球内切外接问题

球内切外接问题张家港市后塍高级中学周明

五分钟练习： 1、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍，则球的体积比原来增加了 ___________ 倍； 2、两个半径为 1 的铁球，熔化后成铸成一个球，这个大球的半径为 _________。

思考：体积为 3 的正方体内接于球，则 球的体积为 ( ) A. B. C. D. A C O A1 C1 C 设正方体棱长为 a，球半径为 R

变题：长方体的共顶点的三个侧面积分别 为、、，则它的外接球的表面积为 __________ A C O A1 C1 设长方体的长宽高分别为a、b、c

例1、半球内有一个内接正方体，正方体的 一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。 A1 C1 A O C 过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面α，则α截半球面得半圆，截正方体得一矩形，且矩形内接于半圆，如图所示。

例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。 A A O O E B O1 E B O1 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 ) 在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高 O1是正△BCD的中心，且AE 为斜高 1

例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。 A A 1 F O O E B O1 E B O1 作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r，则 OO1 = 1 －r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。 A 1 θ O E B O1 在 Rt △ AO1E 中在 Rt △ OO1E 中

例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。 A O D B C 设球的半径为 r，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD

A 5 6 5 O D 6 5 B E 即 S △ABE = 5 C 练习、三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。取 CD 的中点 E，连 AE、BE ∵ AC = AD = BC = BD， ∴ CD ⊥ AE ，CD ⊥ BE， ∵AE∩BE = E， ∴CD ⊥ 面ABE ∵ AD = BD = 5，DE = 3 ∴ AE = BE = 4

A 5 6 5 O D 6 5 B E 5 C 练习、三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积。 ∵ 各侧面全等设内切球半径为 r

P G O D A O1 E 例3、求棱长为 a 的正三棱锥 P – ABC 的外接球的表面积过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α截球得大圆，截正四面体得△PAD 如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G 则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D

P A C O 练习2、求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的体积。过正四棱锥的相对侧棱作截面α 则α截球得大圆，截正四棱锥得 △PAC，且 △PAC 内接于圆 O，如图所示 ∵ PA = PC = a ∴ △ PAC 是等腰 Rt △ 即 AC 为球的直径

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