Vektorid

1. Vektorid

2. Samaväärne definitsioon: Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga – suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse suuruse väärtuste hulgaks võib olla ka kompleksarvude hulk. Suurust, mille kirjeldamiseks on peale arvulise väärtuse vaja teada tema sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks. Geomeetrilise vektori all mõistame kindla pikkusega, kindlas sihis paiknevat ja kindlas suunas suunatud suurust.

3. B A AB a Vektori algus- ja lõpp-punkt a Vektoril on alguspunkt (joonisel punkt A) ja lõpp-punkt (B). Algus- ja lõpp-punktiga määratud vektorit tähistatakse: või kreeka väiketähega

4. Vektori a = pikkust e. moodulit tähistatakse Vektoreid, mis asuvad paralleelsetel sirgetel (või ühel ja samal sirgel), nimetatakse kollineaarseteks. Asjaolu, et vektorid a jab on kollineaarsed, tähistatakse: a | | b. AB g a d || e e b Kollineaarsed vektorid Vektori pikkuse all mõeldakse tema algus- ja lõpp-punkti vahelist kaugust. a || b || g || d

5. g b a a bg Vektorid AB ja BAon samasihilised (kollineaarsed) ja sama pikkusega, kuid nende suunad on vastupidised. Kirjutatakse: AB=–BA Kaht geomeetrilist vektorit a ja bloetakse võrdseteks ja kirjutatakse a =b , kui need vektorid on kollineaarsed, samasuunalised (a b ) ja ühepikkused . Vektorite võrdsus Kollineaarsed vektorid võivad olla samasuunalised (tähistatakse a b) või vastandsuunalised (tähistatakse a b). Kui kolm vektorit on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, siis nimetatakse neid komplanaarseteks.

6. Vektorite ja summaks nimetatakse vektorit ja tähistatakse . Vektorite liitmiseks tuleb nad ruumis nii ringi paigutada (iseendaga paralleelselt), et nad moodustaksid murdjoone; seejuures tuleb iga järgnev vektor rakendada eelneva vektori lõpp-punktist. Vektorite summaks on vektor, mis sulgeb murdjoone. b g a a a + b + g g b Vektorite liitmine Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse nullvektoriks. Nullvektorit tähistatakse kreeka tähega  (teeta).

7. 3) vektori ca pikkus saadakse vektori a pikkuse ja arvu cabsoluutväärtuse korrutamisel: a -0,5a 0,5a Vektori korrutamine skalaariga Arvu (skalaari) c ja vektori akorrutiseks nimetatakse vektorit ca, mis rahuldab järgnevaid tingimusi: 1) vektor ca on paralleelne (kollineaarne) vektoriga a: ca || a ; 2) kui c 0, siis vektori ca suund ühtib vektori a suunaga, c < 0 korral on vektorid ca jaavastassuunalised;

8. Lineaarsed tehted Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks. Lineaaralgebra on matemaatika haru, mis uurib objekte, millega saab sooritada lineaarseid tehteid.

9. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi omadusi: 1) (liitmise kommutatiivsus);2) (liitmise assotsiatiivsus);3) leidub selline vektor , et iga korral (nullvektori olemasolu);4) iga vektori jaoks leidub selline vektor , et (vastandvektori olemasolu);5) iga a, bR ja a V korral;6) iga a R ja a, b V korral;7) iga a, bR ja a V korral;8) 1a = a iga a V korral. Geomeetriliste vektorite vektorruum Teoreem 1 Omadused 1 – 8 annavad meile õiguse nimetada hulka Vvektorruumiks.

10. Tähistame: Aritmeetiliste vektorite ja summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit Skalaari c ja aritmeetilise vektori korrutiseks nimetatakse aritmeetilist vektorit Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu (a1; a2; ... ; an), võetuna kindlas järjekorras. Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistatakse Rnjateda nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks. Lineaarsed tehted aritmeetilises ruumis

11. Nullvektor n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis : Vektori vastandvektor: Aritmeetiliste vektorite vektorruum Teoreem 2 Lineaarsed tehted n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis rahuldavad teoreemis 1 toodud kaheksat omadust. Seega moodustavad n-mõõtmelised aritmeetilised vektorid vektorruumi.

12. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises ruumis V = Rn rahuldab omadusi1) korral; 2) korral (kommutatiivsus);3) korral (distributiivsus);4) korral (distributiivsus);5) korral. Aritmeetiliste vektorite ja skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Vektorite skalaarkorrutis Teoreem 3