Линейни регресионни модели

1. Линейни регресионни модели

2. Класически линейни регресионни модели • Основен клас модели за количествено определяне на качествено дефинираните от теорията връзки • Позволяват да се установи валидността на теорията в поведението на икономическите субектичрез данните за тяхната дейност

3. Класически линейни регресионни модели • Изучават съществуващата връзка между даден показател (зависима променлива) и един или повече показатели (фактори) • Използват се: • за установяване съществуването на зависимост между две или повече явления, за които не знаем предварително има ли връзка, но предполагаме, че тя съществува.

4. Класически линейни регресионни модели • Използват се ...: • Дадена връзка съществува, т.е. тя е теоретично доказана, но трябва да се провери доколко тя реално функционира в практиката • да се определи количествено теоретично доказана връзка за целите на управлението

5. Класически линейни регресионни модели Регресионните модели изследват връзката между една зависима променлива и една или няколко независими променливи, но това не означава непременно, че тази връзка е причинно-следствена връзка

6. Класически линейни регресионни модели • Регресионните модели позволяват: • Да се определят средните стойности на даден показател, при определени средни стойности на други показатели • Да се прогнозира състоянието, или изменението на даден показател в зависимост от измененията на други показатели • Да се тестват различни хипотези, произтичащи от икономическата теория, по отношение на връзката между дадени показатели • Комбинация от горните възможности.

7. Регресионна функция на съвкупността Пример Да се анализират купените количества обувки като се знае, че цените, при които са извършвани покупките и индивидуално закупените количества са показаните в таблицата

8. Регресионна функция на съвкупността

9. Регресионна функция на съвкупността Интерпретация: • При цена 50 лева - 7 потребители са направили покупки, като купените от тях количества варират от 45 до 51 броя. • Средното количество, купено от тези потребители е 48 броя • При цена 55 лева 5 потребители са направили покупки, които варират от 44 до 48 броя • средното купено количество е 46 броя

10. Регресионна функция на съвкупността

11. Регресионна функция на съвкупността

12. Регресионна функция на съвкупността • Изводи • За всяка цена - различен брой купени количества (всяка стойност на Х отговарят по няколко стойности на Y, т.е. на всяко Х отговаря едно подмножество (извадка) на Y ) • Принципно Y намалява с увеличаването на Х • Средната стойност (математическото очакване) на Y за всяка извадка намалява при увеличаването на средната стойност за Х

13. Регресионна функция на съвкупността • Линията, свързваща средните на всяка извадка се нарича регресионна линия на съвкупността • Регресионната линия на съвкупността представлява средната стойност на зависимата променлива за извадката, отговаряща на всяка стойност на обясняващата променлива • Показва как средната стойност на зависимата променлива се свързва с всяка стойност на независимата променлива

14. Регресионна функция на съвкупността

15. Регресионна функция на съвкупността • Функцията, с която се изразява регресионната линия на съвкупността - регресионна функция на съвкупността • aи b– параметри на модела (регресионни коефициенти) • Стр 47 – печатна грешка във формули 3.1 и 3.2 (= вместо +)

16. Добавен slide от Боби • Математическото очакване за зависимата променлива Y при определен конкретен набор на независимите променливи = a + bXi (1 линейна функция) • Математическото очакване изразява средната стойност на дадена променлива спрямо конкретен набор от стойности за определен брой аргументи • а – свободен членb – коефицент, който показва какво изменение на зависимата променлива отговаря на 1 изменение за съответния фактор

17. Стохастична регресионна функция на съвкупността • Изводи: купените количества от всеки обект при дадена цена са равни на средното купено количество ± няколко броя • ui- стохастична (случайна) грешка, или просто грешка

18. Регресионна функция на съвкупността

19. Същност на стохастичната грешка • Отразява влиянието на фактори, които оказват влияние върху обяснявания показател, но не са включени като фактори в разглеждания модел • Може да бъде резултат от моментно поведение, желание, настроение и т.н. поведение, което не може да бъде предсказано

20. Същност на стохастичната грешка • Може да се дължи и на грешки в измерването, например от закръгляване • В резултат на желание да се запази модела елементарен – изключени фактори с по-слабо влияние

21. Регресионна функция на извадката • На практика – наличните данни са само част от цялата съвкупност • За целите на иконометричния анализ, е необходимо да се определи регресионната функция на съвкупността на основата на данни за някаква нейна извадка

22. Регресионна функция на извадката • За примера това означава • Имаме само една извадка, например

23. Регресионна функция на извадката • Въпрос: възможно ли е тези данни да определим средното купено количество при съответната цена? • Или възможно ли е да определим регресионната функция на съвкупността от извадката, с която разполагаме • Възможно е това да не може да се направи с необходимата коректност, поради колебанията в извадките (грешката на извадката)

24. Регресионна функция на извадката

25. Регресионна функция на извадката

26. Регресионна функция на извадката

27. Регресионна функция на извадката • По данните от двете таблици могат да се построят две различни прави линии, които отговарят на данните най-добре • Всяка една от тези линии се нарича регресионна линия на извадката • Двете регресионни линии не съвпадат

28. Регресионна функция на извадката • От съвкупността могат да се направят различни извадки, всяка от които има различна регресионна линия • Въпросът е, коя от регресионните линии на извадката съвпада с тази на съвкупността

29. Регресионна функция на извадката

30. Регресионна функция на извадката • Изводи: • Не всички наблюдения лежат на регресионната линия на извадката • За отразяването на горния факт – добавяне на случайна грешка (както и при регресионната функция на съвкупността) • Регресионната функция на извадката има същия вид, който и регресионната функция на съвкупността

31. Регресионна функция на извадката • Основен въпрос: да се оценят параметрите по данни от извадката, така че те да съвпаднат (възможно най-близки) с тези на съвкупността • Коефициентите А и В трябва да се оценят по такъв начин, че да бъдат възможно най-близки до коефициентите aи b(от регресионната линия на извадката)

32. Видове регресионни модели • Линейни[точни методи за оценка (имаме формула; прилагаме; и се получава точно “това”)] и нелинейни[инерционни; получава се поредица от стойности, които клонят към 1 стойност (оценка)] – определя се от вида на функцията, с която се описва регресионната линия • Линейните регресионни модели – два типа • Линейни по отношение на факторите на модела • Линейни по отношение на параметрите на модела

33. Видове регресионни модели • Променливите на модела се включват без преобразуване - линейни по отношение на факторите на модела • Променливите на модела се включват чрез някаква функция, но модела се изразява чрез линейна функция на нелинейните агрументи - линейни по отношение на параметрите на модела

34. Видове регресионни модели • По броя на включените фактори – 2 вида • Единични (еднофакторни)(– в модела се включва един фактор • Множествени (многофакторни) – в модела се включват повече от един фактори

35. Единични регресионни модели • Примерите разгледани досега – единични (еднофакторни) регресионни модели • Общ вид • Където: • Y – зависима (обяснявана) променлива • X – една независима (обясняваща, фактор) променлива • ε - грешка

36. Множествени регресионни модели • Обикновенно – 1 фактор не е достатъчен за обясняване на икономическите явления • За примера – не са отчетени доходите, продуктите заместители (боти, ботуши, сандали, и т.н.

37. Множествени регресионни модели • Повече от 1 обясняваща променлива • Общ вид (матричен запис) • Където: • Y – зависима (обяснявана) променлива • X – вектор на независимите (обясняващите) променлива • B – също вектор с точно толкова елемента, колкото и вектора X • ε - грешка

38. Множествени регресионни модели Общ вид - разгънат • Където: • Y – зависима (обяснявана) променлива • X1 , X2 , X3 – фактори (обясняващи променливи) • u - грешка В учебника, на страница 55,формулата накрая е объркана!Трябва да е +u, а не =u! (3.6)

39. Множествени регресионни модели • Зависимата променлива - сума от детерминиран компонент (средната стойност на зависимата променлива за дадено фиксирано равнище на обясняващите промеливи) и случаен компонент (грешка) • а0 - изразява средната стойност на обясняваната променлива при нулеви стойности на обясняващите променливи

40. Множествени регресионни модели • Коефициентите а1, а2 и а3 - частични или частни регресионни коефициенти • изразявят изменението на средната стойност на зависимата променлива при единица изменение на съответната обясняваща променлива при условие, че останалите обясняващи променливи се запазват постоянни • отразяват частичния ефект от изменението на една обясняваща променлива върху средната стойност на зависимата променлива при отсъствие на изменения в останалите обясняващи променливи