Az operátorszeletelés alkalmazása a Maxwell -egyenletek numerikus megoldására

1. Az operátorszeletelés alkalmazása a Maxwell-egyenletek numerikus megoldására Horváth R. (M. Botchev, Faragó I., Havasi Á., W. Schilders) BME MI, Analízis Tanszék Budapest, Hungary rhorvath@math.bme.hu MTA-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok Kutatócsoport BME MI, Analízis Tanszék Tanszéki szeminárium 2013. március 20.

2. Áttekintés • Maxwell-egyenletek. Miért fontos a megoldásuk? • A klasszikus FDTD-módszer. Mi a gond vele? • Feltétel nélkül stabil sémák. • A sémák egységes kezelése az operátorszeletelés módszerével. Mi is az? • Új sémák konstrukciója, forrástag ill. időfüggő anyagi paraméterek kezelése.

3. Maxwell-egyenletek

4. Maxwell-egyenletek Rotáció- egyenletek Divergencia- egyenletek Ismert: + kezdeti és peremfeltételek Ismeretlen:

5. Alkalmazások Villámcsapás hatása repülőgépre www.efieldsolutions.com/Pics/SAAB2000.gif

6. Alkalmazások Mobil hatása emberi fejre Lazzi et al, Realistically Tilted and TruncatedAnatomically Based Models of the Human Head for Dosimetry of Mobile Telephones

7. Alkalmazások Nyomtatott áramkörök vizsgálata Full wave EM simulation to analyze crosstalk(Source: Martin Timm, CST, Germany) http://www.nvidia.in/docs/IO/113875/gpu-accelerated-fullwave-large.jpg

8. A klasszikus FDTD-séma

9. Térbeli diszkretizáció Finite Difference Time Domain method (FDTD) K. Yee, 1966 Yee-cella

10. Időbeli diszkretizáció A leapfrog sémát használjuk. Előnyök és hátrányok • egyszerű (explicit) • időtartomány módszer • anyagi paraméterek cellánként megadhatók • szigorú stabilitási feltétel • anyagi paraméterek nem függhetnek az időtől

11. Numerikus példa (stabil) Tökéletes vezető üregrezonátor (10 x 4.8 x 2 cm). Gauss-impulzusos gerjesztés.

12. Numerikus példa (instabil)

13. Feltétel nélkül stabil sémákés operátorszeleteléses megközelítésük

14. Első feltétel nélkül stabil séma • ADI-FDTD • T. Namiki, A new FDTD algorithm based on alternating-direction implicit method,IEEE Trans. Microw. Theory, 47 (10) (1999) 2003–2007. • F. Zheng, Z. Chen, J. Zhang, A finite-differencetime-domainmethodwithouttheCourantstabilityconditions, IEEE Microw. GuidedWave Lett. 9 (1999) 441–443. • F. Zheng, Z. Chen, J. Zhang, Towardthedevelopment of a three-dimensionalunconditionallystablefinite-differencetime-domainmethod, IEEE Trans. Microw. Theory, 48 (9) (2000) 1550–1558.

15. Klasszikus szeletelések ODE-re Szekvenciális szeletelés (elsőrendű szelet. hiba) K.A. Bagrinovskij, S.K. Godunov, 1957

16. Klasszikus szeletelések ODE-re Strang-Marcsuk szeletelés (másodrendű) G.I. Marcsuk, 1968; G. Strang, 1968 Hasonlóan szeletelhető több részfeladat is.

17. Elméleti eredmények A korábban megadott konvergenciarendek csak időtől független és forrástag nélküli ODE-re vonatkozó eredmények. M. Botchev, Faragó I., H.R., Application of the Operator Splitting to the Maxwell Equations with the Source Term, APPL NUMER MATH 59: 522–541 (2009) HavasiÁ., Faragó I., H.R., Numerical Solution of the Maxwell Equations in Time-VaryingMedia Using Magnus Expansion, CENT EUR J MATH (10) 137–149 (2012)Bővebben később

18. Operátorszeletelés és Maxwell-egy. H.R., Uniform Treatment of the Numerical TimeIntegration of the Maxwell Equations, LNCS, 2002. Az FDTD és ADI-FDTD egységesen kezelhető az operátorszeletelés módszerével, igazolható az utóbbi feltétel nélküli stabilitása is. Más bizonyítások: Lee, Fornberg 2003, Darms et al. 2002. Új, feltétel nélkül stabil módszerek is konstruálhatók.

19. Térbeli diszkretizáció Az változókkal ahol Definiáljuk az alábbi pontbeli komponensfüggvényeket i páratlan, j,k páros, stb.

20. Térbeli diszkretizáció A szemidiszkretizáció eredménye: stb.

21. A Cauchy-feladat szeletelése Az egyenleteket ODE-be rendezve az alábbi alakú Cauchy-feladathoz jutunk: ferdén-szimmetrikus diagonális

22. Példa

23. Példa (FDTD) Lemma: Az alkalmazott szeletelés:

24. Példa (FDTD) Így kapunk másodrendű konvergenciát térben és időben is.

25. Példa (ADI-FDTD) A SM-szeletelést alkalmazzuk. A részfeladatokat rendre az EE, CN, IE módszerekkel oldjuk meg. Feltétel nélkül stabil, H.R. 2002.

26. Példa (SW-CN-ADI) Horváth R, New Unconditionally Stable Numerical Schemes for Maxwell’s Equations COMPUTSCI ENG 3(4): 271–276 (2007) Szimmetrikusan súlyozott CN-ADI Alkalmazzuk a szekvenciális szeletelést mindkét sorrendben. A részfeladatokat oldjuk meg a Crank—Nicolson –módszerrel. Átlagoljuk időrétegenként a két eredményt. Másodrendű, feltétel nélkül stabil.

27. Maxwell-egyenletek időfüggő anyagi paraméterekkel

28. Időfüggő anyagi paraméterek • Hol fordul elő időfüggő paraméterű közeg? • gázok hirtelen ionizációja, • plazma vagy félvezető kristályok, • lézerimpulzussal létrehozott gerjesztés tranziens szakasza, • elektromos ívkisülés, • stb. • A korábbi eredmények csak a változó vezetőképesség esetét vizsgálják. • Taylor, Lam, Sumpert, Int. Notes, MSU, 1968. • Lee, Kalluri, IEEE Tr. Ant. Prop. 1999. • Ren, Gao, M. M. Wave Techn. 2000.

29. Magnus-sor Tekintsük csak a homogén részt. Az alapmegoldás az alábbi alakban írható:

30. Magnus-sor … where Magnus-sor (1954) Az inhomogén egyenlet megoldása ezek után:

31. Magnus-sor Lemma. Ha ‚ akkor Az mátrixokban a mágneses és az elektromos térkomponensek sorai vannak lenullázva (FDTD).

32. A részfeladatok tulajdonságai A CP megoldása:

33. A részfeladatok tulajdonságai A CP megoldása ‚ ahol

34. A homogén részfeladat megoldása Tétel. A CP megoldása numerikusan számolható az alábbi másodrendű sémával: ha legalább háromszor folytonosan deriválhatók, és kétszer folytonosan deriválható, valamint

35. A séma végleges alakja Megoldjuk a részfeladatokat: aStrang-Marcsuk- és az előző másodrendű sémát alkalmazzuk. A harmadik feladatot az érintő- vagy trapézmódszerrel integráljuk.

36. A séma tulajdonságai • Ha az anyagi paraméterek nem függnek az időtől, akkor visszakapjuk az FDTD sémát. • A módszer explicit (diagonális mátrix inverze kell csak). • Az FDTD-hez hasonlóan a módszer feltételesen stabil csak.

37. Numerikus példa

38. 1D példa Megoldjuk a feladatot a intervallumon. Az anyagi paraméterek: és

39. 1D példa Kezdeti és peremfeltételek Pontos megoldás Az elektromos tér hibáját mérjük T=5-ben l2normában. Na Yee-cellák száma.

40. 1D példa – eredmények

41. Vége Köszönöm a figyelmet!