Исследование операций

1. Исследование операций 1 лекция в неделю (9-11) 1 практика в 2 недели (4-6) Лектор – проф.ЕРЗИН Адиль Ильясович Ком. 223(Институт математики СО РАН) Тел. 3634-623 E-mail: adilerzin@math.nsc.ru Лекции - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR/ Практика - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/or/ + Семинары – к.ф.-м.н. Тахонов И.И.

2. Правила игры • 4 (домашние) задачи • письменный экзамен (конец апреля – начало мая) • устный (open book) экзамен (во время сессии) • 3 попытки…

3. Литература • Береснев В.Л., Дементьев В.Т. Исследование операций. Введение: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979. • Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1982. • Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия решений: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1991. • Ерзин А.И. Введение в исследование операций: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR. • Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование операций. Примеры и задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. math.nsc.ru/LBRT/k4/or. • Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2004. • Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. • Wolsey L.A. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998.

4. Немного истории… • 1935 – Великобритания – ПВО • 1938 – Operational Research • США – Operations Research – дальнейшее развитие… • Задачи ИО: • целераспределения • быстродействия • упаковки • о рюкзаке… • В рамках ИО рассматриваются задачи: • ЛП, ЦЛП, СЛП • теории расписаний и сетевого планирования • транспортные задачи и задачи о назначениях • маршрутизации и построения оптимальных структур • теории игр • потоки в сетях • управления запасами • теории массового обслуживания • …

5. Эйлер: «Все явления в Мире подчинены оптимизации, и нет никаких сомнений, что всё рациональное может быть объяснено оптимизационными методами»

6. Мат. анализ и экстремальные задачи • f (x)– гладкая выпуклая/вогнутая  f (x) = 0… • x  D градиентный метод; метод множителей Лагранжа; метод штрафных функций… • f (x)– линейная и мн. D задано линейными (не)равенствами… Симплекс метод… • f (x)– строго унимодальная ф. одной переменной  дихотомия, метод золотого сечения (метод Фибоначчи)…

7. Принятие решений • Какое решение является наилучшим? Ответ можно искать на основе опыта и здравого смысла • Но: • решений много… • трудно представить реакцию системы на управление из-за ее сложности • Основной способ ИО – это переход от качественной модели к математическойматематическое моделирование – основной метод ИО • Будем понимать под ИО науку о математических • моделях и методах принятия оптимальных решений

8. Мат. моделирование Математическая модель объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи, или описание задачи в математических терминах. Общий вид математической модели: или или • задачаЛП: • задачаЦЛП: • задачабулевого ЛП: • задачасмешанного ЛП:

9. Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений The Nine Chapterson the Mathematical Art.2nd century BC, New York Times of November 7, 1979: “A surprise discovery by an obscure Soviet mathematician has rocked the world of mathematics”. Этот неизвестный математик – Л.Г. Хачиян. Он модифицировал метод эллипсоидов, который был разработан для нелинейного программированияН.З. Шором и др., и доказал его полиномиальность. Это была сенсация! На практике метод эллипсоидов работал плохо… Karmarkar (1984)

10. Мат. моделирование Если целевая функция или/и ограничения нелинейные, то такая модель называется нелинейной. Оптимизационные задачи, в которых переменные принимают значения из конечного множества, называют задачами дискретной (или комбинаторной) оптимизации. Комбинаторные постановки задач часто можно записать в виде: где ci R,i  N и F – заданное множество подмножеств мн. N = {1, …, n}.

11. Булева задача о ранце (ЗР) Дано: N – множество предметов; A – емкость ранца; cj ≥ 0 ценность предмета; aj≥ 0 – объем (вес) предмета. Требуетсявыбрать подмножество предметов максимальной ценности, объем которых не превосходит A. Мат. постановка: Комбинаторная постановка:

12. Задача коммивояжёра (КМ) Дано: N – множество городов; cij≥ 0 – расстояние (стоимостьпереезда). Требуетсянайти гамильтонов цикл min длины. или

13. Пример КМ 3 1 2 4 5 6 8 7 9

14. Задача производства и хранения продукции Дано: dt ≥ 0 – потребности; ft ≥ 0 – фиксированные затраты; pt ≥ 0 – стоимость производства единицы продукции; ht ≥ 0 – стоимость хранения единицы продукции. Требуетсяопределить план: потребности удовлетворены, и суммарные затраты, связанные с производством и хранением, min Переменные: xt – объем продукции, выпущенной в течение дня t; st– количество продукции на складе к концу дня t; yt = 1, если в день t осуществляется производство и yt= 0 в противном случае.

15. Задача производства и хранения продукции Если доп. потребовать, что sn = 0, то и справедливо равенство Тогда пер. st можно исключить