從數學基本學力檢測探討數學量與實測的教學策略

從數學基本學力檢測探討數學量與實測的教學策略從數學基本學力檢測探討數學量與實測的教學策略林玉鴦

簡報大綱 壹、台北市數學能力檢測命題架構貳、數學檢測平均答對率參、量與實測檢測學生答題表現舉隅肆、小學量與實測的教材內容伍、小學量與實測的指導歷程陸、小學量與實測各年級的教材安排柒、量與實測的教學策略捌、結語

程序性知識 概念性理解數量關係幾何代數整數分數小數統計與機率量與實測應用解題壹、台北市數學能力檢測命題架構內容領域數學能力數與量幾何統計與機率代數

貳、數學檢測平均答對率一、四大主題平均答對率貳、數學檢測平均答對率一、四大主題平均答對率臺北市95~102年度數學四大主題平均答對率統計表(選擇題)

貳、數學檢測平均答對率二、數與量平均答對率貳、數學檢測平均答對率二、數與量平均答對率臺北市95~102年度數學數與量平均答對率統計表(選擇題)

貳、數學檢測平均答對率三、三大數學能力平均答對率貳、數學檢測平均答對率三、三大數學能力平均答對率臺北市95~102年度三大數學能力平均答對率統計表(選擇題) ※這些年來，答對率最差的都是「應用解題」。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅一、長度~公里和公尺的化聚參、量與實測檢測學生答題表現舉隅一、長度~公里和公尺的化聚 ※以「下列哪一個選項和『200.7公里』一樣長？」為例。有25.00%的學生答錯。 (1)有10.19%的學生選答「200公里70公尺」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公里＝100公尺。(2)有9.79%的學生選答「200公里7公尺」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公里＝10公尺。 (3)有5.02%的學生選答「200公里0.7公尺」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為小數點後面就是公尺。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅一、長度~公里和公尺的化聚參、量與實測檢測學生答題表現舉隅一、長度~公里和公尺的化聚 ※以「幸福國小操場跑道長260公尺，也可以說是多少公里？」為例。有20.78%的學生答錯。 (1)有13.04%的學生選答「2.6」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公里＝100公尺。 (2)有6.23%的學生選答「0.026」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公里＝10000公尺。 (3)有1.51%的學生選答「26」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公里＝10公尺。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅二、重量 ※以「六年級每位學生平均體重45公斤，六年一班有30位學生，全班合起來體重是多少公噸？」為例。有28.33%的學生答錯。 (1)有15.53%的學生選答「1050公噸」。分析其可能錯誤的原因是：忽略題目要求以公噸為單位作答，而未進行單位換算。 (2)有9.59%的學生選答「10.5」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公噸＝100公斤。(3)有3.21%的學生選答「105」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公噸＝10公斤。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅二、重量 ※以「一艘船和所載貨物的總重量不可以超過38公噸，已知船的重量是17.3公噸，請問這艘船最多能載多少公斤的貨物？」為例。有41.33%的學生答錯。 (1)有23.71%的學生選答「20.7」。分析其可能錯誤的原因是：忽略題目要求以公斤為單位作答，而未進行單位換算。 (2)有3.77%的學生選答「207」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公噸＝10公斤。(3)有13.85%的學生選答「2070」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公噸＝100公斤。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~公畝、公頃與平方公里的關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~公畝、公頃與平方公里的關係 ※以「展覽會場共分成三區：A區面積是20公頃、B區面積是1800公畝、C區面積是0.25平方公里。三區的總面積是多少公畝？」為例。有38.52%的學生答錯。 (1)有13.97%的學生選答「4500」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為20公頃＝200公畝，用200+1800+2500＝4500。 (2)有13.14%的學生選答「4050」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為0.25平方公里＝250公畝，用2000＋1800＋250＝4050。 (3)有11.41%的學生選答「3825」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為0.25平方公里＝25公畝，用2000＋1800＋25＝3825。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~公畝與公頃的關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~公畝與公頃的關係 ※以「阿水的農田每公畝可以獲利1000元，阿水有4.5 公頃的農地，請問阿水可以獲利多少元？」為例。有48.71%的學生答錯。 (1)有11.94%的學生選答「4500000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公頃＝1000公畝，用1000×4.5×1000＝4500000。 (2)有17.13%的學生選答「45000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1公頃＝10公畝，用1000×4.5×10＝45000。 (3)有19.64%的學生選答「4500」。分析其可能錯誤的原因是：未進行單位換算，直接用1000×4.5＝4500。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~平方公尺與平方公分的關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~平方公尺與平方公分的關係 ※以「一塊正方形地磚的邊長是50公分，演奏廳正好鋪了 80塊地磚，演奏廳的面積是多少平方公尺？」為例。有73.21%的學生答錯。 (1)有32.53%的學生選答「4000」。分析其可能錯誤的原因是：忽略了邊長與面積的關係。直接以50×80計算。 (2)有23.99%的學生選答「2000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1平方公尺＝100平方公分 (3)有16.69%的學生選答「40」。分析其可能錯誤的原因是：1.忽略了邊長與面積的關係。 2.誤以為1平方公尺＝100平方公分。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~長方形面積與周長的關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~長方形面積與周長的關係 ※弟弟用一根48公分長的鐵絲，圍成一個寬8公分的長方形，它的面積是多少平方公分？(96、98年度考題) 24  48  128  384 ※從學生的答題表現得知，96與98年度都有約50%的學生答錯。其中選答「384」的學生可能誤以為48是長方形的長，直接將 48×8，得解。選答「48」的學生是將48÷8，求出長方形的長是 6公分，再將6×8，得到48。 ※顯示學生對於長方形的周長、邊長與面積的意義尚需釐清。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法題目：請畫圖說明，如何利用長方形面積公式，得知「平行四邊形面積＝底×高」(建構反應題) 評量目的：本試題主要評量學生是否能應用長方形面積公式來理解平行四邊形的面積公式。評量結果：

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法 ~滿分(2分)的解題類型~

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法 ~部分答對(1分)的解題類型~

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法 ~全錯(0分)的解題類型~

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法參、量與實測檢測學生答題表現舉隅三、面積~用圖示表徵平行四邊形面積的算法 ※教學建議 1.希望今後在教學上，有關面積公式的由來，如：利用長方形面積公式，得知平行四邊形面積或圓面積的公式、利用平行四邊形面積公式，得知三角形面積或梯形面積的公式……，希望老師不僅在黑板上畫圖說明，也希望老師能讓學生親自動手實際操作，讓學生確實了解公式的原理，相信經過操作後，學生必定印象更深刻，對於學生成功解題必定有所幫助。 2.從施測結果發現有部分的學生誤以為把長方形推成平行四邊或把平行四邊推成長方形，則長方形和平行四邊的面積是一樣的。因此建議老師教學時，可以利用架構棒讓孩子親自操作，先組合成長方形，再把此長方形推成平行四邊形，讓孩子發現兩種圖形底與高的變化情形(底不變，高會改變)，發現四邊形的邊長固定後，其形狀和大小還是可以改變的，當形狀改變後，面積也會改變。因此把長方形推成平行四邊或把平行四邊推成長方形，則長方形和平行四邊的面積是不一樣的。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~立方公尺與立方公分的化聚參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~立方公尺與立方公分的化聚 ※以「一個紙盒的體積是5000立方公分，60個紙盒的體積共是多少立方公尺？」為例。有64.94%的學生答錯。 (1)有25.1%的學生選答「30」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝10000立方公分，計算成：5000×60÷10000。 (2)有20.95%的學生選答「30000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝10立方公分，計算成：5000×60÷10。 (3)有18.89%的學生選答「3000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝100立方公分，計算成：5000×60÷100。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~立方公尺與立方公分的化聚參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~立方公尺與立方公分的化聚 ※以「樂樂家兩個月共使用35立方公尺的水，也可以說是使用了多少立方公分的水量？」為例。有45.36%的學生答錯。 (1)有10.58%的學生選答「3500」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝100立方公分。 (2)有16.17%的學生選答「35000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝1000方公分。 (3)有18.61%的學生選答「350000」。分析其可能錯誤的原因是：誤以為1立方公尺＝10000立方公分。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~正方體的體積與邊長總和關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~正方體的體積與邊長總和關係 ※以「有一個正方體的邊長總和為24公分，體積是多少立方公分？」為例。有72.94%的學生答錯。 (1)有46.79%的學生選答「36」。分析其可能錯誤的原因是：學生誤將正方體想成正方形，算出每邊長6公分，再將6乘以6。 (2)有12.62%的學生選答「24」。分析其可能錯誤的原因是：算出該形體的表面積。 (3)有12.58%的學生選答「27」。分析其可能錯誤的原因是：將正方體頂點數視為邊長數而答錯。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~長方體的體積參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~長方體的體積 ※以「內部長10公尺、寬5公尺、高4公尺的倉庫，最多可以放幾個邊長50公分的正方體紙箱？」為例。有72.15%的學生答錯。 (1)有36.71%的學生選答「400」。分析其可能錯誤的原因是：以（10×5×4）÷0.5計算。 (2)有23.94%的學生選答「200」。分析其可能錯誤的原因是：以（10×5×4）計算。 (3)有11.5%的學生選答「800」。分析其可能錯誤的原因是：以（10×5×4）÷0.25計算。

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~容量、容積與體積的關係參、量與實測檢測學生答題表現舉隅四、體積~容量、容積與體積的關係 ※以「長方體容器內部長10公分、寬24公分、高30公分，請問這個容器可以裝滿多少公升的水？」為例。有62.72%的學生答錯。 (1)有8.87%的學生選答「0.72」。分析其可能錯誤的原因是：以為1立方公分＝10000公升 (2)有39.49%的學生選答「72」。分析其可能錯誤的原因是：以為1立方公分＝100公升 (3)有14.36%的學生選答「7200」。分析其可能錯誤的原因是：以為1立方公分＝1公升

參、量與實測檢測學生答題表現舉隅五、時間單位的換算參、量與實測檢測學生答題表現舉隅五、時間單位的換算 ※以「 3日6時，也可以說成是幾日？」為例。有53%的學生答錯。 (1)有42.36%的學生選答「36」。分析其可能錯誤的原因是：採取十進位制，將6時當成0.6日。 (2)有5.85%的學生選答「3.1」。分析其可能錯誤的原因是：將6時當成0.1日。 (3)有6.72%的學生選答「3.5」。分析其可能錯誤的原因是：採用十二時制，將6時看成0.5日。

肆、小學量與實測的教材內容 ※小學量與實測的教材包含下面幾種： 1.時間 5.角度 2.長度 6.面積（含表面積） 3.重量 7.體積 4.容量

伍、小學量與實測的指導歷程 時間以外六種量的學習，大致上要經歷下列四個階段： 1、初步概念與直接比較。首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比較，最後是量的複製，這是（2）的前置經驗。另外，也包括利用測量工具之刻度直接描述一量。 2、間接比較與個別單位。對無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，分別作間接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念與量的遞移律)。能作間接比較，便能使用個別單位作測量。 3、常用單位的約定。認識某類量之常用單位，並能運用此單位，作量的比較、加、減、乘、除 4、常用單位的換算。在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結果。然後再學習使用單位換使用單位換算的約定，來進行換算。例：1200公尺＝1公里200公尺＝1.2公里。

陸、小學量與實測各年級的教材安排一、長度 一年級：1-n-09能認識長度，並做直接比較。 1-n-10能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較物體的長短。(一下~3.長度) 二年級：2-n-14能理解用不同個別單位測量同一長度時，其數值不同，並能說明原因。 2-n-15能認識長度單位「公分」、「公尺」及其關係，並能做相關的實測、估測與同單位的計算。 (二上~4.認識公分) (二下~3.公尺和公分) 三年級：3-n-14能認識長度單位「毫米」，及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係，並做相關的實測、估測與計算。 (三上~5.幾毫米) 四年級：4-n-14能以複名數解決量(長度、容量、重量)的計算問題。 4-n-15能認識長度單位「公里」，及「公里」與其他長度單位的關係，並做相關計算。 (四上~8.公里)

陸、小學量與實測各年級的教材安排二、容量 二年級：2-n-16能認識容量。 (二上~6.比比看~容量比一比) 三年級：3-n-15能認識容量單位「公升」、「毫公升」（簡稱「毫升」）及其關係，並做相關的實測、估測與計算。 (三下~2.公升和毫公升)

陸、小學量與實測各年級的教材安排三、重量 二年級：2-n-17能認識重量。 (二上~6.比比看~重量比一比) 三年級：3-n-16能認識重量單位「公斤」、「公克」及其關係，並做相關的實測、估測與計算。 (三下~6.公斤和公克) 五年級：5-n-16能認識重量單位「公噸」及「公噸」、「公斤」間的關係，並做相關計算。 (五下~1.生活中的大單位~認識公噸、公噸和公斤的換算與應用)

陸、小學量與實測各年級的教材安排四、角度 三年級：3-n-17能認識角，並比較角的大小。（同3-s-04） (三上~4.角、正方形和長方形) 四年級：4-n-16能認識角度單位「度」，並使用量角器實測角度或畫出指定的角。（同4-s-04） (四上~2.角度)

陸、小學量與實測各年級的教材安排五、面積 二年級：2-n-15能認識面積。（同2-s-4） (二下~9.平面圖形與立體圖形) 三年級：3-n-18能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。( 三下~4.面積) 四年級：4-n-17能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並做相關計算。 (四下~3.周長與面積) 4-n-16能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。（同4-s-09) (四下~3.周長與面積)

陸、小學量與實測各年級的教材安排五、面積 五年級：5-n-17能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並作相關計算。 (五下~1.生活中的大單位~活動三~六) 5-n-18能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（同5-s-05） (五上~7.平行四邊形和三角形的面積) (五上~9.梯形的面積和應用) 六年級：6-n-14能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-s-04） (六上~7.圓周長)(六上~8.圓面積)

陸、小學量與實測各年級的教材安排六、體積 四年級：4-n-17能認識體積及體積單位「立方公分」。 (四上~4.體積) 五年級：5-n-19能認識體積單位「立方公尺」，及「立方公分」、立方公尺」間的關係，並做相關計算。 (五下~1.體積的計算) 5-n-20能理解長方體和正方體的體積公式，並能求出長方體和正方體的表面積。（同5-s-07）(五下~1.體積的計算)

陸、小學量與實測各年級的教材安排六、體積 五年級：5-n-21能理解容量、容積和體積間的關係。 (五下~10.體積和容積) ※容量、容積與體積均為空間大小的量。 ※體積代表實體佔有的空間，容量、容積代表的是實體內可負載的量 ※體積：物體所佔空間的大小。 ※容積：是指容器內部空間的大小，其概念是體積概念。例如：冰箱內部的容積。 ※液量：指容器內液體的量。如：水量。 ※容量：指容器可裝載的最大液量。 ※沉入水中的物體的體積，等於此物體所排開的水的水量，也就是水所佔空間的體積。

陸、小學量與實測各年級的教材安排六、體積 六年級：6-n-15能理解簡單直柱體的體積為底面積與高的乘積。(同6-s-05 (六下~4.柱體的體積)

陸、小學量與實測各年級的教材安排七、時間 一年級：1-n-08能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。 (一上~9.讀鐘錶) 二年級：2-n-12能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 2-n-13能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。 (二上~8.時間)(二下~6.幾月幾日星期幾) 三年級：3-n-13能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並做同單位時間量及時、分複名數的加減計算。 (三下~3.時間)

陸、小學量與實測各年級的教材安排七、時間 四年級：4-n-13能解決複名數的時間量計算問題。 (四上~11.時間) (1)知道開始與結束的時刻，求算經過的時間量。 (2)知道開始的時刻及經過的時間量，求算結束的時刻。 (2)知道結束的時刻及經過的時間量，求算開始的時刻。 ※「時刻」指的是某一事件發生的時候，概念上是時間數線上的一個點，學童透過事件發生的先後（比較活動）學習時刻的概念。 ※ 「時間」指的是某一事件經過了多久，概念上是時間數線上的一段距離，學童透過事件發生的長短學習時間的概念。五年級：5-n-13能解決時間的乘除計算問題。 (五上~8.時間的乘除) 「例」1時20分÷20 和 1時20分÷20分一樣嗎？答案各是多少？

柒、量與實測的教學策略一、培養量感 ※所有量的指導，都要重視培養量感，學習量的估測，並能與別人溝通觀察的結果。以下介紹幾種量感的培養方法： 1.長度單位：1毫米、1公分、1公尺、1公里量感的培養。 2.容量單位：1毫公升、1公升、1公秉量感的培養。 3.重量單位：重量無法靠目測得知，建議老師能準備一些1公斤、2公斤重的實物，確實讓孩子拿拿看，感覺物體有多重，並且讓孩子分辨「淨重」與「毛重」的差別。也可以和孩子討論每天背上學的書包有多重，討論書包要如何減重……。

柒、量與實測的教學策略一、培養量感 4.面積單位：1平方公分(公尺)、1公畝量感的培養。 5.體積單位：1立方公分(公尺)量感的培養。 6.估測：讓孩子經由步長估測家裡到學校的距離、估測家中日常用品的長度、面積；估測每天喝水、洗臉、刷牙、洗澡的用水量等。

柒、量與實測的教學策略二、單位的換算 1.長度單位：公里、公尺、公分。 2.容量單位：公秉、公升、毫公升。 3.重量單位：公噸、公斤、公克。 4.面積單位：平方公里、公頃、公畝、平方公尺、平方公分。 5.體積單位：立方公尺、立方公分。 6.體積與容積單位：立方公尺〈公秉〉、立方公分〈毫公升〉 7.時間單位：時、分、秒。 ◎常用單位，一方面遵守中央標準局之約定，另一方面也可以配合生活情境，自行補充其他日常生活常用的單位〈如：坪、台斤…等〉

柒、量與實測的教學策略三、時間 1.時間看不見，摸不到，對長短判斷常受情緒影響，只能透過工具幫助孩子掌握量感。 2.時刻與時間的區別： (1)「時刻」指的是某一事件發生的時候，概念上是時間數線上的一個點，學童透過事件發生的先後（比較活動）學習時刻的概念。 (2) 「時間」指的是某一事件經過了多久，概念上是時間數線上的一段距離，學童透過事件發生的長短學習時間的概念。 3.時間的報讀：注意孩子比較容易讀錯的部分。

柒、量與實測的教學策略三、時間 4.12時制與24時制的換算： (1)12時制換成24時制，上午的時刻一樣。「例」12時制的「上午8時」＝ 24時制的「8時」。 12時制的「上午11時」＝ 24時制的「11時」。 (2)12時制換成24時制，下午的時刻就要加上12時。「例」12時制的「下午8時」＝ 24時制的「20時」。 12時制的「下午11時」＝ 24時制的「23時」。 5.時間單位的換算：1日＝24時 1時＝60分 1分＝ 60秒 6.複名數時間的除法： (1)名數÷不名數〈建議寫成直式計算〉。例：5時20分÷20 ＝31分 (2)名數÷名數〈建議寫成橫式計算〉。例：5時20分÷20分＝31

柒、量與實測的教學策略四、角度 1.兒童對於「角」的概念發展： (1)圖形角：指的是「共頂點的一對射線所圍成的區域」，也就是將角視為一個區域，常會與角的性質〈如尖或鈍〉、角的大小〈如所張開區域的大小〉和面積等概念相關。如三角形的角。 (2)張開角：指的是「一對指向不同的射線」，也就是將角視為一對射線，常會涉及方位或方向〈如垂直和水平〉、線的指向、角的感覺〈如大小和尖平〉、直線、點等概念。如筷子張合的角。 (3)旋轉角：指的是「旋轉的程度」，也就是將角視為旋轉，常會涉及旋轉的概念和空間概念等，如時鐘上秒針〈分針、時針〉旋轉所形成的角。

柒、量與實測的教學策略四、角度 2.「角」的分類： (1)銳角：小於90度的角。 (2)直角：等於90度的角。 (3)鈍角：大於90度的角。 (4)平角：等於180度的角。 (5)周角：等於360度的角。

柒、量與實測的教學策略四、角度 3.「角度」的測量與報讀： (1)量角器的測量：量角器的中心點要對齊角的頂點。角的一邊〈直線〉要對齊量角器的刻度0。 ⋆建議讓孩子嘗試量各種不同方向的角。 (2)角度的報讀：報讀時要注意從量角器刻度0的哪一邊看起。 (3)角的度數不會因為角的邊長增加而增加。 (4)圖形的縮圖或擴大後的角度都與原圖形一樣大。

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