概率论

1. 概率论 中南大学数学院 概率统计课程组

2. §3.4随机变量函数的分布 (一）和的分布 (二）商的分布 (三）极值分布

3. 对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。例如，若ξ是 服从 的随机变量，为了解决计算中的查表问题，在其中引入变换

4. 这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。

5. 定理3.1设ξ是一个连续型随机变量，其密度函为 ，又 严格单调，其反函数 有连续导数，则 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为 证明略 其中

6. 例如，设ξ ~ N ( ,2) , η = a ξ +b, 则 η ~ N ( a +b, a22 ) 特别地 ，若 ξ ~ N (  , 2) , 则

7. 上面的定理在 为严格单调的情形下,而且反函数连续可微时,用起来很方便,但条件的要求很强,在许多场合往往不满足.这时,我们可以采用从求分布函数或密度函数出发,利用ξ的分布来求.

8. （1）从分布函数出发 （2）从密度函数出发 方法： 问题: 已知随机变量 ξ 的密度函数 p(x) (或分布函数F(x)) 求η=g(ξ)的密度函数或分布函数

11. 设随机变量ξ具有概率密度： 例14 试求η =ξ -4的概率密度. 解：(1)先求η =ξ -4的分布函数Fη(y)：

12. ¢ = ( 2 ) F ( y ) f ( y ) 利用 可以求得： h h

13. 整理得 η =ξ -4的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式

14. 当a > 0时， 例15已知ξ的密度函数为 为常数，且 a  0, 求fη( y ) 解

15. 当a < 0时， 故

16. (一）和的分布 1.Z= ξ+η的分布

17. 由于ξ与η对称, 当ξ与η独立时, ¥ ò = - p ( z ) p ( z y ) p ( y ) d y , x h Z - ¥ 由此可得概率密度函数为

18. 例16设两个独立的随机变量 ξ与η都服从标准正态分布,求 ξ与η的概率密度。 解

19. 得

20. 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. 例如，设ξ与η独立，都具有正态分布，则 3 +4η +1也具有正态分布.

21. 解 由卷积公式有 例17 设ξ与η相互独立，且都在区间(0, 1)上服从均 匀分布，求 Z = ξ+η 的概率密度．

22. (1) 当 时， ，此时 ． (2) 当 时， ，此时 ． (3) 当 2时， ，此时 ． (4) 当 时， ，此时 ． 因此

23. (二）商的分布 2. Z= ξ/η的分布

24. 同理可得 故有

25. 由此可得概率密度为 当 ξ与η独立时,

26. 解 由公式 例18

27. 得所求密度函数 得

28. x h , , 设 是两个相互独立的随机 变量 它们 F ( x ) F ( y ), 的分布函数分别为 和 x h 3.极值分布

29. 则有

30. 故有

31. 推广(1)

32. 推广(2)

33. 休息片刻继续