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第四节 直线、平面平行的判定及其性质. 分析 要证 MN ∥ 平面 BCE ，其一，只需在平面 BCE 内找到一条与 MN 平行的直线即可；其二，构造面面平行，用面面平行的性质．. 证明 方法一：过 M 作 MP ⊥ BC ， NQ ⊥ BE ， P 、 Q 为垂足，连接 PQ ，如图所示． ∵ MP ∥ AB ， NQ ∥ AB ， ∴ MP ∥ NQ ， ∵ AC ＝ BF ， AM ＝ FN ，∴ CM ＝ BN ， ∴ NQ ＝ BN ＝ CM ＝ MP ， ∴ MPQN 是平行四边形，∴ MN ∥ PQ ， PQ ⊂ 平面 BCE .
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分析要证MN∥平面BCE，其一，只需在平面BCE内找到一条与MN平行的直线即可；其二，构造面面平行，用面面平行的性质．分析要证MN∥平面BCE，其一，只需在平面BCE内找到一条与MN平行的直线即可；其二，构造面面平行，用面面平行的性质．
证明方法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，如图所示．证明方法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，如图所示． ∵MP∥AB，NQ∥AB， ∴MP∥NQ， ∵AC＝BF，AM＝FN，∴CM＝BN， ∴NQ＝ BN＝ CM＝MP， ∴MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，PQ⊂平面BCE. 而MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE. 方法二：过M作MG∥BC，交AB于G，连接NG，如图所示． ∵MG∥BC，BC⊂平面BCE，MG⊄平面BCE，∴MG∥平面BCE. 又 ， ∴GN∥AF∥BE，同理可证，GN∥平面BCE. ∵MG∩NG＝G，∴平面MNG∥平面BCE. 又MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.
规律总结证明直线和平面平行，通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行证得“线面”平行．
变式训练1 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1.
线面平行的性质及应用 一条直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行．
分析写出“已知”“求证”，过已知直线作两个平面与已知平面相交，由线面平行的性质，证明线线平行．分析写出“已知”“求证”，过已知直线作两个平面与已知平面相交，由线面平行的性质，证明线线平行．
解 已知：α∩β＝b，α∥α，a∥β，求证：a∥b. 证明：如图，过直线a作两个平面α′，β′，使得α′∩α＝c，β′∩β＝d，则a∥c，a∥d，∴c∥d，∵c⊄β，d⊂β，∴c∥β， ∵α∩β＝b，c⊂α， ∴c∥b，∴a∥b.
规律总结线面平行的性质及应用主要有两个方面：其一，由线面平行证明线线平行，即由线面平行到线线平行的转化；其二，由线面平行证明面面平行，即由线面平行到面面平行的转化．规律总结线面平行的性质及应用主要有两个方面：其一，由线面平行证明线线平行，即由线面平行到线线平行的转化；其二，由线面平行证明面面平行，即由线面平行到面面平行的转化．
变式训练２如图所示，在四面体A－BCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问：截面在什么位置时，截面的面积最大？变式训练２如图所示，在四面体A－BCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD.试问：截面在什么位置时，截面的面积最大？
面面平行的判定及应用 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证： (1)E、F、B、D四点共面； (2)平面AMN∥平面EFDB.
规律总结面面平行的判定统统涉及线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．规律总结面面平行的判定统统涉及线面平行的判定与性质的综合应用，解题时，要准确地找到解题的切入点，灵活地运用相关定理来解决问题．
变式训练３ 异面直线AB、CD分别与两个平行平面α和β相交于A、B和C、D，M、N分别是AB和CD的中点，求证：MN∥α.变式训练３ 异面直线AB、CD分别与两个平行平面α和β相交于A、B和C、D，M、N分别是AB和CD的中点，求证：MN∥α.
【证明】作BE∥DC交平面α于E，取BE的中点P，连EA、EC、PM、PN，如图所示．【证明】作BE∥DC交平面α于E，取BE的中点P，连EA、EC、PM、PN，如图所示． 则 PM∥AE，PN∥EC. ∴PM∥平面EAC，PN∥平面EAC， ∴平面PMN∥平面EAC， 而MN⊂平面PMN， ∴MN∥平面EAC，即MN∥α.
面面平行的性质及应用 (12分)如图所示，线段PQ分别交两个平行平面 α，β于A、B两点，线段PD分别交α，β于C、D 两点，线段QF分别交α，β于F、E两点，若PA＝9， AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积．
规律总结利用面面平行可以得到线面平行和线线平行，所以面面平行的应用，主要就是两个转化：其一，由面面到线面的转化；其二，由面面到线线的转化．
变式训练４如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.变式训练４如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.
【证明】(1)当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，【证明】(1)当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD， ∴AC∥BD.∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD. 又EF⊄β，BD⊂β，∴EF∥β. (2)当AB与CD异面时，如图甲． 设平面ACD∩β＝DH，取DH＝AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC， ∴AC∥DH.连接AH， ∴四边形ACDH是平行四边形． 在AH上取一点G，使 AG∶GH＝CF∶FD，连接EG、FG、BH. 又∵AE∶EB＝CF∶FD， ∴GF∥HD，EG∥BH. 又EG∩GF＝G，∴平面EFG∥β. ∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β. 综上，EF∥β.
2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作辅助线或辅助面2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作辅助线或辅助面 注意：(1)所作的辅助线或面需要有理论依据； (2)辅助线或面具有什么性质，一定要以某一性质定理作为依据，不能随意添加． 3．证“线面平行”的方法 (1)判定定理(线线平行⇒线面平行)； (2)面面平行的性质定理(面面平行⇒线面平行)．
4．证明“面面平行”的方法 (1)用判定定理或推论； (2)用“同垂直于一条直线的两个平面平行”来判定； (3)依据“平行于同一个平面的两个平面平行”来判定．
5．两个平面平行的性质有五条 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为“面面平行，则线面平行”．用符号表示是：α∥β，a⊂α，则a∥β. (2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为“面面平行，则线线平行”．用符号表示是：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b. (3)一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．这个定理可用于证线面垂直．用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β. (4)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (5)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
如图所示，在正方体 中，E，F分别是棱BC， 的中点，求证：EF∥平面 .
错解分析 在上述证明过程中，只是找到了D1G∥EF，并未证明D1G⊂平面BB1D1D，而直接利用了D1G⊂平面BB1D1D，因此证明不够充分．
