תוחלת ושונות

1. תוחלת ושונות • מה נרצה לדעת על משתנה מקרי? • את ההתפלגות שלו. • הפונקציות האלה מכילות את כל המידע. • אנו מעוניינים במדדים שמסכמים את המידע הזה.

2. תוחלת של משתנה בדיד • הניסוי – מטילים מטבע 3 פעמים. • X – מספר הפעמים שהתקבל עץ. • ההתפלגות של X:

3. תוחלת של משתנה בדיד או באופן כללי

4. תוחלת - EXPECTATION • תוחלת מסומנת ע"י E או m • התוחלת היא הערך שנצפה לקבל בממוצע אם נמדוד את המשתנה המקרי הרבה פעמים. • תוחלת של משתנה מקרי בדיד במרחב סופי:

5. תוחלת של המספר Y המתקבל בהטלת קובייה

6. תוחלת של משתנה רציף • למשתנה רציף, שפונקצית הצפיפות שלו היא f תוגדר התוחלת כ – • האינטגרל הוא סכום. זו גרסה רציפה לסכום.

7. דוגמה לחישוב תוחלת של משתנה רציף המתפלג אחיד • אדם זורק אבן לעבר קיר שרוחבו 1 מטר. האבן תנחת על הרצפה בנקודה כלשהי צמוד לקיר. האבן עשויה ליפול בכל נקודה לאורך הקיר באותה סבירות. • השטח מתחת לקו האדום הוא ½ וזוהי התוחלת.

8. תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי • כאשר a ו b מספרים קבועים ו X ו Y משתנים מקריים מתקיים: • E(bX+a)=bE(X)+a • E(X+Y)=E(X)+E(Y) • אם X, Y בלתי תלויים, מתקיים גם: E(XY)=E(X)E(Y)

9. שונות VARIANCE • מדד למידה בה ההסתברויות של משתנה מקרי מפוזרות

10. חישוב שונות של הטלת קוביה

11. E(X))2) –var (X)=E((X ולכן: var(bX) = E((bX-E(bX))2) = E((bX-bE(X))2) = E(b2(X-E(X))2) = b2E((X-E(X))2) = b2var(X)

12. E(X))2) –var (X)=E((X ולכן: var(X+b) = E((X+b-E(X+b))2) = E((X+b-(E(X)+b))2) = E((X+b-E(X)-b)2) = E((X-E(X))2) = var(X)

13. E(X))2) –var (X)=E((X • ע"י פיתוח אפשר להגיע לנוסחה הבאה: • = E(X2)-(E(X))2 • זו נוסחא נוחה לשימוש • סיכום • var(bX) = b2var(X) • var(X+b) = var(X) • כאשר X ו-Y ב"ת מתקיים גם: var(X+Y) = var(X)+var(Y)

14. שימוש ב-var(Y)=E(Y2)-(E(Y))2

15. תוחלת ושונות של התפלגויות שונות • התפלגות בינומית • E(X)=np • var(X)=np(1-p)=npq • התפלגות פואסון • E(X)=m • var(X)=m • התפלגות נורמלית • m ו2s