複變數對偶邊界元素法研究

1. 複變數對偶邊界元素法研究 報告人 陳鈺文 海洋大學河海工程研究所 中華民國八十七年六月四號

2. 複變數阿達馬主值之觀念及其應用 陳正宗 教授 海洋大學河海工程研究所，基隆 八十八年電子計算機於土木水利工程應用會議 中華民國八十九年二月十七日～十八日，台中

3. 綱 要 • 研究動機 • 以阿達馬主值求解基本解 • 複變數對偶邊界元素法 • 結論

4. 研 究 動 機 對偶邊界元素法 傳統複變數邊界元素法 實數域 變量(u,v) 退化邊界問題? 核函數的超奇異性 變量(t)? 主值與基本解 計算難度較繁雜 複變數對偶邊界元素法

5. 以複數域阿達馬主值求解基本解

6. 高 階 極 點 的 路 徑 積 分 • 極點 • 以往如何處置 • 如何將極點降階

7. 傳統方法 L’Hopital’s rules 剛體運動 本文方法 泰勒展開

8. 桿 件 問 題 輔助系統控制方程

9. 阿 達 馬 主 值 泰勒展開 Cr段 CPV段 將發散的部分予與扣除

10. 主 值 • 柯西主值(C.P.V.) • 阿達馬主值(H.P.V.)

11. 複變數對偶邊界元素法

12. 域內點實數域對偶積分方程式 其中，r 代表 x 與 s 的距離， 與分別表示 在 x 與 s 點的法向量

13. 邊界點實數域對偶邊界積分方程式

14. 柯西積分公式 阿達馬積分公式 域內點複數域對偶積分方程式

15. Complex Complex Real 邊界點複數域對偶邊界積分方程式

16. 影響係數 影響係數 邊界積分方程之離散化

17. 數 值 分 析

18. 影響係數 影響係數 影響係數矩陣的秩數

19. 方式一，配合SVD 方式二，配合SVD 方式三，配合SVD 方式四(由方式三與Least-Square)，配合SVD

20. 奇 異 值 分 解 法 • 奇異值為零或數值趨近於零就會出現問題，愈接近於零的奇異值會致使解對於資料的誤差非常敏感，為避免解空間被不正常的放大這需要分析者對問題本身的經驗來決定。 • 帶入邊界條件後，為過定的方程（Eq. No. > unknow No.），以及有 v 角色的輔助，出現上述劣性情況相對降低。

21. 方 形 正 規 邊 界 算 例 Mixed type B.C. Neumann type B.C. 解析解為 u(x,y)= x

22. 邊界效應對t與u的影響 • 藉由 u與 v建構起 t。 • 也因常數元素的模擬產生邊界效應，此邊界效應對 u值的影響較小，但對 t 值影響較大。

23. 剛體運動項貢獻在何方 • 與給定邊界條件有關 • 混合邊界條件與 Dirichlet 邊界條件 • c1貢獻量全由 v 吸收 • Neumann 混合邊界條件 • c1貢獻量由 u 與 v 吸收 u=x v=y+c1

24. 力 平 衡 條 件 亦即矩陣的每一列(column)所有元素和為零。若不是等常數元素 則需將元素長度 (li) 乘ti，才是力平衡條件。

25. 實數域下的力平衡條件 • 角域部分的誤差量較大。 • 採力平衡檢驗實數域下的結果較由複數域誤差量較小。

26. 常數場與不含極點的封閉路徑積分 • 每一行(row)所有元素和為零時，常數元素所造成的差量顯示了複數域下的定常解檢驗較實數域模式佳。 • 亦可利用留數定理再次檢驗離散化後邊界積分方程在此封閉積分中並不包任何極點在內，相對的無論 u 值與 v 值為何，其結果應為零。 解一 解 二 解 三

27. 矩 形 退 化 邊 界 算 例

28. 四種組合求解方式的比較 • 正規邊界之順序如左 • 對於退化邊界，方式一、二的束制條件不足無法做單一考量，以方式四的效果為佳 方式一 佳 方式四 方式三 較差 方式二

29. 結 論 • 提出了兩個驗核方法，一為常數場解，另一為平衡條件。 • 自柯西積分公式可得阿達馬積分公式，可簡化奇異積分方程與超奇異積分方程的計算過程。 • 對退化邊界問題提出解決之道。

30. 未 來 研 究 方 向 • 嘗試以線性元素模擬時，如何滿足超奇異核函數之密度函數微分需連續的要求。 • 如何推廣到三維問題。 • 由平衡條件檢定，可建構誤差評估指標，進行自適性網格切割。

31. 影響係數 影響係數 拉普拉斯方程在退化邊界時

32. 留 數 定 理 • 若 z0 為 f(z) 的m階極點：則在 z0之留數表示式為

33. 研 究 動 機 • 以往對偶邊界元素法均建構在實數域，複數域中核函數的超強奇異性，可簡化實數域計算上的困難度 • 傳統的複變數邊界元素法只引用變量u與v • 傳統的複變數邊界元素法 v.s. 含退化邊界的問題 • 加入複變數對偶邊界元素法中的第二式，提高擁有的束制方程