Lineaarisen optimointitehtävän formulointi

1. Lineaarisen optimointitehtävän formulointi 2.12.2009 Eeva Vilkkumaa

2. Ohjelma • Joustavan ja ohittavan vuolaitosmallin skedulointi • Luentojen aikataulutus Ohion yliopistossa

3. Joustava ja ohittava vuolaitosmalli • Joustava vuolaitosmalli • Työt käyvät läpi useita työpisteitä • Työpisteiden kiertojärjestys sama kaikille töille • Jonojen järjestys voi muuttua työpisteiden välillä • Kullakin pisteellä voi olla useita rinnakkaisia koneita • Ohitus mahdollista • Rajoitettu määrä erilaisia tuotetyyppejä • Valmistusprosessi on syklinen, joten yritetään maksimoida suoritusteho

4. Joustava ja ohittava vuolaitiosmalli • Esitelmä 7 (Jarno Ruokokoski); Flexible flow line loading (FFLL) -heuristiikalla • Koneiden allokointivaihe (LPT-heuristiikalla) • Töiden järjestelyvaihe (Dynaamisen tasapainotuksen heuristiikka; pyritään pitämään kukin kone yhtä työllistettynä) • Julkaisuajan ajastus (työnnetään pullonkaulakoneita edeltävien/seuraavien koneiden töitä mahdollisimman paljon myöhemmäksi/aiemmaksi) • Tavoitteet: • Suoritustehon maksimointi • WIP-varaston minimointi

5. Joustava ja ohittava vuolaitosmalli:Sekalukuformulointi (MIP) • Parametrit n = Töiden lkm L = Työvaiheiden lkm Ml = Rinnakkaisten koneiden lkm vaiheessa l pjl = Työn j prosessointiaika vaiheessa l • Päätösmuuttujat: = 1, jos työ i prosessoidaan koneella k välittömästi työn j jälkeen vaiheessa l; muuten 0 = 1, jos työ i prosessoidaan ensimmäisenä koneella k vaiheessa l; muuten 0 = 1, jos työ i prosessoidaan viimeisenä koneella k vaiheessa l; muuten 0 Cjl= työn j valmistumishetki vaiheesta l Cmax= Hetki, jolloin kaikki työt valmiina kaikista vaiheista

6. Joustava ja ohittava vuolaitosmalli:MIP-formulointi Kussakin vaiheessa kullekin työlle 1-käs. kone, jolla ko. työ prosessoidaan joko ensin tai jonkin toisen työn jälkeen Kussakin vaiheessa, jos työ i prosessoidaan koneella k, on sillä tasan 1 seuraaja (tai viimeisenä) Jos työ h prosessoidaan vaiheessa l koneella k, on sillä tasan yksi edeltäjä ja yksi seruaaja (tai ensimmäinen/viimeinen) Kussakin vaiheessa kukin kone aloittaa ja lopettaa jollakin työllä

7. Vaiheen 1 kunkin koneen ensimmäisen työn valmistumisaika on vähintään prosessointiaika Kussakin vaiheessa kunkin työn valmistumisaika on vähintään saman koneen edellisen työn valmistumisaika + oma prosessointiaika Kussakin vaiheessa kunkin työn valmistumisaika on vähintään ko. työn valmistumisaika edellisestä vaiheesta + prosessointiaika tässä vaiheessa Makespanin sisällä tulee saada kaikki työt kaikista vaiheista läpi Binäärimuuttuja Valmistumishetket ei-negatiivisia

8. Esimerkki • Kolme vaihetta, 5 työtä • Vaiheissa 1 ja 3 kaksi konetta, vaiheessa yksi kone • Prosessointiajat

9. FFLL vs. MIP t 0 10 20 30 32

10. Luentojen aikataulutus • Esitelmä 13 (Lauri Talvikoski); kalifornialainen yliopisto • 30 000 opiskelijaa, 80 laitosta, 4000 luentoa/lukukausi, 250 luokkahuonetta • Tavoitteita • Luokka lähellä professorin työhuonetta • Opiskelijan saman päivän luennot lähekkäin • Salin koko suhteessa opiskelijoiden lkm jne jne • Voidaan formuloida MIP:nä • Kuitenkin 500 000 muuttujaa, 30 000 rajoitetta • Tällä hetkellä laskentateho riittää n. 7000 muuttujan IP-tehtäviin

11. Luentojen aikataulutus:Ohion yliopisto • Ohion University College of Business • 65-75 opettajaa • 110-130 kurssia • 14-16 luokkahuonetta • Kurssien aikatauluttamiseen ja luokkahuonejakoon käytetty MIP-mallia vuodesta 1998 • 1900-2400 binäärimuuttujaa • 10-150 jatkuvaa • 1600-1900 rajoitetta • 13000-17000 nollasta poikkeavaa alkiota kerroinmatriisissa (tiheys n. 0.4%) • Optimiratkaisu CPLEXillä (600MHz Pentium PC) 2-5 sekunnissa

12. Luentojen aikataulutus:Ohion yliopisto • Tavoitteita: • Opettajilla preferenssejä kurssien, luokkahuoneiden ja aikapaikkojen suhteen • Pyritään löytämään mahdollisimman hyvä aikataulutus opettajien ”tärkeyksillä” painotettujen preferenssien valossa • Minimoidaan lisäksi seuraavia • Kurssi kotirakennuksen ulkopuolella • Päivässä liian vähän opetusta • Laitoksella suhteettoman paljon opetusta kotirakennuksen ulkopuolella • Opettajalla opetusta kotirakennuksen ulkopuolella

13. Luentojen aikataulutus:Ohion yliopisto • Rajoitteita: • Opettajan tulee opettaa määrätty määrä kursseja, ei kuitenkaan useampaa samaan aikaan • Yhdessä luokassa vain yksi kurssi yhdellä kertaa • Opettaja saattaa haluta rajoittaa opetuspäivien määrää • Opettaja ei välttämättä halua opettaa kahdella peräkkäisellä aikapaikalla • Opettaja saattaa haluta opettaa joko aamu- tai iltapäivällä, muttei molempina; ym. poissuljettuja aikapaikkayhdistelmiä • Osaa kursseista vetää useampi opettaja yhdessä • Joitakin kursseja ei tule pitää samaan aikaan

14. Luentojen aikataulutus yliopistossa • Päätösmuuttujat: xijkl: 1, jos opettaja i opettaa kurssia j salissa k aikapaikalla l; muuten 0 mjkl: 1, jos moniopettajakurssi j pidetään salissa k aikapaikalla l; muuten 0 ri: Kuinka monta kurssia opettaja i joutuu pitämään kotirakennuksen ulkopuolella yj: Kuinka monta opettajaa kurssilla j joutuu opettamaan kotirakennuksen ulkopuolella zs: Kuinka monta kurssia jää uupumaan päivän s vähimmäismäärästä uh: Kuinka monta laitoksen h kurssia joutuu kotirakennuksen ulkopuolelle sallitun enimmäismäärän lisäksi vis: 1, jos päivä s opetusvapaa opettajalle i; muuten 0 wiq: 1, jos aikapaikka q opetusvapaa opettajalle i; muuten 0

15. Luentojen aikataulutus yliopistossa Maksimoidaan opettajien kurssi-, luokka- ja aikapaikkapreferenssien painotettua summaa käypien allokaatioiden yli Kurssin j kotirakennusopettajien lkm yhtyy suunniteltuun Ij, tai alittuu määrällä yj. Minimoidaan kotirakennuksen ulkopuolelle joutuvien opettajien kursseittain painotettua summaa… …, päivittäisen minimikurssimäärän alle jäämistä …, toiseen rakennukseen asetettujen kurssien max-määrän ylitystä laitoksittain …sekä suunnitellun opetusmäärän alittumista (kotirakennuksessa) opettajittain Hetkellä t salissa k opetetaan enintään yhtä kurssia, mikäli sali on saatavilla (RA binääri) Opettajalle ei laiteta opetusta vapaapäiville / vapaille aikapaikoille eikä peräkkäisiin aikapaikkoihin Joukon G(p) kursseja ei saa opettaa samaan aikaan

16. Luentojen aikataulutus yliopistossa Kunakin päivänä pyritään opettamaan vähintään Csminkpl kursseja Opettajan poissulkemat aikapaikkayhdistelmät Opettajan i opetusvapaiden päivien tulee summautua pyydettyyn määrään TFDi Laitoksen h kurssien kokonaisopettajavaje (kotirakennuksessa) pyritään saamaan alle luvun Chmax Kullekin opettajalle pyritään antamaan ”täysi” kurssimäärä Ci kotirakennuksessa Jos moniopettajakurssille on asetettu vähintään yksi opettaja, pätee mjkl=1

17. Yhteenveto • Esitettiin MIP-formuloinnit kahdesta kurssilla käsitellystä skedulointitehtävästä • MIP-ratkaisijalla päästään optimaaliseen ratkaisuun, mutta tehtävän koon kasvaessa laskentatehon rajoitukset tulevat vastaan • Käytössä kuitenkin esim. Ohion yliopiston College of Businessin lukujärjestyksen laatimisessa

18. Lähteet Guinet, A., Solomon, M.M., Kedia, P.K., Dussauchoy, A., (1996). A computational study for two-stage flexible flowshops, International Journal of Production Research, Vol. 34, pp. 1399-1415. Kis, T., Pesch, E., (2005). A review of exact solution methods for the non-preemptive multiprocessor flowshop problem, European Journal of Operatinoal Research, Vol. 164, pp. 592-608. Martin, C.H., (2004). Ohio University’s College of Business Uses Integer Programming to Schedule Classes, Interfaces, Vol. 34, pp. 460-465.