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§4.7 分块乘法的初等变换 及应用举例

§4.7 分块乘法的初等变换 及应用举例. 一、分块乘法的初等变换. 二、应用举例. E 分块成 ，作 1 次 “ 初等变换 ” 可得. 一、分块乘法的初等变换. 若 A 可逆，令 ．则有：. 且有. 特别地 ,. 若 D 可逆，令 ．则有：. 同理. 由. 及. 例 1 ． A ， D 可逆，求 ．. 二、应用举例. 解：. 有. 设. 可逆， D 可逆，试证. 存在，并求. 由. 故. 存在. 例 2. 存在，并求. 证明.

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§4.7 分块乘法的初等变换 及应用举例

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Presentation Transcript

  1. §4.7 分块乘法的初等变换及应用举例 一、分块乘法的初等变换 二、应用举例

  2. E分块成 ，作1次“初等变换”可得 一、分块乘法的初等变换

  3. 若A可逆，令 ．则有： 且有 特别地,

  4. 若D可逆，令 ．则有： 同理

  5. 由 及 例1．A，D可逆，求 ． 二、应用举例 解： 有

  6. 设 可逆，D可逆，试证 存在，并求 由 故 存在. 例2 存在，并求 证明 又右端仍可逆， 再由例1，知

  7. 例3． ，求 ． 把A分块成 解： 则 又

  8. 例4．证明： (A、B为n级方阵)． 作 再作 2n级矩阵 这里 中除 的元素为 外，其余元素皆为0． 证： 由初等矩阵与初等变换的关系, 得

  9. 而变换不改变行列式的值,

  10. 又

  11. 例5.设 ,且 ， 证明：存在下三角矩阵 ，使为上三角形． 证：对 作归纳法． 当 =1时， 为上三角形． 即对 级矩阵命题成立， 假设对 于是存在 下三角矩阵 ， 使 为上三角形． 结论成立，

  12. 则　　 下面考虑 级矩阵 对A作分块　 为上三角形．

  13. 即为所要求的下三角形．

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