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§4 随机变量的相互独立

§4 随机变量的相互独立. 定义. 设 X 1 ,X 2 , … ,X n 为 n 个随机变量，. 若对任意实数 x 1 ，x 2 ，...，x n , 有. P(X 1 ≤ x 1 ,X 2 ≤ x 2 , … ,X n ≤ x n )=P(X 1 ≤ x 1 ) .P(X 2 ≤ x 2 ) … P(X n ≤ x n ) （1）. 即 F( x 1 ,x 2 ,…,x n )=F X1 ( x 1 ).F X2 ( x 2 )...F Xn ( x n ) (2). 成立，则称随机变量 X 1 ，X 2 ，...，X n 是 相互独立的。.

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§4 随机变量的相互独立

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Presentation Transcript

  1. §4 随机变量的相互独立

  2. 定义 设X1,X2,…,Xn为n个随机变量， 若对任意实数x1，x2，...，xn,有 P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn)=P(X1≤x1) .P(X2≤x2)…P(Xn≤xn) （1） 即F(x1,x2,…,xn)=FX1(x1).FX2(x2)...FXn(xn) (2) 成立，则称随机变量X1，X2，...，Xn是相互独立的。 在这种场合下，由每个随机变量的边缘分布函数可以唯一确定联合分布函数。

  3. 对于离散型随机变量，（1）式等价于对任何一组可能取值(x1，x2，...，xn)成立 P(X1=x1，X2=x2，...，Xn=xn)=P(X1=x1) .P( X2=x2)…P(Xn =xn) (3) 对于连续型随机变量，（1）式等价于对一切x1，x2，...，xn成立 f(x1,x2,…,xn)=fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn) (4) 在二维的情况下，（1）式为 P（X≤x，Y≤y）=P（X≤x）P（Y≤y）即 F(x,y)=FX(x).FY(y)

  4. (3)式为{X=xi,Y=yj}= P{X=xi}.P{Y=yj} 即 如：在第二节例2中,放回抽样的情况下，X、Y独立;不放回抽样的情况下,X、Y不独立。 (4)式为 f(x,y)= fX(x).fY(y) 如：在第二节例3中，X、Y独立；在第二节例4和例5中X、Y不独立。

  5. 2、实际意义 在实际问题或应用中,当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用. 3、补充说明  在X与Y是相互独立的前提下， • 由联合分布可求边缘分布； • 由边缘分布也可求联合分布！

  6. 例1设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，即(X,Y)～N(μ1,μ2,σ1,σ2,r），试证X与Y相互独立的充分必要条件为r=0。例1设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，即(X,Y)～N(μ1,μ2,σ1,σ2,r），试证X与Y相互独立的充分必要条件为r=0。

  7. 例2 一负责人到达办公室的时间X均匀分布在8~12时，即 ，其秘书到达办公室的时间Y均匀分布在7~9时，即 ，且二人到达办公室的时间独立，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率。 解：由题设X,Y的概率密 度函数分别为： 记图中阴影部分为，

  8. 其面积为SG。显然题意所求概率为 而SG=1/6，故 即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1/48。

  9. 例3 设随机变量X和Y相互独立，下表给出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 Y y1 y2 y3 P{X=xi}= x1 1/8 x2 1/8 P{y=yj}= 1/6 X 1/24 1/12 1/4 3/4 3/8 1/4 1/2 1/3

  10. 例4 已知随机变量X1和X2的概率分布 X1 -10 1X2 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2 且P{X1X2=0}=1 求(1) X1和X2的联合分布 (2) 问X1和X2是否相互独立？ 解(1)由P{X1X2=0}=1,可得P{X1=-1,X2 =1}=0, P{X1=1，X2 =1}=0，于是可得 P{X1=-1，X2 =0}= P{X1=-1}=1/4 P{X1=0，X2 =1}= P{X2 =1}=1/2 P{X1=1，X2 =0}= P{X1=1}=1/4 P{X1=0，X2 =0}=1-（1/4+1/2+1/4）=0

  11. 于是得X1和X2的联合分布为 X1 X2 -1 0 1 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 1/4 1/2 1/4 1 （2）由以上结果可见P{X1=0，X2 =0}=0 P{X1=0}P{X2 =0}=1/4≠0， 所以X1与X2不相互独立。

  12. 例5 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}上服从均匀分布，记 x (1)求U和V的联合分布； (2)试问U和V是否相互独立？ y=x y=2x 解：由题设可得 P{Y≤X}=1/4， y o P{X<Y≤2X}=1/4 P{Y＞2X}=1/2 (1)(U,V)有四个可能值:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。 P{U=0,V=0}=P{Y≤X,Y ≤ 2X}=P{Y ≤X}=1/4

  13. P{U=0，V=1}=P{Y≤X,Y＞2X}=0 P{U=1,V=0}=P{Y>X,Y≤2X}=P{X<Y≤2X}=1/4 P{U=1,V=1}=P{Y>X,Y>2X}=P{Y>2X}=1/2 由(U,V)的联合分布,求得U和V的边缘分布分别为: P{U=0}=P{U=0,V=0}+P{U=0,V=1}=1/4+0=1/4 P{U=1}=P{U=1,V=0}+P{U=1,V=1}=1/4+1/2=3/4 P{V=0}=P{U=0,V=0}+P{U=1,V=0}=1/4+1/4=1/2 P{V=1}=P{U=0,V=1}+P{U=1,V=1}=0+1/2=1/2 P{U=0,V=0}=1/4≠( 1/4)·(1/2)= P{U=0}·P{V=0} 所以随机变量U和V不是相互独立的 。

  14. 例 6若(X,Y)的概率密度为 问X与Y是否相互独立？ 显然， ，X与Y不独立。

  15. 例 7若(X,Y)的概率密度为 问X与Y是否相互独立？ 解 显然， ，X与Y独立。

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