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最長片道きっぷの厳密解を求める

最長片道きっぷの厳密解を求める. 東京大学大学院 宮代隆平,葛西隆也. 本資料の概要. 「最長片道きっぷ」のルートを求める ・ 最長片道きっぷとは? ・ 路線図の分析 ・ 整数計画問題としてのモデル化 ・ 求めた最長ルートの紹介. 「最長片道きっぷ」とは?. ・ 最長距離のルートをたどる「片道きっぷ」 ・ 最長路問題と似ているが,若干異なる(後述) ・ 最長片道きっぷのルートを求める問題:LOP ( L ongest O ne-way ticket P roblem ). LOPに関するメモ. LOPの最適解(=最長片道きっぷのルート)

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最長片道きっぷの厳密解を求める

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Presentation Transcript


  1. 最長片道きっぷの厳密解を求める 東京大学大学院 宮代隆平,葛西隆也

  2. 本資料の概要 「最長片道きっぷ」のルートを求める ・ 最長片道きっぷとは? ・ 路線図の分析 ・ 整数計画問題としてのモデル化 ・ 求めた最長ルートの紹介

  3. 「最長片道きっぷ」とは? ・ 最長距離のルートをたどる「片道きっぷ」 ・ 最長路問題と似ているが,若干異なる(後述) ・ 最長片道きっぷのルートを求める問題:LOP (Longest One-way ticket Problem)

  4. LOPに関するメモ LOPの最適解(=最長片道きっぷのルート) → {出発駅,到着駅,その間の最長片道経路} の三つ組みを決定する 東大旅行研(1962,中央公論社) ー 手作業 山路,林(1994,OR学会誌) ー 近似解法 目標:数理的手法により,最適解を求める

  5. 片道きっぷとなる条件 ・ 折り返しを含まない → 引き返せない ・ ループ一周を超えない → 同じ駅に二度たどりついたら,そこで終了 タイプL タイプO タイプP 日本では,最適解はタイプOではない

  6. JR路線図の分析(2000年7月現在) 本州: 3,332 駅 14424.9km 北海道: 478 駅 2499.8km 九州: 570 駅 2101.1km 四国: 259 駅 855.8km 本州と他三島とは,一路線で接続している → 最適解は本州上の駅を含む

  7. 駅の分類 ●終端駅(行止りの駅,81個) ● 分岐駅(路線が分岐している駅,269個) ● 隣接駅(分岐駅の隣の駅,約800個) ● その他の駅(以上に属さない駅,約3,500個)

  8. 駅の削除 LOPの最適解の形状は L P のいずれか → 「その他の駅」は最適解の発着駅ではない 考慮すべき駅数 4,639 → 約1,150

  9. タイプLに関する考察 タイプL(一本道)の発着駅の候補は? ・ 分岐駅●は最適解の発着駅ではない ・ 隣接駅●も最適解の発着駅ではない → タイプP 発着駅の候補は 終端駅●のみ!

  10. タイプPに関する考察 タイプPの場合,到着駅=分岐駅 出発駅は二つの可能性がある ・ 終端駅 (タイプPe;end) ・ 隣接駅 (タイプPn;neighbor)

  11. 計算の方針 タイプ別に場合分けし,IPを作成して解く ・ タイプL (厳密解を求める) ・ タイプPe (緩和問題) ・ タイプPn (緩和問題) 計算環境:PentiumⅡ400MHz PC IPソルバー:CPLEX6.0

  12. 路線図の定式化 LOPを整数計画問題として定式化 → 路線図(終端駅と分岐駅のみ)において 各区間に0-1整数変数を割り当てる xi =1(区間i を使う), xi =0(区間i を使わない) 目的関数x1 x2 x3 max. ∑{di ・xi|iは区間} x4 di は区間i の距離

  13. 駅変数の導入 終端駅と分岐駅にも整数変数を定義 終端駅をei ,分岐駅をbi とする 駅変数:駅に接続している区間を何回使うか e1=x1, e2=x3, e1x1b1 x2 b2 x3e2 b1=x1+x2+x4, b2=x2+x3+x4. x4

  14. 変数節約の工夫 変数節約のため,まず本州以外の三島に関し 最適解をそれぞれ求め,路線図を統合 最終的なIPの規模: 区間変数399個,駅変数289個 (タイプPe,Pnではさらに人工変数460個)

  15. タイプLの制約条件 タイプLの発着駅は終端駅 →∑{ei|i は終端駅}=2, 任意の分岐駅i についてbi∈{0,2}. ループは除去

  16. bi∈{0,2}の線形制約による表現 bi (=x1+x2+x3)∈{0,2}を線形制約で表現 x1bi x2 x3 x3 → -x1+x2+x3≧0, 1 +x1-x2+x3≧0, +x1+x2-x3≧0, x1 +x1+x2+x3≦2, x2 1 1 x1,x2,x3∈{0,1}.

  17. タイプLの整数計画問題 max. ∑{di ・xi|iは区間} s. t. ∑{ei|i は終端駅}=2, 任意の分岐駅i についてbi∈{0,2}, 任意の区間i についてxi∈{0,1}. → 部分巡回路が含まれる解が得られる

  18. 部分巡回路の除去,計算結果 タイプLのIPを解くと,部分巡回路を含む → 部分巡回路除去制約を加える 切除平面法を実行 45本の除去制約,9回の再計算(1回3分未満) タイプLの最適解 11925.9km

  19. タイプPeの整数計画問題 max.∑{di ・xi|iは区間} s. t. ∑ {ei|i は終端駅}=1, 任意の分岐駅i についてbi ∈{0,2,3}, 「bi =3となるi は高々1個」, 任意の区間i についてxi ∈{0,1}.

  20. 「bi =3となるi は高々1個」 「bi =3となるi は高々1個」という条件を 線形制約で表現 → 新たな0-1変数fi を定義 任意の分岐駅i についてfi ≧bi -2, fi ∈{0,1}, ∑{fi |i は分岐駅}=1.

  21. タイプPeの計算結果 タイプPeのIPは,実際には緩和問題 (部分巡回路を含む) タイプPe(緩和問題)の最適解 11286.5km (< タイプLの最適解11925.9km) 計算時間156秒 → タイプPeはLOPの最適解ではない

  22. タイプPnの緩和問題 タイプPnは隣接駅(約800個)も考える必要有 → タイプPnを緩和し,タイプBを定義する タイプB:2つのループを1本の線で結んだ形 タイプPnの緩和,変数の減少!

  23. タイプBの整数計画問題 max.∑{di ・xi|iは区間} s. t. ∑ {ei|i は終端駅}=0, 任意の分岐駅i についてbi ∈{0,2,3}, 「bi =3となるi は高々2個」, 任意の区間i についてxi ∈{0,1}.

  24. タイプBの計算結果 タイプBのIPは,実際には緩和問題 (部分巡回路を含む) タイプB(緩和問題)の最適解 11916.3km (< タイプLの最適解11925.9km) 計算時間40秒 → タイプPnはLOPの最適解ではない

  25. 実験結果 統合した路線図において タイプLの最適解(ループ無):11925.9 km 計算時間:1回3分未満,9回の再計算 タイプPe:11286.5km(156秒,緩和問題) タイプB:11916.3 km(40秒,緩和問題) → タイプLが最適解!

  26. 最長片道きっぷのルート 経路:稚内(北海道) →本州→ 肥前山口(佐賀) 総路線距離: 11925.9km(60%,4.6倍) 運賃: 93,870円 (学割75,090円) 有効日数: 59日 (途中下車可) 日程: 乗換え150回以上,最速で約15日, 42都道府県(四国,沖縄以外)

  27. まとめ LOPに対し,詳細な分析と適切なモデル化を 行うことにより,最適解を求めることに成功した 興味を持たれた方は… 解法詳細 http://www.swa.gr.jp/lop/ 旅行報告 http://www.swa.gr.jp/plop/

  28. 資料をご覧いただき,ありがとうございました.資料をご覧いただき,ありがとうございました. 以下は追加のスライドです.

  29. bi∈{0,2}(4分岐以上) bi (=x1+x2+x3+x4)∈{0,2} → -x1+x2+x3+x4≧0, +x1-x2+x3+x4≧0, +x1+x2-x3+x4≧0, +x1+x2+x3+x4≦2, x1,x2,x3,x4∈{0,1}.

  30. 「bi =3となるi は高々2個」 「bi =3となるi は高々2個」という条件を 線形制約で表現 → 新たな0-1変数fi を定義 任意の分岐駅i についてfi ≧bi -2, fi ∈{0,1}, ∑{fi |i は分岐駅}=2.

  31. bi =3となるi は高々1個(4分岐以上) 「bi =3となるi は高々1個」という条件 分岐駅iが4分岐以上だったら? (例) b1=x1+x2+x3+x4 f11≧x1+x2+x3-2, f12≧x1+x2+x4-2, f13≧x1+x3+x4-2, f14≧x2+x3+x4-2, fi ∈{0,1},∑{fi |i は分岐駅}=1.

  32. タイプB(8の字)の整数計画問題 max.∑{di ・xi|iは区間} s. t. ∑ {ei|i は終端駅}=0, 任意の分岐駅i についてbi ∈{0,2,4}, 「bi =4となるi は高々1個」, 任意の区間i についてxi ∈{0,1}.

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