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定义 2.1 设 A,B 式两个命题公式，若 A ,B 构成的等价式 A ↔ B 为重言式，则称 A 与 B 是 等值的 ，记作 A <=> B.

定义 2.1 设 A,B 式两个命题公式，若 A ,B 构成的等价式 A ↔ B 为重言式，则称 A 与 B 是 等值的 ，记作 A <=> B. 注意： 定义中给出的符号 <=> 不是联结词符，它是用来说明 A 与 B 等值（ A ↔ B 是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。.     判断等值式有如下方法： 1. 真值表 2. 等值演算 3. 范式. 哑元 ：一组公式中共同含有多个变元，如果某变元在公式 p 中没有出现，则称其为该公式的哑元。.

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定义 2.1 设 A,B 式两个命题公式，若 A ,B 构成的等价式 A ↔ B 为重言式，则称 A 与 B 是 等值的 ，记作 A <=> B.

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Presentation Transcript

  1. 定义2.1设A,B式两个命题公式，若A ,B构成的等价式A ↔ B为重言式，则称A与B是等值的，记作A <=> B. 注意：定义中给出的符号<=>不是联结词符，它是用来说明A与B等值（A ↔ B是重言式）的一种记法，因而是元语言符号。     判断等值式有如下方法： 1.真值表 2.等值演算3.范式 哑元 ：一组公式中共同含有多个变元，如果某变元在公式p中没有出现，则称其为该公式的哑元。

  2. 问题：一个智者到一个从未去过的村庄找一位朋友，他走到一个交叉路口不知该往左还是往右走，正好走来一对孪生兄弟。已知这对孪生兄弟有一个总是讲实话而另一个总是说谎话，但他们长得一模一样没法分辨出来。智者设计了一个问题问这对孪生兄弟的任意一个，然后根据回答顺利得找到了他的朋友。请考虑这位智者设计了怎样的一个问题？问题：一个智者到一个从未去过的村庄找一位朋友，他走到一个交叉路口不知该往左还是往右走，正好走来一对孪生兄弟。已知这对孪生兄弟有一个总是讲实话而另一个总是说谎话，但他们长得一模一样没法分辨出来。智者设计了一个问题问这对孪生兄弟的任意一个，然后根据回答顺利得找到了他的朋友。请考虑这位智者设计了怎样的一个问题？ 你兄弟会告诉我 往右走能找到我朋友，对吗？ 请问： 如果回答为对，该往智者哪边走？ 回答为不对呢又如何走？ 判断的依据是什么？ 左 右 这个回答同时包括了孪生兄弟两人的答案，必然引入了一重否定。当回答为不对，就是双重否定，又回到右边

  3. 1. 双重否定律A <=> ┐┐A （2.1） 2. 幂等律A <=> A∨A，A <=> A∧A （2.2） 3. 交换律A∨B <=> B∨A，A∧B <=> B∧A （2.3） 4. 结合律(A∨B)∨C <=> A∨(B∨C)         (A∧B)∧C <=> A∧(B∧C) （2.4） 5. 分配律A∨(B∧C) <=>(A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) <=>(A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律） （2.5） 6. 德摩根律┐(A∨B) <=> ┐A∧┐B，┐(A∧B) <=> ┐A∨┐B （2.6） 7. 吸收律A∨(A∧B) <=> A，A∧(A∨B) <=> A （2.7）

  4. 8. 零律A∨1 <=> 1,A∧0 <=> 0 （2.8） 9. 同一律A∨0 <=> A，A∧1 <=> A （2.9） 11. 矛盾律A∧┐A <=> 0 （2.11） 10. 排中律A∨┐A <=> 1 （2.10） 13. 等价等值式(A ↔ B) <=>(A→B)∧(B→A) （2.13） 12. 蕴涵等值式A→B <=> ┐A∨B （2.12） 14. 假言易位A→B <=> ┐B→┐A （2.14） 15. 等价否定等值式A ↔ B <=> ┐A ↔ ┐B （2.15） 16. 归谬论(A→B)∧(A→┐B) <=> ┐A （2.16）

  5. 置换规则 设Φ(A)是含公式A的命题公式，Φ(B)是用公式B置换了Φ(A)中所有的A后得到的命题公式，若B <=> A，则Φ(B) <=> Φ(A). 例2.4证明：(p→q)→r <≠> p→(q→r)

  6. 2.2 范式     每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形--范式，范式有两种：析取范式和合取范式。  定义2.2命题变项及其否定统称作文字。仅有有限个文字构成的析取式称作简单析取式。仅有有限个文字构成的合取式称作简单合取式。     问：一个文字是？

  7. 定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。     （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。 证明： 设Ai是含n个文字的简单析取式，若Ai中既含有某个命题变项pj，又含有它的否定式┐pj，由交换律、排中律和零律可知，Ai为重言式。反之，若Ai为重言式，则它必同时含某个命题变项及它的否定式，否则，若将Ai中的不带否定号的命题变项都取0，带否定号的命题变项都取1，此赋值为Ai的成假赋值，这与Ai是重言式相矛盾。类似的讨论可知，若Ai是含n个命题变项的简单合取式，且Ai为矛盾式，则Ai中必同时含有某个命题变项及它的否定式，反之亦然。

  8. 定义2.3（1）由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。     （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。    （3）析取范式与合取范式统称为范式。 定理2.2（1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式。     （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式。 定理2.3（范式存在定理）任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。 证明 首先，我们观察到在范式中不出现联结词→与↔ 。由蕴涵等值式与等价等值式可知 A→B <=> ┐A∨B          A ↔ B <=>(┐A∨B)∧(A∨┐B) （2.17） 因而在等值的条件下，可消去任何公式中的联结词→和↔ 。

  9.     其次，在范式中不出现如下形式的公式：┐┐A,┐(A∧B),┐(A∨B)对其利用双重否定律和德摩根律，可得┐┐A <=> A        ┐(A∧B) <=> ┐A∨┐B         ┐(A∨B) <=> ┐A∧┐B （2.18）     再次，在析取范式中不出现如下形式的公式：A∧(B∨C) 在合取范式中不出现如下形式的公式：A∨(B∧C) 利用分配律，可得 A∧(B∨C) <=>(A∧B)∨(A∧C)        A∨(B∧C) <=>(A∨B)∧(A∨C) (2.19) 由（2.17）,（2.18）,（2.19）3步，可将任一公式化成与之等值的析取范式或合取范式。

  10.     据此定理，求范式可使用如下步骤： 1.消去联结词→和↔.     2.否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根律）;    3.利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。 例2.7求下面公式的析取范式与合取范式：(p→q) ↔r

  11. 解 为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要。     （1）先求合取范式(p→q) ↔r <=>(┐p∨q) ↔ r                    （消去→） <=>((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q))    （消去↔ ）  <=> (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q)  （消去→） <=> ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)    （否定号内移）   <=> (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) （∨对∧分配律） 经过五步演算，得到了含三个简单析取式的合取范式。 问：合/析取范式是唯一的吗？

  12. 定义2.4在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变项和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）。     由于每个命题变项在极小项中以原形或否定式形式出现且仅出现一次，因而n个命题变项共可产生2n个不同的极小项。其中每个极小项都有且仅有一个成真赋值。若成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应极小项记作mi.类似地，n个命题变项共可产生2n个极大项，每个极大项只有一个成假赋值，将其对应的十进制数i做极大项的角标，记作Mi。 重要

  13. 定理2.4设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的极小项和极大项，则 ┐mi <=> Mi，┐Mi <=> mi 定义2.5设由n个命题变项构成的析取范式（合取范式）中所有的简单合取式（简单析取式）都是极小项（极大项），则称该析取范式（合取范式）为主析取范式（主合取范式）。 定理2.5任何命题公式都存在着与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯一的。 例2.8求例2.7中公式的主析取范式和主合取范式。

  14. 解 （1）求主析取范式。    在例2.7中已给出的公式的析取范式，即           （p→q） ↔r        <=> (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 在此析取范式中，简单合取式┐p∧r，q∧r都不是极小项。下面分别求出它们派生的极小项。注意，因为公式含三个命题变项，所以极小项均由三个文字组成。 （┐p∧r） <=>┐p∧（┐q∨q）∧r <=> (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) <=>  m1∨m3 q∧r<=>  (┐p∨p)∧q∧r <=>  (┐p∧q∧r）∨(p∧q∧r)<=>  m3∨m7 而简单合取式p∧┐q∧┐r已是极小项m4。于是 (p→q) ↔ r <=> m1∨m3∨m4∨m7

  15. 四、几点注意 1. 由公式的主析取范式求主合取范式     设公式A含n个命题变项。A的主析取范式含s(0<s<2n)个极小项，即A <=> mi1∨ mi2 ∨…∨ mis,0≤ij≤2n-1 ,j=1,2,…,s。 没出现的极小项为mj1,mj2,…,mj2n-s,它们的角标的二进制表示为┐A的成真赋值，因而┐A的主析取范式为 ┐A = mj1∨mj2∨…∨mj2n-s 由定理2.4可知A<=> ┐┐A <=> ┐(mj1∨mj2∨…∨mj2n-s) <=> ┐mj1∧┐ mj2∧…∧┐ mj2n-s <=> Mj1∧ Mj2∧…∧ Mj2n-s 于是，由公式的主析取范式，即可求出它的主合取范式。

  16. 例2.13由公式的主析取范式，求主合取范式：  A <=> m1∨m2∨m3 (A中含两个命题变项p,q,r) 解 A的主析取范式中没出现的极小项为m0,m4,m5,m6,m7，因而 B <=> M0∧M4∧M5∧M6∧M7 问：由公式的主合取范式，是否也可以确定主析取范式？ 如何确定？

  17. 种不同的主析取范式（主合取范式） 2．重言式与矛盾式的主合取范式     矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项个数）个极大项。而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项。将重言式的主合取范式记为1。至于可满足式，它的主合取范式中极大项的个数≥1 3．主析取范式有多少种不同的情况 n个命题变项可产生2n个极小项（极大项），因而共可产生 与真值表不同情况的种数一致。因而可以这样说，真值表与主析取范式（主合取范式）是描述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。

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