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第六讲 变分法建模

第六讲 变分法建模. • 处理动态优化问题. • 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小. 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题. 求一条曲线. ， 使得物体在重力的作用下. (不计摩擦力)，由. 沿着该曲线轨道滑到. 所需的时间最少(见图1)。. 6.1 变分法简介. 一 实例 最速下降问题. 图6-1. 由能量守恒定律， 物体在曲线轨道上任意一点处的速度为. 变分问题. 物体从 A 到 B 的滑行时间为. 问题 求解. 二 变分法的基本概念.

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第六讲 变分法建模

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Presentation Transcript

  1. 第六讲 变分法建模 • 处理动态优化问题 • 问题归结为求最优控制函数使某个泛函 达到最大或最小 6.1 变分法简介 6.2 掌舵问题

  2. 求一条曲线 ，使得物体在重力的作用下 (不计摩擦力)，由 沿着该曲线轨道滑到 所需的时间最少(见图1)。 6.1 变分法简介 一 实例 最速下降问题

  3. 图6-1 由能量守恒定律，物体在曲线轨道上任意一点处的速度为

  4. 变分问题 物体从A到B的滑行时间为 问题 求解

  5. 二 变分法的基本概念 设S为一函数集合，若对S中的每一函数都 有一个确定的数J与之相对应，则称J为定义在S上的一个泛函，记作J[y(x)] 。S称为泛函J[y(x)]的定义域。 泛函 最简泛函的形式

  6. 函数 在 的增量 其中L是 的线性项， 而 是 的高阶项 泛函 J 在 的变分 泛函的变分 函数的 变分

  7. 泛函 取得极小值(极大值)是指： 接近的 都有 对于任意一个与 泛函的极值 变分与极值的关系

  8. 若 达到极值(极小或极大)，则 泛函数极值的必要条件 三 最简泛函取得极值的必要条件 欧拉 方程

  9. 注：此最简泛函极值的必要条件可以推广到含有两个及两个以上未知函数 欧拉方程组

  10. 最速下降问题的求解

  11. 其中任意常数 由边界条件 确定

  12. 例 解

  13. 四 条件极值 化条件极值为无条件极值 拉格朗日乘子法 哈密尔顿函数

  14. 条件极值 满足的方程

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