第一章

1. 第一章 　　多项式是最重要的初等函数之一，这一章对多项式的理论作了较深入、系统、全面地论述. 　　本章主要内容有：

2. 1.一元多项式的运算 设 则 其中

3. 1.一元多项式的运算（续） 多项式的运算满足： (1) 加法交换律： (2) 加法结合律 : (3) 乘法交换律: (4) 乘法结合律 : (5) 乘法对加法的分配律 : (6) 乘法消去律 : 如果 且 则

4. 2.整除性理论 (1) 带余除法 带余除法: 对于 中任意两个多项式 与 ，其中 ，一定有 中的多项式 ， 存在，使 (1) 成立，其中 或者 ，并且这样的 ， 是唯一决定的. 如果 ，则称 整除 ，记作 . 余数定理：用 除 所得的余数等于 推论： 的充要条件是

5. 2.整除性理论（续） (2) 关于整除的一些推论 1) 如果 ，那么 ，其中 为非零常数． 2) 如果 ，那么 （整除的传递性) . 3) 如果 那么 其中 是数域 上任意的多项式.

6. 3.最大公因式 (1) 最大公因式的定义 设 是 中两个多项式． 中多项式 称为 　　　　的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件： 1) 是 的公因式； 2) 的公因式全是 的因式． (2) 的最大公因式 可以表成 的一个组合，即有多项式 ，使 (3) 互素的概念 多项式 称为互素的，如果

7. 3.最大公因式（续） (4) 互素的多项式有下述一些重要性质： 1） 互素的充分必要条件是有多项式 使 2） 如果 ，且 ,那么 3） ， 4）

8. 4.因式分解定理 (1) 不可约多项式的概念 数域 上次数 的多项式 称为域 上的不可约多项式，如果它不能表成数域 上的两个次数比 的次数低的多项式的乘积. (2) 不可约多项式的两个重要性质： 1) 是不可约多项式，任意一个多项式 或者 2） 是不可约多项式, 能整除 中的一个. (3) 因式分解定理： 数域 上每一个次数 的多项式 都可以唯一地分解成数域 上一些不可约多项式的乘积.

9. 5. 重因式 (1) 重因式的定义 不可约多项式 称为多项式 的 重因式，如果 ,而 (2) 重因式的判断： 没有重因式

10. 6.复系数多项式、实系数多项式的因式分解 (1) 复系数多项式因式分解定理: 复系数 次多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次多项式的乘积.换句话说,复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的. (2)代数基本定理: 每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域中至少有一个根. (3) 实系数多项式因式分解定理: 实系数 次多项式在实数域上可以唯一地分解成一次多项式及二次不可约多项式的乘积.换句话说,实系数多项式 在实数域上不可约的充要条件是 或 且

11. 7.有理系数多项式 (1) 本原多项式 如果一个非零的整系数多项式 的系数互素,则称 是一个本原多项式. (2) 有理系数多项式的因式分解与整系数多项式的因式分解之间的关系 (3) 有理系数多项式有理根 设 是整系数多项式，而 是它的一个有理根，其中 互素，那么必有

12. 7.有理系数多项式（续） (4) 艾森斯坦因判断法设 是一个整系数多项式.如果有一个素数 使 1． 2． 3． 那么 在有理数域上是不可约的. (5) 对于任意的正整数 ，都有 次不可约的有理系数多项式.