22.1.1 二次函数

1. 22.1.1二次函数

2. 节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？

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5. 基础回顾 什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。 目前，我们已经学习了那几种类型的函数？

6. 变量之间的关系 一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数y=kx (k≠0) 函数 函数知多少 二次函数

7. 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 y=6x2①

8. ②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有唯一的对应值,即d是n的函数。 问题2: 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条 对角线. (n-3) 因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数 M N 即

9. 问题3：某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定问题3：某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定 ，y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为 20(1+x) 20(1+x)(1+x) y=20(x+1)² ③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数。 即 y=20x²+40x+20 ③

10. 观察： 函数①②③有什么共同点? y=6x2① 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。

11. 定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式。 a≠0. （2）a,b,c为常数，且 2 （3 ）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。 （4）x的取值范围是任意实数。 (5) 函数的右边是一个 整 式

12. 二次函数的一般形式: （一般式） y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： • 当b＝0时， y＝ax2＋c • 当c＝0时， y＝ax2＋bx • 当b＝0，c＝0时， y＝ax2

13. 看谁反应快 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)

14. 1 1 例题讲解 __ __ x x² 例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x－1)²+1 (2) y=x+ (3) s=3－2t² (4) y=(x+3)²－x² (5)y= －x (6) v=8π r²

15. 解: 1 1 y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 __ (2) y=x+ (5)y= -x __ x x² (4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2 即 y=6x+9 y=3x2-6x+4 不是二次函数. 是二次函数. 3 二次项系数: -6 一次项系数: 不是二次函数. 4 常数项: (6) v=8π r² 不是二次函数. 是二次函数. (3) s=3-2t²是二次函数. 二次项系数: 8π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 3 常数项:

16. 随堂练习 1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式. S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2 即

17. 随堂练习 3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有。 A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1 C y=x2 D y=2+ √x2+1 B C 4.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0 C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数 C

18. 驶向胜利的彼岸 你知道吗 思考：2. 二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？ 联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0

19. 例2:m取何值时， 函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？ 驶向胜利的彼岸 知识运用 解:由题意得 m2—2m-1=2 m+1≠0∴m=3

20. 小结： 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数 y=kx(k≠0), 反比例函数y= (k≠0) ， 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。 现在我们学习过的函数有: 可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。

21. 想一想

22. 例题讲解 m2-7 例2、y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 　时是正比例函数。 （２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 时是反比例函数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。

23. 易错题 已知函数y=(n²-1)x²+(n²-2n-3)x-n-1 • (1)当n为何值时，y是x的一次函数？ • (2)当n为何值时，y是x的二次函数？

24. 解：（1）由n²-1=0，n²-2n-3=0 解得n= ±1,n ≠-1且n ≠3 • ∴当n=1时，y是x的一次函数 • （2）由n²-1 ≠0,得n ≠ ±1. • ∴当n ≠ ±1时，y是x的二次函数

25. 生活问题数学化 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。 xm xm Y=x(40-2x) 解： 由题意得： y m2 即：Y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为： （40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）

26. 在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ——变换角度分析问题 若函数y=x2m+n－ 2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。 2m+n=2 m-n=0 2m+n=0 m-n=2 2m+n=2 m-n=2 2m+n=2 m-n=1 2m+n=1 m-n=2 ① ② ③ ④ ⑤ ∵ ∵ ∵ ∵ ∵ m=2/3 n=-4/3 m=1 n=-1 m=4/3 n=-2/3 m=2/3 n=2/3 ∴ m=1 n=0 ∴ ∴ ∴ ∴