Komplexné čísla

1. Komplexné čísla MATEMATIKA

2. Úvod Matematika nepopierateľne patrí medzi najvýznamnejšie pomocné vedné disciplíny všetkých oblastí techniky. Mnohé objavy matematiky nielen napomáhali vývoju technických vied, ale mnohokrát zmenili aj ich smerovanie a charakter. V ďalších riadkoch by sme chceli hovoriť o jednom z objavov – výsledkov, ktoré dnes používame pri každodenných výpočtoch a málokedy si uvedomujeme aká tŕnistá cesta viedla k ich objaveniu a rozširovaniu. Bude reč o riešení a o nutnosti zavádzania komplexných čísel.

3. História komplexných čísel Komplexné čísla, presnejšie história ich vzniku, sú aj ukážkou schopností ľudského ducha. Objav komplexných čísel je o to pozoruhodnejší, že komplexné čísla sa vymykajú z bežného chápania pojmu čísla, pretože, ľudovo povedané, sa nimi nič nemeria. Nepatrí objav komplexných čísel, história ich vzniku tak isto do pokladnice svetovej kultúry ako dielo Bombelliho súčasníka Michelangela Buonarottiho? Takže, preto treba žiakom niečo povedať o komplexných číslach. Existuje jeden didaktický problém. Patrí poučenie o komplexných číslach do tej časti stredoškolskej matematiky, ktorú majú poznať všetci žiaci ? V reálnom živote ich budú potrebovať len profesionálni matematici (vrátane niektorých učiteľov matematiky) a špičkoví výskumní pracovníci. Bombelli

4. Komplexné čísla a ich zápis Komplexné čísla sú zovšeobecnením pojmu reálne čísla. V obore reálnych čísel nemajú všetky polynomiálne rovnice riešenie. Ak sa číslo i definuje ako riešenie rovnice , potom všetky polynomiálne (algebrické) rovnice riešenie mať budú. Algebraický tvar komplexného čísla Označme komplexné číslo (0,1) písmenom i. Toto komplexné číslo sa nazýva aj imaginárna jednotka.

5. Goniometrický tvar komplexného čísla „Číselná os má rozmedzie od mínus nekonečna –∞ až po plus nekonečno +∞. Keď si túto os predstavíme ako priamku, ktorá leží v rovine, logicky sa spýtame, či aj v iných bodoch roviny okrem bodov tejto priamky môžeme nájsť nejaké čísla. Ukazuje sa, že áno. Aj v iných miestach roviny sa nachádzajú čísla. Tieto čísla nazývame imaginárne čísla. Dokopy so všetkými reálnymi číslami tvoria množinu všetkých komplexných čísel. Definoval ich nemecký matematik Gauss a podľa neho sa aj táto rovina čísel pomenovala Gaussova rovina. Túto rovinu rozdeľujú dve osi - už spomínaná číselná os, ktorú budeme pokladať za os x (reálna os) a na ňu kolmá os y (imaginárna os). Obe tieto osi sa pretínajú v bode [0;0].„ Uhol ϕ tiež nazývame amplitúda komplexného čísla ako orientovaný uhol v oblúkovej miere. Komplexné čísla sú v podstate ako vektory. Sčítavame ich rovnako ako vektory v priestore akurát súčin a podiel sú trochu odlišné, kde dochádza aj k práci s amplitúdami čísel.

6. Goniometrický tvar komplexného čísla Zrejme z obrázka (na str.5) platí:

7. Použitie komplexných čísiel Využívajú vo fyzike, elektronike alebo v 3D grafike. Vo fyzike sa využívajú tam, kde sa pracuje s vlnami, napr. elektromagnetické polia (Maxwellove rovnice), vlnové funkcie elektrónov, v aerodynamike alebo hydrodynamike. Keď sa napr. v elektrotechnike pracuje so striedavými prúdmi a v obvode sú okrem odporov aj kondenzátory alebo cievky. Vtedy sa pri využití komplexných čísel počíta tak, akoby boli v obvode len odpory, čo výpočet zjednodušuje. Keby sa ten istý obvod počítal bez komplexných čísel, celý postup by sa skomplikoval. V 3D grafike sa komplexné čísla používajú, keď sa počítajú aj lomy svetla na rozhraní priesvitných materiálov alebo na tenkých vrstvách (olej na vode). Takto sa vytvárajú aj bez cádiozity vysoko reálne obrázky.

8. Komplexné čísla v elektrotechnike V elektrotechnike sa často používa viacero foriem zápisu. Najmä striedavé (harmonické) veličiny sa niekedy lepšie chápu prostredníctvom komplexných čísiel.

9. Komplexné číslo je číslo zložené z dvoch reálnych čísiel a a b v tvare: alebo v tvare: kde: - je komplexné číslo a - je reálna zložka (časť) komplexného čísla; b - je imaginárna zložka (časť) komplexného čísla; j - imaginárna jednotka - veľkosť komplexného čísla - uhol zvieraný s reálnou osou (x)

10. Pre imaginárnu jednotku platí: V matematike sa imaginárna jednotka často značí symbolom i, ale tento symbol sa v elektrotechnike používa pre označenie striedavého prúdu, z daného dôvodu sa pre imaginárnu jednotku zaviedlo označenie j.

11. S komplexnými číslami je možné vykonávať také isté operácie ako s reálnymi číslami, t.j. sčítavanie, odčítavanie, násobenie, delenie, umocňovanie, alebo odmocňovanie. Všetky tieto operácie sú analogické operáciám s reálnymi číslami.

12.  PRÍKLAD  Metóda slučkových prúdov (riešenie v komplexnom tvare) Zadanie: Vypočítajte skutočné vetvové prúdy v schéme, ak je dané:

13. Postup: Zvolíme smery prúdov v jednotlivých vetvách, pričom ak je viac zdrojov, polaritu prúdov môžeme zvoliť ľubovoľne. Zakreslíme smer napätia na zdrojoch. Vypočítame reaktancie a impedancie

14. Zostavíme rovnice pre obidve slučky. Riešime rovnice vyriešime prúdy IA, IB dosadzovanou metódou vyjadrený prúd IB dosadíme do prvej rovnice:

15. dosadíme do rovnice pre prúd IB Z vypočítaných slučkových prúdov určíme jednotlivé vetvové prúdy, pričom Berieme do úvahy aj vzájomné smery slučiek a prúdov. Výpočet overíme skúškou správnosti a použijeme II. Kirchhoffov zákon pre obidve slučky. Zakreslíme skutočné smery prúdov.

16. Ďakujem za pozornosť  SPŠ Elektrotechnická, Košice Michael Pajzinka 4.C