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特殊三角形

特殊三角形. --- 等腰三角形和直角三角形. 城关中学：丁乃红. 等边三角形. 等腰三角形. 一、知识概要. 1. 概念： 等腰三角形： 有两条边相等 的三角形叫做 等腰三角形 等边三角形： 三条边都相等 的三角形叫做 等边三角形 互逆命题： 在两个命题中，如果 一个命题 的条件和结论分别是 另一个命题 的结论和条件，那么这两个命题为 互逆命题 ，其中一个命题称为另一命题的 逆命题 。. 一、知识概要. 2. 性质：. 一、知识概要. 1. 概念： 直角三角形、勾股定理及其逆定理 2. 性质：直角三角 形 的性质 两锐角互余

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  1. 特殊三角形 ---等腰三角形和直角三角形 城关中学：丁乃红

  2. 等边三角形 等腰三角形 一、知识概要 • 1.概念： • 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 • 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 • 互逆命题： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题为互逆命题，其中一个命题称为另一命题的逆命题。

  3. 一、知识概要 • 2.性质：

  4. 一、知识概要 • 1.概念：直角三角形、勾股定理及其逆定理 • 2.性质：直角三角形的性质 • 两锐角互余 • 斜边上的中线等于斜边的一半 b c • 30º角所对的直角边是斜边的一半 • ch=ab=2S(h为斜边上的高，S为面积） a • 勾股定理及其逆定理 • 直角三角形两条直角边并的平方和等于斜边的平方 • 如果三角形中较小两边的平方和等于较大边的平方，那么这个三角形是直角三角形，较大边所对的角是直角。

  5. A E C B F 二、基本练习 ㈠填空题 3 • 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15，8两部分，则它的底边长为________. 2、“同角的余角相等”的逆命题是___________________. 3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的高与底边所夹的度数为_________. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 35º或20º 4.如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F. 则BF与CF的数量关系为_________ G BF=2CF

  6. A D E C B 二、基本练习 5.在△ABC中， ∠A， ∠B， ∠C的度数值之比为1:2:3，且AB=6cm，则AB边上的中线长为________cm. 6.已知直角三角形的两条直角边为3和4，那么该直角三角形斜边上的高线长为__________. 7.如图，若直角三角形的周长为2+ ， 斜边上的中线长为l，那么这个 直角三角形的面积是_________. 3 12/5 1/2

  7. 三、基本练习 ㈡ 选择题 C • 下列命题中，正确的是（ ）。 (A) 两腰对应相等的两个等腰三角形全等 (B) 两条边彼此相等的两个直角三角形全等 (C) 有一高对应相等的等边三角形全等 (D) 有一条边彼此相等的等腰直角三角形全等 • 等腰三角形的一个内角为98 º，那么一腰上的高线与底边的夹角为（ ）。 (A) 49º (B) 41º (C) 36º (D) 8º • 下列条件：①已知两腰；②已知底边和顶角；③已知顶角与底边；④已知底边和底边上的高；⑤已知腰和腰上的高线。其中能确定一个等腰三角形的条件是（ ）。 (A)①②③ (B)②③④ (C)②④⑤ (D) ③④⑤ A B

  8. 三、基本练习 B 4.如果三角形的三条边上的高线的交点在此三角形的一个顶点上，那么这个三角形为（ ）。 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形 6.若△ABC的三条边 a，b，c 满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是（ ）。 (A) 等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D) 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 D

  9. 7、如图， ∠AOP= ∠BOP= １5°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=_______. 2 8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°, AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=_______.

  10. B E D A C 四、范例精析 例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF 分析： CD=CF ∠2=∠1 ∠1=∠B+∠BAD ∠2=90°－∠BAD F 1 ∠1=90°－∠CAD ∠2=∠3+∠DAC 2 ∠3=∠B ∠ACB =90°，CE是AC边上高 3

  11. 例2.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.例2.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形. • 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。 证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线 和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） 在△BDE和△CEM中 ∴△BDM≌△CEM（SAS） ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形

  12. 例3.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明△DEF也是等边三角形的理由.例3.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，请说明△DEF也是等边三角形的理由. • 解：∵△ABC是等边三角形 • ∴AC=BC，∠A=∠C • ∵CE=BD • ∴BC－BC=AC－CE • ∴CD=AE • 在△AEF和△CDE中 • ∴△AEF≌△CDE（SAS） • ∴EF=DE • 同理可证EF=DF • ∴EF=DE=DF • ∴△DEF是等边三角形 说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求解。

  13. 例4. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由. • 思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD， 　　∴△BAE≌△ACD 　　∴∠ABE=∠CAD 　　∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 　　又∵BQ⊥AD 　　∴∠PBQ=30° 　　∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。

  14. △ △ △ 例5.如图，△ ABC是一个边长为1的等边三角形, 是△ABC的高, 是 的高, 是 的高, 是 的高,……, 是 的高. ⑴求 , 和 的长. ⑵根据⑴的计算结果猜想 的值(用含n的代数式表示,n为正整数). △

  15. △ △ 例6.如图,抛物线 (a＜0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线上另有一点C在第一象限,满足∠ACB为直角,且恰使 OCA∽ OBC. ⑴求线段OC的长. ⑵求该抛物线的函数关系式 ⑶在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

  16. 例7、（山东临沂）△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=900,如图（1），根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2。 若△ABC不是直角三角形，如图（2），如图（3），请用类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与 c 2的关系，并证明你的结论。

  17. A E D 1 2 C B F 例8.如图，在△ ABC中，AC=BC, ∠ACB=90º，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，且AE= BD. 求证：BD是∠ABC的角平分线。

  18. 例9.　如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?例9.　如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个? Ｄ 150° ⌒ Ｈ a Ｏ Ｃ Ｅ Ｆ

  19. C 110° 50° 20° A B 探索题: 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与 三角形的两顶点构成等腰三角形！

  20. C C C 110° 65° 35° 35° 20° 20° 65° 50° B A B A C C A B 110° C 20° 20° 50° 50° B A 50° 20° B A A B C 80° 80° 20° B A （分类讨论） 1、对∠A进行讨论 2、对∠B进行讨论 3、对∠C进行讨论

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