Plazmony powierzchniowe

1. Plazmony powierzchniowe • Jeszcze raz o fali zanikającej na granicy ośrodków dielektrycznych • Jeszcze raz o własnościach optycznych metali • Fale na granicy metal – dielektryk Rola polaryzacji p pola elektromagnetycznego Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? • Dyfrakcja swiatła na szczelinie KryteriumRayleigha • Niezwykła transmisja światła przez nano-dziurki w foliach metalowych • Plazmony powierzchniowe i nanofotonika Zadanie domowe

2. poprzedni wykład: Odbicie i załamanie;równania Frenela Wiązka padająca, przechodząca i odbita na płaszczyźnianej granicy ośrodków Współczynniki odbicia i transmisji Równania Fresnela Kąt Brewstera Całkowite wewnętrzne odbicie Odbijalność i transmitancja granicy płaszczyźnianej Przesunięcie fazy wskutek odbicia i załamania Fala zanikająca (ewanescentna)

3. Co stanie się z falą, która trafi na granicę ośrodków? Nagła zmiana współczynnika załamania: Odbicie (częściowe) i transmisja (częściowa) fali (1D). Jaka część fali zostanie odbita, a jak przejdzie przez granicę ośrodków?

4. Granica dwóch ośrodków 1 2 E1 1 E2 Et1 2 składowe pól styczne do powierzchni: Et 2 Na granicy ośrodków o różnych właściwościach optycznych, kierunek pól E, Hfali świetlnej podlega modyfikacji, a same pola doznać mogą nieciągłości Warunki graniczne które muszą spełniać polaEiH:

5. Granica dwóch ośrodków 1 2 1 2 składowe pól styczne do powierzchni: składowe pól normalne do powierzchni: Na granicy ośrodków o różnych właściwościach optycznych, kierunek pól E, Hfali świetlnej podlega modyfikacji, a same pola doznać mogą nieciągłości Warunki graniczne które muszą spełniać polaEiH:

6. Granica dwóch ośrodków 1 2 1 2 składowe pól normalne do powierzchni: Na granicy ośrodków o różnych właściwościach optycznych, kierunek pól E, Hfali świetlnej podlega modyfikacji, a same pola doznać mogą nieciągłości Zauważmy, że jeśli istnieje składowa Ennormalna do powierzchni, to pole to doznaje skoku na tej powierzchni Istnienie ładunku na powierzchni Dn1=1En1 Dn2=2En2

7. y    kt ki kr r i  Bt y x t y x z n1 n2 Granica dwóch ośrodków PolaEi, Er i Et o dowolnej polaryzacji można wyrazić jako kombinację liniową pól o polaryzacji s ip. Polaryzacjarównoległa względem płaszczyzny padania(polaryzacja p, TM): E|| dopłaszczyzny padania Polaryzacjaprostopadła względem płaszczyzny padania(polaryzacja s, TE): E dopłaszczyzny padania

8. Granica dwóch ośrodków nglass nair Całkowite odbicie wewnętrzne nglass»1.5 > nair»1 Zauważmy że: Całkowite wewnętrzne odbicie ma miejsce dla kątów większych niż pewien kąt graniczny Z prawa Snella: sin(qcrit)=nt /nisin(90) qcritº arcsin(nt /ni)

9. Fale ewanescentne Gdy 2 =  /2, 1 graniczny „fale transmitowane" w warunkach, gdy ma miejsce całkowite wewnętrzne odbicie a co będzie, gdy 1 > graniczny? ?? Gdy 1, w przedziale 0-90o, sin1, czyli zgodnie z prawem Snella: sin2 nie może wzrosnąć powyżej wartości 1 (chyba że kąt 2jest katem urojonym!!!) sin1 powinien rosnąć wraz kątem 1 rosnącym powyżej kąta granicznego

10. ni z qi nt x qt Fale ewanescentne Pole po drugiej stronie? Wektor falowy k fali ewanescentnej musi mieć składową xiz: Wzdłuż powierzchni: kx = ktsin(qt) Prostopadle do niej: kz= kt cos(qt) Używając prawa Snella:sin(qt) = (ni /nt) sin(qi),mamy: cos(qt) = [1 – sin2(qt)]1/2 = [1 – (ni /nt)2 sin2(qi)]1/2= ±ib Pomijając niefizyczność (?!) rozwiązania: -ib, mamy: Et(x,z,t) = E0t exp[i ]=E0t exp[–kb z] exp i [k (ni /nt) sin(qi) x – w t ] Fala ewanescentna propaguje się wzdłuż powierzchni i zanika wykładniczo prostopadle do niej.

11. Fale ewanescentne z propagują się na powierzchni granicznej dielektryk- dielektrykw warunkach całkowitego wewnętrznego odbicia  >gr y x Czy można się spodziewać fal propagujących się na granicy metal – dielektryk? Metale zawierają wysokie gęstości elektronów swobodnych(niezwiązanych), które pochodzą z powłok walencyjnych atomów metalu. Elektrony te (gaz elektronowy) nie są już związane z konkretnym jonem dodatnim i mogą się swobodnie poruszać o ile nie napotykają w swym ruchu ograniczeń. Krawędź metalu takie ograniczenie stwarza.

12. Właściwości optyczne metali model Drudego-Lorentza-Sommerfelda: gdzie p jest częstością plazmową danego metalu: Współczynnik załamania: Relacja dyspersji: • Współczynnik ekstynkcjiktłumi pole • Współczynnik załamania n zmienia długość wektora falowego k (długość fali) Właściwości optyczne metali silnie zależą od częstotliwości fali świetlnej!

13. Metal Właściwości optyczne metali model Drudego-Lorentza-Sommerfelda: gdzie p jest częstością plazmową danego metalu: Współczynnik załamania: Relacja dyspersji: Załóżmy dla prostoty, że  = 0. Wówczas: dla:  < p  () < 0 a współczynnik załamania jest czysto urojony: Brak propagującej się fali sinusoidalnej w meatalu: amplituda fali zanika wykładniczo; cała energia fali padającej jest w fali odbitej

14. R 1 .5 0 /p 0.8 1 2 1 .5 0 Al R Ag Au 0 1 2 3 4 5 ħ [eV] Współczynnik odbicia przy padaniu normalnym (r. Frenela): Odbicie od powierzchni metali współcz. odbicia: dla:  < p () < 0 dla  < p,kjest urojony, brak propagującej fali sinusoidalnej, amplituda fali zanika wykładniczo i cała energia jest w fali odbitej

15. 1 .5 0 R /p 0.8 1 2 1 .5 0 Al R Ag Au Metal Dielektryk Re[()] 0 1 2 3 4 5 ħ [eV] Odbicie od powierzchni metali dla:  < p () < 0 dla  < p,kjest urojony, brak propagującej fali sinusoidalnej, amplituda fali zanika wykładniczo i cała energia jest w fali odbitej Elektrony swobodne metalu, których koncentracja definiuje częstość plazmową sprawiają, że istnieją przedziały częstości dla których spełnionajestrelacja : metal () < dielektryk() (z wyjątkiem obszaru dyspersji anomalnej)

16. Plazmony powierzchniowe

17. Fale na granicy metal-dielektryk? Mechanizm podobny do fal ewanescentnych na granicy dielektryk-dielektryk (w warunkach całkowitego wewnętrznego) odbicia nie zadziała. Zrezygnujmy więc z rozważań takich jak dla równań Fresnela, króre zakładają istnienie wiązek padających, odbitych i załamanych: Polaryzacjarównoległa względem płaszczyzny padania(polaryzacja p, TM): E|| dopłaszczyzny padania Polaryzacjaprostopadła względem płaszczyzny padania(polaryzacja s, TE): E dopłaszczyzny padania

18. Fale na granicy metal-dielektryk? Mechanizm taki jak dla fal ewanescentnych na granicy dielektryk-dielektryk w warunkach całkowitego wewnętrznego odbicia w oczywisty sposób nie zadziała. Zrezygnujmy więc z rozważań takich jak dla równań Fresnela, króre zakładają istnienie wiązek padających, odbitych i załamanych: Cofnijmy się do źródeł, czyli rozważmy samozgodnerównania Maxwella (brak pól padających (z odległych źródeł)) i rozpatrzmy pola o polaryzacjach ortogonalnych (nazwanych analogicznie do geometrii polaryzacyjnych z zagadnienia Fresnela): Polaryzacjaprostopadła (polaryzacja s, (TE): Polaryzacjarównoległa (polaryzacja p, TM)

19. e1 dielektryk e2 metal Równania Maxwella Dla ośrodków : - neutralnych : = 0, j = 0- niemagnetycznych, r = 1 ( = 0) obowiazują w obu ośrodkach Sprawdzimy, czy: samozgodne równania Maxwella + warunki graniczne dopuszczają istnienie fal propagujących się wzdłuż płaszczyzny granicznej i na jakich warunkach. Rozpatrzymy dwie ortogonalne geometrie polaryzacyjne: polaryzację p i s:

20. e1 dielektryk e2 metal Równania Maxwella Dla ośrodków : - neutralnych : = 0, j = 0- niemagnetycznych, r = 1 ( = 0) obowiazują w obu ośrodkach Sprawdzimy, czy: samozgodne równania Maxwella + warunki graniczne dopuszczają istnienie fal propagujących się wzdłuż płaszczyzny granicznej i na jakich warunkach. Rozpatrzymy dwie ortogonalne geometrie polaryzacyjne: polaryzację pi s:

21. Geometrie polaryzacyjne pól elektromagnetycznych przy powierzchni granicznej polaryzacjas: polaryzacjap: Ez Hz E H Hy Ey Ex Hx e1 e1 z=0 z=0 y y e2 e2 x x z z Pole elektromagnetyczne o dowolnej polaryzacji można zapisać jako kombinację liniową pól o polaryzacji p is

22. (a) składowa styczna Ejest zachowana: (b) składowa normalnaDjest zachowana: oznacza istnienie polaryzacji ładunkowej na powierzchni granicznej Polaryzacja p Warunki graniczne dla z=0: E1z E1 H1y e1 E1x z=0 E2 E2z y e2 x H2y E2x Jeśli jednym z materiałów jest metal, polaryzacja ta jest związana z odpowiedzią elektronów swobodnych; powstaną powierzchniowe kolektywne oscylacje elektronów swobodnych wywołane oscylacjami pól elektromagnetycznych: plazmony powierzchniowe z

23. (a) składowa styczna Ejest zachowana: Polaryzacja p Warunki graniczne: (b) składowa normalnaDjest zachowana: E1z E1 H1y e1 E1x z=0 E2 E2z y e2 oznacza istnienie polaryzacji ładunkowej x H2y E2x Wniosek: Pola elaktromagnetyczne o polaryzacji p są w stanie wytworzyć polaryzację ładunkowąna płaszczyźnie granicznej. Kolektywne oscylacje ładunków powierzchniowych sprzężone z polami elektromagnetycznymi to plazmony powierzchniowe z

24. Dielektryk Polaryzacja p E1z E1 H1y e1 E1x z=0 E2 E2z y e2 x H2y E2x Wniosek: Pola elaktromagnetyczne o polaryzacji p są w stanie wytworzyć polaryzację ładunkowąna płaszczyźnie granicznej. Kolektywne oscylacje ładunków powierzchniowych sprzężone z polami elektromagnetycznymi to plazmony powierzchniowe z

25. porównajmy z polaryzacjąp: Polaryzacja s Warunki graniczne: (pole E ma tylko składową poprzeczną) – składowa stycznaEjest zachowana: H1z H1 E1y e1 H1x z=0 H2 H2z y brak polaryzacji ładunkowej polaryzacja s nie jest w stanie wywołać polaryzacji ładunkowej, a więc nie umożliwia wzbudzenia powierzchniowych oscylacji plasmonowych!Oznacza to, że wystarczy rozważyć polaryzację p. e2 x E2y H2x z

26. Dla polaryzacjpmieliśmy: Polaryzacja s Warunki graniczne: (pole E ma tylko składową wzdłuż powierzchni) składowa stycznaEjest zachowana: H1z H1 E1y e1 H1x z=0 H2 H2z y brak polaryzacji ładunkowej polaryzacja s nie jest w stanie wywołać polaryzacji ładunkowej, a więc nie umożliwia wzbudzenia powierzchniowych oscylacji plasmonowych! Oznacza to, że wystarczy rozważyć polaryzację p. e2 x E2y H2x z

27. Sprawdzimy, czy istnieją rozwiązania RM w obu ośrodkach w postaci: W poszukiwaniu plazmonów powierzchniowych: natężenie: dielektryk e1 Polaryzacja p E1z E1 H1y E1x z=0 y fala propagująca się w kierunkux x z z metal e2 Poszukujemy modu pola elektromagnetycznego zlokalizowanego przy powierzchni granicznej, który propaguje się wzdłuż powierzchni (i zanika prostopadle do niej w obu materiałach)

28. dielektryked E1z E1 H1y E1x z=0 y x z metal em warunek nałożony na składowe wektora falowego k: W poszukiwaniu plazmonów powierzchniowych: Sprawdźmy, jakie warunki nakładają równania Maxwella z warunkami brzegowymi: +

29. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Relacja dyspersji: Związki między wektorami falowymi k: na przykład: • warunek nałożony na składowe • wektora falowego k: na przykład: • związki na składowe kx (wynikają z warunków ciągłości składowych stycznych pól E i H) spełnione na każdej powierzchni granicznej • dla każdej fali elektromagnetycznej:c • w obu ośrodkach: metalu i dielektryku:

30. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Relacja dyspersji: Związki między wektorami falowymi k: na przykład: • warunek nałożony na składowe • wektora falowego k: na przykład: • związki na składowe kx (wynikają z warunków ciągłości składowych stycznych pól E i H) spełnione na każdej powierzchni granicznej • dla każdej fali elektromagnetycznej:c • w obu ośrodkach: metalu i dielektryku:

31. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Relacja dyspersji: Związki między wektorami falowymi k: na przykład: • warunek nałożony na składowe • wektora falowego k: na przykład: • związki na składowe kx (wynikają z warunków ciągłości składowych stycznych pól E i H) spełnione na każdej powierzchni granicznej • dla każdej fali elektromagnetycznej: • w obu ośrodkach: metalu i dielektryku:

32. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Relacja dyspersji: Związki między wektorami falowymi k: na przykład: • warunek nałożony na składowe • wektora falowego k: na przykład: • związki na składowe kx (wynikają z warunków ciągłości składowych stycznych pól E i H) spełnione na każdej powierzchni granicznej • dla każdej fali elektromagnetycznej:c • w obu ośrodkach: w metalu i w dielektryku:

33. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Linia światła w dielektryku kSP Jest to zupełnie niezwykły związek częstości z długością fali elektromagnetycznej. Dla „zwykłych” fal elektromagnetycznych: w próżni: w ośrodku: Częstościom optycznym plazmonu odpowiadają dużo mniejsze długości fali plazmonowej niż fali świetlnej!

34. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Opis bez tłumień: mi dsą rzeczywiste (nie zawierają wielkości urojonych – brak strat) Dielektryk: d >0 kx- rzeczywisty Metal: m < 0, | m| >> d szerokość rezonansu = 0 czas życia =  k Rezonans dla: m= -d Przypadek realistyczny:r1jest rzeczywista, r2jest zespolona część urojona opisuje straty w metalu skończona szerokość rezonansu: k

35. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Opis bez tłumień: mi dsą rzeczywiste (nie zawierają wielkości urojonych – brak strat) Dielektryk: d >0 kx- rzeczywisty Metal: m < 0, | m| >> d szerokość rezonansu = 0 czas życia =  k Rezonans dla: m= -d rezonans dla: Dla: d = 1 i Przypadek realistyczny:r1jest rzeczywista, r2jest zespolona część urojona opisuje straty w metalu skończona szerokość rezonansu: k

36. Relacja dyspersji dla plazmonu powierzchniowego: Dla d =1 i Opis bez tłumień: mi dsą rzeczywiste (nie zawierają wielkości urojonych – brak strat) Dielektryk: d >0 kx- rzeczywisty Metal: m < 0, | m| >> d szerokość rezonansu = 0 czas życia =  k Rezonans dla: m= d rezonans dla: Opis uwzględniający straty:djest rzeczywista, mjest zespolona część urojona opisuje straty w metalu skończona szerokość rezonansu: k

37. Plazmony powierzchniowe: skale wielkości metal e2 zanik w głąb metalu długość propagacji zanik w głąbdielektryka dielektryk e1 z Plazmonwzbudzony na powierzchni metalu umożliwia lokalizację energii pola elektromagnetycznego do bardzo wąziutkiej warstwy tuż przy powierzchni metalu: koncentracja energii elektromagnetycznej w nanoskali!.

38. dielektryk e1 metal e2 Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Czy można wzbudzić mod plazmonowy świecąc światłem na granicę dielektryk-metal? Dla danej częstości k > kSP! ω = ωSP k0 kSP Plazmonu powierzchniowego nie da się wzbudzić światłem padającym wprost z ośrodka dielektrycznego! Relacja dyspersji dla światła, którym chcielibyśmy wzbudzić plazmon: Częstościom optycznym plazmonu odpowiadają dużo większe długości fali plazmonowej niż fali świetlnej!

39. Linia światła w dielektryku dielektryk e1 metal e2 kSP Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Czy można wzbudzić mod plazmonowy świecąc światłem na granicę dielektryk-metal? Dla danej częstości k > kSP! ω = ωSP k0 kSP Plazmon powierzchniowy ma zawsze większy pęd niż swobodny foton o tej samej częstości. Relacja dyspersji dla światła, którym chcielibyśmy wzbudzić plazmon: Częstościom optycznym plazmonu odpowiadają dużo większe długości fali plazmonowej niż fali świetlnej!

40. Linia światła w dielektryku dielektryk e1 metal e2 kSP Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Czy można wzbudzić mod plazmonowy świecąc światłem na granicę dielektryk-metal? Dla danej częstości k > kSP! ω = ωSP k0 kSP Plazmonu powierzchniowego nie da się wzbudzić światłem padającym wprost z ośrodka dielektrycznego! Relacja dyspersji dla światła, którym chcielibyśmy wzbudzić plazmon: Częstościom optycznym plazmonu odpowiadają dużo większe długości fali plazmonowej niż fali świetlnej!

41. Linia światła w dielektryku dielektryk e1 metal e2 kSP Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Czy można wzbudzić mod plazmonowy świecąc światłem na granicę dielektryk-metal? Dla danej częstości k > kSP! ω = ωSP k0 kSP Plazmonu powierzchniowego nie da się wzbudzić światłem padającym wprost z ośrodka dielektrycznego! Czy da się coś zrobić? Dla częstości światła bliskiej częstości rezonansowej SP trzeba dopasować wektory falowe

42. Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Trik 1. • Użyj pryzmatu z SiO2 • Wytwórz w nim falę ewanescentną (całkowite wewnętrzne odbicie) • Dopasuj (sprzęgnij) k||,SiO2ikSP • Natężenie fali odbitej znacznie zredukowane Zauważmy: dopasowaliśmy energię i pęd

43. Siatka Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Trik 2. • Użyj struktury z rowkami Bloch: Periodyczna stała dielektryczna sprzęga fale, dla których wektor falowy różni się o wielokrotność odwrotności stałej siatki (rowki znoszą niezmienniczość translacyjną wzdłuż wybranego kierunku na powierzchni)

44. Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Trik 2. • Użyj struktury z rowkami Bloch: Periodyczna stała dielektryczna sprzęga fale, dla których wektor falowy różni się o wielokrotność odwrotności stałej siatki (rowki znoszą niezmienniczość translacyjną wzdłuż powierzchni) Silne sprzężenie z modem plazmonowym nastąpi, gdy: gdzie:

45. Jak wzbudzić plazmon powierzchniowy? Trik 3. Pole E Promieniowanie dipolowe wzbudzonej kropki • Użyj kropki kwantowej Silne sprzężenie z modem plazmonowym nastąpi, gdy:

46. Zastosowania plazmonów powierzchniowych pierwsze publikacje fizyków: • Extraordinary transmission through sub-wavelength hole arrays, T. W. Ebbesen et al., Nature 391, 667 (1998). • Directional beaming, H. J. Lezec et al., Science 297, 820 (2002) • Plasmonic nanowire waveguides, J. B. Kren et al., Europhys. Lett. 60, 663 (2002) • Nanofocusing in plasmonic waveguides, M. Stockman, Phys. Rev. Lett. 93, 137404 (2004). • Nanoparticle plasmon waveguide, S. A. Maier et al., Nature Materials 2, 229 (2003). • Surface plasmon enhanced solar cells

47. Zadanie domowe: Wykaż, że dla granicy powietrze – metal, częstość resonansowa plazmonu powierzchniowego wynosi: Wskazówka: skorzystaj z relacji dyspersji dla plazmonu powierzchniowego zakładając, że własności optyczne metalu są dobrze opisane dielektryczną funkcją Drudego. Powodzenia!

48. O czym wie każdy dobry optyk?

49. nie możemy zobaczyć obiektów mniejszych niż długość fali, którą używamy • światło nie może przejść przez dziurkę dużo mniejszą niż długość fali O czym wiedział każdy dobry optyk?

50. d a x b 0 I c 0 I x 0 DYFRAKCJA ŚWIATŁA NA SZCZELINIE Monochromatyczna fala płaska ugięta na kulistym otworze: d < : rozkład kątowy natężenia fali za szczeliną jest prawie równomierny (fala kulista) x I Rozkład natężeń w obrazach dyfrakcyjnych dla różnych szerokości szczelin d