要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都有 _______________ ，那么函数 f （ x ）就叫做偶函数 .

要点梳理 1.奇函数、偶函数的概念一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称. §2.4 函数的奇偶性基础知识自主学习 f（-x）=f（x） f（-x）=-f（x）

2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于____________；（2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，则f（x）为奇函数；若f（-x）=________，则f（x）为偶函数；若f（-x）=_______且f（-x）=________,则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 原点对称 -f（x） f（x） -f（x） f（x）

3.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性______(填 “相同”、“相反”）. (2)在公共定义域内， ①两个奇函数的和是________,两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是_________； ③一个奇函数，一个偶函数的积是_________. 相同相反奇函数偶函数奇函数

基础自测 1.对任意实数x,下列函数为奇函数的是（） A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln 5x D.y=-|x|cos x 解析A为非奇非偶函数,B、D为偶函数,C为奇函数.设y=f(x)=ln 5x=xln 5,∴f（-x）=-xln 5= -f（x）. C

2.（2008·全国Ⅱ理）函数的图象关于 （） A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称解析 ∵ ∴f（x）是奇函数.∴f（x）的图象关于原点对称. C

3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减3.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的函数是（） A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x-1| C. D. 解析 ∵函数是奇函数,排除B、C（B中函数是非奇非偶函数，C中是偶函数）， ∵［-1，1］ ∴f（x）=sin x在[-1,1]上是增函数,排除A,故选D. D

4.已知f(x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数, 那么a+b的值是（） A. B. C. D. 解析依题意得 B

5.（2008·福建理）函数f（x）=x3+sin x+1 (x∈R), 若f（a）=2，则f（-a）的值为（） A.3 B.0 C.-1 D.-2 解析设g(x)=x3+sin x,很明显g(x)是一个奇函数. ∴f（x）=g（x）+1.∵f（a）=g（a）+1=2， ∴g（a）=1， ∴g（-a）=-1，∴f（-a）=g（-a）+1=-1+1=0. B

题型一函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性： (1) (2) (3) 判断函数的奇偶性,应先检查定义域是否关于原点对称,然后再比较f(x)与f(-x)之间是否相等或相反. 题型分类深度剖析思维启迪

解(1) 定义域关于原点对称. 故原函数是奇函数. (2) ≥0且1-x≠0 -1≤x<1, 定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.

(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 定义域关于原点对称, 又当x>0时,f(x)=x2+x,则当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x<0时,f(x)=x2-x,则当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x), 故原函数是偶函数.

判断函数的奇偶性,其中包括两个必备 条件: 一是定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域对解决问题是有利的; 二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)) 是否成立. 探究提高

分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

知能迁移1判断下列函数的奇偶性: (1) (2)

解(1)∵ ∴-2≤x≤2且x≠0, ∴函数f(x)的定义域关于原点对称. ∴f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.

(2)当x<-1时,f(x)=x+2,-x>1, ∴f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x). 当x>1时,f(x)=-x+2,-x<-1, ∴f(-x)=(-x)+2=-x+2=f(x). 当-1≤x≤1时,f(x)=0,-1≤-x≤1, ∴f(-x)=0=f(x). 综上可知,对于定义域内的每一个x都有f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数.

题型二函数的奇偶性与单调性 【例2】已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)= f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)如果x为正实数，f（x）<0,并且f(1)= 试求 f(x)在区间［-2，6］上的最值. (1)根据函数的奇偶性的定义进行证明, 只需证f(x)+f(-x)=0; (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用. 思维启迪

(1)证明 ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称. ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x, ∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0, ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0. ∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. （2）解方法一设x,y为正实数， ∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ∴f（x+y）-f（x）=f（y）. ∵x为正实数，f（x）<0, ∴f(x+y)-f(x)<0,

∴f(x+y)<f(x). ∵x+y>x, ∴f(x)在（0，+∞）上是减函数. 又∵f（x）为奇函数，f（0）=0， ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数. ∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值. ∵f(1)= ∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1, f(6)=2f(3)=2[f（1）+f（2）]=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

方法二设x1<x2,且x1,x2∈R. 则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1) =f(x2)-f(x1). ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0. 即f(x)在R上单调递减. ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值. ∵f（1）= ∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1 f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3. ∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.

探究提高（1）满足f(a+b)=f(a)+f(b)的函数，只 要定义域是关于原点对称的，它就是奇函数. （2）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注.

知能迁移2函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满 足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). （1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；（3）如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在 (0，+∞)上是增函数，求x的取值范围. 解（1）∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)， ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.

(2)令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1). ∴f(-1)= f(1)=0. 令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. （3）依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f（16×4）=f（16）+f（4）=3， ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, ∴f((3x+1)(2x-6))≤f(64) (*)

∵f(x)在（0，+∞）上是增函数， ∴(*)等价于不等式组 ∴x的取值范围为

题型三函数的奇偶性与周期性 【例3】（12分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x). （1）求证：f(x)是周期函数；（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)= 求使f(x)= 在［0，2 009］上的所有x的个数. (1)只需证明f（x+T）=f（x），即f（x）是以T为周期的周期函数；(2)由第(1)问可知只需求一个周期中f(x)= 的x的个数便可知在[0,2 009] 上的x的个数. 思维启迪

解题示范 （1）证明∵f（x+2）=-f（x）， ∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），［2分］ ∴f（x）是以4为周期的周期函数. ［3分］（2）解当0≤x≤1时，f(x)= 设-1≤x≤0,则0≤-x≤1, ∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）, ［5分］故f(x)= (-1≤x≤1). ［6分］

又设1<x<3,则-1<x-2<1, ∴f（x-2）= （x-2）. ［7分］又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f((-x)+2) =-[-f（-x）]=-f（x）， ∴-f（x）= （x-2）， ∴f（x）= （x-2）（1<x<3）. 　［8分］［9分］

由f(x)= 解得x=-1. ∵f（x）是以4为周期的周期函数， ∴ f(x)= 的所有x=4n-1 (n∈Z). ［10分］令0≤4n-1≤2 009,则又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）, ∴在[0，2 009]上共有502个x使f(x)= ［12分］判断函数的周期只需证明f（x+T）=f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题. 探究提高

知能迁移3已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）知能迁移3已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2） =-f（x），则f（9）的值为（） A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f［(x+2)+2］=-f(x+2)=f(x). ∴f（x）是周期为4的函数. ∴f（9）=f（2×4+1）=f（1）. ∵f（x+2）=-f（x），令x=-1, 得f(1)=-f(-1)=-f(1),∴f(1)=0.∴f(9)=0. B

思想方法感悟提高 方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x) f(-x) ±f(x)=0 =±1(f(x)≠0).

3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 失误与防范

2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x,2.判断函数f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个x, 均有f(-x)=-f(x).而不能说存在x0使f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.判断分段函数奇偶性时,要以整体的观点进行判断, 不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

一、选择题 1.f(x)为奇函数，且f(x)的周期为3，f（2）=1，则 f（10）等于（） A.1 B.-1 C.0 D.2 解析f(10)=f(3×3+1)=f(1)=-f(-1)=-f(2)=-1. 定时检测 B

2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0］2.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0］上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的取值范围是（） A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析 ∵f（x）是偶函数且在 (-∞,0]上是减函数，且f（2） =f（-2）=0，可画示意图如图所示，由图知f(x)<0的解集为（-2，2）. D

3.（2009·辽宁理，9）已知偶函数f(x)在区间［0, +∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（） A. B. C. D.

解析方法一当2x-1≥0,即x≥ 时，因为f(x)在 ［0，+∞）上单调递增，故需满足当2x-1<0,即x< 时，由于f(x)是偶函数，故f(x)在（-∞,0］上单调递减，此时需满足

方法二 ∵f(x)为偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|) 又∵f(x)在区间（0，+∞）上为增函数 ∴不等式等价于答案 A

4.(2009·陕西文，10)定义在R上的偶函数f(x)，对 任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2)，有则（） A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析对任意x1,x2∈［0,+∞)(x1≠x2),有 则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号，因此函数f(x)在［0，+∞）上是减函数.又f(x)在R上是偶函数，故f(-2)=f(2),由于3>2>1,故有f(3)<f(-2)<f(1). 答案A

5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数5.函数y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x) =1,且x≠0,g(x)≠1,则F(x)= ( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

解析由条件知f(-x)=-f(x), 答案B

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)=1-2-x,则不等式f(x)< 的解集是（） A.(-∞,-1) B.（-∞，-1］ C.（1，+∞） D.［1，+∞）

解析当x>0时，1-2-x= >0与题意不符， 当x<0时，-x>0，∴f（-x）=1-2x，又∵f（x）为R上的奇函数， ∴f（-x）=-f（x）， ∴-f（x）=1-2x，∴f（x）=2x-1， ∴f（x）=2x-1< ∴2x< ∴x<-1, ∴不等式f(x)< 的解集是（-∞，-1）. 答案A

二、填空题 7.已知定义在R上的函数f（x）满足f(x+5)=-f(x)+2, 且当x∈(0,5)时，f(x)=x，则f(2 008)的值为 _______. 解析 ∵f（x+10）=f[（x+5）+5] =-f（x+5）+2=-[-f（x）+2]+2=f（x）， ∴f（x）的一个周期为10. ∴f（2 008）=f（10×200+8）=f（8）=f（3+5） =-f（3）+2=-1. -1

8.定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+1）=-f（x）,且在8.定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+1）=-f（x）,且在［-1，0］上是增函数，给出下列关于f（x）的判断： ①f（x）是周期函数； ②f（x）关于直线x=1对称； ③f（x）在［0，1］上是增函数； ④f（x）在［1，2］上是减函数； ⑤f（2）=f（0），其中正确的序号是__________.

解析 ∵f（x+1）=-f（x）， ∴f（x）=-f（x+1）=f（x+1+1）=f（x+2）， ∴f（x）是周期为2的函数，①正确. 又∵f（x+2）=f（x）=f（-x）， ∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确. 又∵f（x）为偶函数且在［-1，0］上是增函数， ∴f（x）在［0，1］上是减函数. 又∵对称轴为x=1， ∴f（x）在［1，2］上为增函数，f（2）=f（0），故③④错误，⑤正确. 答案 ①②⑤

9.设函数为奇函数，则a=. 解析则函数g(x)=(x+1)(x+a)=x2+(a+1)x+a 应为偶函数，则g(-x)=g(x)恒成立. 即x2+(a+1)x+a=(-x)2+(a+1)(-x)+a ∴-（a+1）x=0对x恒成立， ∴a+1=0，即a=-1. -1

三、解答题 10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2） =-f（x），当0≤x≤1时，f(x)= 试求f(x)= 的一切x值. 解 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以4为周期的周期函数. ∵0≤x≤1时，f(x)= ∴f（1）= 又函数是奇函数，∴f（-1）= ∴满足f(x)= 在［-1，0］上的x值为-1. ∴f（x）= 的一切x值为4n-1,n∈Z.

11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时，f(x)=11.已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时，f(x)= -xlg(2-x),求f(x)的解析式. 解 ∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 当x>0时，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x), ∴-f（x）=xlg（2+x），即f（x）=-xlg（2+x）（x>0）. ∴f(x)= 即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).

12.已知函数(x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在［2，+∞）上为增函数，求实数 a的取值范围.

要点梳理 1. 奇函数、偶函数的概念一般地 , 如果对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x ，都有 _______________ ，那么函数 f （ x ）就叫做偶函数 .