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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I. Vingt-quatrième cours. Rappel:. Amortissement d’une obligation - méthode actuarielle Amortissement d’une obligation - méthode linéaire Prix d’une obligation entre des coupons - Introduction. Rappel:.

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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  1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingt-quatrième cours ACT2025 - Cours 24

  2. Rappel: • Amortissement d’une obligation - méthode actuarielle • Amortissement d’une obligation - méthode linéaire • Prix d’une obligation entre des coupons - Introduction ACT2025 - Cours 24

  3. Rappel: • la valeur comptable de l’obligation après le versement du ke coupon sera notée par Bk • la portion d’intérêt du ke coupon sera notée par Ik • l’ajustement à être apporté à la valeur comptable de l’obligation dans le ke coupon sera notée Pk ACT2025 - Cours 24

  4. La valeur comptable Bk immédiatement après le ke coupon est obtenue prospectivement (respectivement rétrospectivement) en utilisant les valeurs actuelles des coupons à venir et de la valeur de remboursement (respectivement les valeurs accumulées des coupons versés et du prix) selon au taux de rendement i obtenu lors de l’achat de l’obligation. Rappel: Méthode actuarielle ACT2025 - Cours 24

  5. La portion d’intérêt Ik du ke coupon estiB(k- 1) . C’est ce que doit nous rapporter l’obligation pour une période au taux i. L’ajustement Pk à apporter à la valeur comptable dans le ke coupon est Pk = Fr - Ik .Nous avons Bk = Bk-1 - Pk . Rappel: Méthode actuarielle ACT2025 - Cours 24

  6. Si nous considérons une obligation dont la valeur de remboursement C = 1 dollar et les montants des coupons sont égaux au taux modifié d’intérêt g. Le prix de l’obligation est (1 + p) dollars, où p peut être négatif ou positif. Rappel: Méthode actuarielle ACT2025 - Cours 24

  7. Rappel: ou encore où i est le taux de rendement. ACT2025 - Cours 24

  8. Rappel: ACT2025 - Cours 24

  9. Amortissement - méthode linéaire.L’ajustement à apporter à chaque valeur comptable est constant à chaque période et est égal à Rappel: s’il y a n coupons. La portion d’intérêt de chaque coupon est constante et égale à Fr - Pk = Fr - [(P-C)/n]. ACT2025 - Cours 24

  10. Prix d’une obligation entre des coupons.Considérons le prix P(x) d’une obligation au temps x de sa durée de vie dont les valeurs nominale et de remboursement sont de 100$, le taux facial est r = 4% par période de capitalisation, d’une durée de vie de 8 périodes de capitalisation en supposant que le taux de rendement est 6% par période de capitalisation. Ici x est compris entre 0 et 8. Rappel: ACT2025 - Cours 24

  11. Exemple: P(x) est obtenu prospectivement en considérant la somme des valeurs actuelles des coupons de 4$ et de la valeur actuelle de la valeur de remboursement de 100$. Alors Rappel: ACT2025 - Cours 24

  12. Rappel: ACT2025 - Cours 24

  13. À cause de ces sauts, il est nécessaire de considérer deux prix: le prix uniforme (« flat price ») et le prix du marché (« market price ») ou encore la valeur comptable de l’obligation. Ce dernier prix fera en sorte de lisser la fonction pour faire disparaître les sauts. ACT2025 - Cours 24

  14. Le prix uniforme (« flat price ») de l’obligation est le montant d’argent qui change de main au moment de la vente (sans tenir compte des commissions). Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1. ACT2025 - Cours 24

  15. Le prix du marché (« market price ») ou valeur comptable de l’obligation est le montant d’argent qui apparait dans les cotations financières. Nous noterons ce prix par où k est un nombre entier de périodes et t est compris entre 0 et 1. ACT2025 - Cours 24

  16. Ces deux prix sont reliés par la relation suivante: où Frt est la valeur proportionnelle du coupon après un temps t de la période. Cette valeur Frt sera déterminée selon différentes hypothèses. ACT2025 - Cours 24

  17. Première méthode:Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons. Plus précisément ACT2025 - Cours 24

  18. Pour cette première méthode, le prix du marché est alors ACT2025 - Cours 24

  19. Deuxième méthode:Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est simple pour la période entre deux coupons. Plus précisément ACT2025 - Cours 24

  20. Pour cette deuxième méthode, le prix du marché est alors ACT2025 - Cours 24

  21. Troisième méthode:Le prix uniforme est obtenu en supposant que l’intérêt est composé pour la période entre deux coupons, mais en prenant Frt = tFr . Plus précisément ACT2025 - Cours 24

  22. Pour cette troisième méthode, le prix du marché est alors ACT2025 - Cours 24

  23. Cette dernière méthode est la plus utilisée dans la pratique. Pour obtenir t, le décompte des jours est obtenu soit en utilisant la convention actuel/actuel ou encore 30/360. C’est d’ailleurs ce qui est utilisé par la calculatrice BA-II Plus ACT2025 - Cours 24

  24. Déterminons le prix uniforme, la valeur du coupon et le prix du marché d’une obligation de valeur nominale de 5000$ dont le taux facial est le taux nominal de 8% par année capitalisé semestriellement, la valeur de remboursement est aussi de 5000$ et le taux de rendement est 6% par année capitalisé semestriellement au moment de l’achat, la durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans et l’achat est fait 13 semaines après l’émission. Exemple 1: ACT2025 - Cours 24

  25. Dans ce cas, F = 5000, C = 5000, r = 4% par six mois, i = 3% par six mois. Le coupon est (0.04)(5000) = 200$. La durée de vie de cette obligation au moment de l’émission est de 6 ans, à savoir 12 périodes de capitalisation et l’achat est fait 13 semaines après l’émission. La période de capitalisation est de 6 mois = 26 semaines. Nous allons aussi illustrer chacune des méthodes. Exemple 1: (suite) ACT2025 - Cours 24

  26. Première méthode: Exemple 1: (suite) ACT2025 - Cours 24

  27. Deuxième méthode: Exemple 1: (suite) ACT2025 - Cours 24

  28. Troisième méthode: Exemple 1: (suite) ACT2025 - Cours 24

  29. Exemple 2 : Au terme de la journée du 28 mars 2008, il y avait les cotations suivantes pour les T-Notes du Département du Trésor américain sur le site Yahoo Finance. ACT2025 - Cours 24

  30. Pour chacune des obligations, calculons approximativement le prix du marché à partir du taux de rendement en utilisant la troisième méthode. Pour les obligations du Trésor américain, les coupons sont semestriels, les taux sont des taux nominaux capitalisés semestriellement. Exemple 2 : (suite) ACT2025 - Cours 24

  31. Pour l’obligation 4.875 Mai 09, nous sommes environ au deux tiers d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons ci-dessus, nous obtenons alors que t = (2/3). De plus r = 4.875%/2 = 2.4375% et i = 4.594%/2 = 2.297%. Il y aura 3 coupons. Donc Exemple 2 : (suite) Fr2/3 = 2.4375(2/3) = 1.624999998 ACT2025 - Cours 24

  32. Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 2/3), mais nous aurions pu être plus précis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (119/183) = 0.650273224 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 101.8965855, la partie du coupon (intérêt accru) est 1.585040984 et la valeur comptable est 100.3115445. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite) ACT2025 - Cours 24

  33. Pour l’obligation 4.625 Fév12, nous sommes environ à un sixième d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 1/6. De plus r = 4.625%/2 = 2.3125% et i = 4.837%/2 = 2.4185%. Il y aura 8 coupons. Donc Exemple 2 : (suite) Fr1/6 = 2.3125(1/6) = 0.385416667 ACT2025 - Cours 24

  34. Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 1/6), mais nous aurions pu être plus précis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (28/184) = 0.152173913 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 99.5988535, la partie du coupon (intérêt accru) est 0.351902174 et la valeur comptable est 99.24695133. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite) ACT2025 - Cours 24

  35. Pour l’obligation 4.65 Août11, nous sommes environ à un sixième d’une période de paiement. C’est ce que nous supposerons, nous obtenons alors que t = 1/6. De plus r = 4.65%/2 = 2.325% et i = 4.814%/2 = 2.407%. Il y aura 7 coupons. Donc Exemple 2 : (suite) Fr1/6 = 2.325(1/6) = 0.3875 ACT2025 - Cours 24

  36. Nous avons utilisé une approximation pour le temps (t = 1/6), mais nous aurions pu être plus précis sur le temps écoulé. Dans cet exemple, t = (28/184) = 0.152173913 avec la convention « actuel/actuel ». Il est possible d’utiliser la feuille de calcul « Date » de la calculatrice BA-II Plus pour obtenir ces deux nombres. Dans ce cas, le prix uniforme est 99.83820718, la partie du coupon (intérêt accru) est 0.353804348 et la valeur comptable est 99.48440283. Nous aurions aussi pu utiliser la calculatrice pour obtenir ces deux derniers nombres avec la feuille de calcul « Bond ». Exemple 2 : (suite) ACT2025 - Cours 24

  37. Nous avons vu jusqu’à présent comment calculer le prix P d’une obligation étant donné le taux de rendement i. Nous allons maintenant considérer le problème inverse. Étant donné le prix P, comment déterminer le taux de rendement i. Nous ferons ceci que dans la situation d’une obligation achetée immédiatement après le paiement de coupon. ACT2025 - Cours 24

  38. Nous avons l’équation prime/escompte du prix: ou encore ACT2025 - Cours 24

  39. Nous obtenons alors Dans la suite, nous noterons par k: le nombre ACT2025 - Cours 24

  40. Avec un peu d’algèbre, alors Nous pouvons utiliser l’approximation ACT2025 - Cours 24

  41. Nous obtenons alors une première approximation pour le taux de rendement ACT2025 - Cours 24

  42. Nous pouvons obtenir une seconde approximation pour le taux de rendement en notant dans la formule précédente que si n est grand, alors (n + 1)/2n est approximativement égal à 1/2. Donc ACT2025 - Cours 24

  43. Cette dernière formule est appelée la méthode du vendeur d’obligations. ACT2025 - Cours 24

  44. Finalement nous pouvons obtenir une approximation plus précise encore en utilisant la méthode de Newton-Raphson pour déterminer l’unique zéro positif de la fonction ACT2025 - Cours 24

  45. Nous obtenons comme règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson ACT2025 - Cours 24

  46. Comme valeur initiale pour la méthode, nous pouvons prendre ACT2025 - Cours 24

  47. ou encore ACT2025 - Cours 24

  48. Considérons une obligation de valeur nominale de 100$, remboursé aussi à cette valeur, dont le taux facial est le taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé à tous les six mois, les coupons sont versés à tous les six mois et la durée de vie de l’obligation est de 10 ans. Déterminons le taux nominal de rendement capitalisé semestriellement si cette obligation est achetée à 102$. Ici n = 20, r = g = 4%, k = (102 - 100)/100 = 0.02. Exemple 3 : ACT2025 - Cours 24

  49. Nous pouvons prendre comme valeur initiale Exemple 3 : (suite) ACT2025 - Cours 24

  50. La règle récursive est Exemple 3 : (suite) ACT2025 - Cours 24

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