第一节例4可知, 由此希望将基本定理推广到多连域中.

  33. 二、复合闭路定理 1. 闭路变形原理 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理

  34. 2. 复合闭路定理 那末

  35. 三、典型例题 例1 解 依题意知,

  36. 根据复合闭路定理,

  37. 例2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理,

  38. 例3 由上例可知 解

  39. 第四节 原函数与不定积分 一、主要定理和定义 定理一 1. 两个主要定理: 由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关, (如下页图)

  40. 定理二 证 利用导数的定义来证.

  41. 由于积分与路线无关,

  42. 由积分的估值性质,

  43. [证毕] 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.

  44. 2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证

  45. [证毕] 根据以上讨论可知: 那末它就有无穷多个原函数,

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