Treillis Relationnel : Une Structure Algébrique pour le Data Mining Multidimensionnel

Treillis Relationnel : Une Structure Algébrique pour le Data Mining Multidimensionnel Alain Casali, Rosine Cicchetti, Lotfi Lakhal Laboratoire d’Informatique Fondamentale Marseille

Plan • Nécessité d’un espace de recherche pour le data mining multidimensionnel • Treillis relationnel • Treillis relationnel contraint • Treillis relationnel vs Datacube • Perspectives Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 2

1. Nécessité d’un espace de recherche pour le data mining multidimensionnel • Problème de la transformation d’une relation d’attributs catégories en une relation binaire • Treillis des parties : une structure mal adaptée au contexte multidimensionnel • Non préservation de la complexité des algorithmes par niveaux Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 3

Exemple: Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 4

Treillis des attributs binaires : Mais toutes les solutions ne sont pas valides Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 5

2. Treillis relationnel r : relation de schéma 2.1 Espace multidimensionnel tuple = élément de space(r) = motif multidimensionnel ex: <S,ALL,ALL> et <S,A,ALL> 2.2 Ordre de généralisation On munit space(r) de l’ordre de généralisation g ex: <S,ALL,ALL> g <S,A,ALL> Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 7

2.3 Opérateurs de base (a) La Somme ?  ALL Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 8

(b) Le Produit Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 9

2.4 Caractérisation du treillis relationnel Théorème: soit r une relation d’attributs catégories sur .L’ensemble ordonné (space(r), g) est un treillis complet, atomique, co-atomique et gradué, appelé treillis relationnel et noté RL(r), dans lequel : Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 10

2.5 Treillis relationnel vs Treillis des parties Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 11

3. Treillis relationnel contraint 3.1 Définition des contraintes Une contrainte cont est anti-monotone w.r.t. g ssi Une contrainte cont est monotone w.r.t. g ssi Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 13

3.2 Structure convexe « garantie » Théorème: le treillis relationnel contraint est un espace convexe (représentable par bordures) dans lequel la borne maximale S+cont et la borne minimale G+cont sont: 1. Si cont = cmc, G+ = min ({t  RL(r) : cmc(t)} ) et S+=<Ø,…Ø> 2. Si cont = camc, G+=<ALL,…,ALL> et S+ = max({t  RL(r) : camc(t)}) 3. Si cont = chc, G+ = min({t  RL(r) :chc(t)}) et S+ = max({t  RL(r) : chc(t)}) Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 14

3.3 Exemples de contraintes (a) Fréquence Freq(t)  minfreq est une contrainte anti-monotone et Freq(t)  maxfreq est une contrainte monotone. (b) Fréquence de la disjonction Freq(vt)  minfreq est une contrainte monotone et Freq(vt)  maxfreq est une contrainte anti-monotone. Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 15

3.4 Exactitude des solutions (a) freq(t)  3/11 (contrainte anti-monotone) Algorithme par niveau binaire donne le même résultat ? Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 16

(b) freq(t)  4/11 (contrainte monotone) Si algorithme (cadre binaire) => SJ fait partie des résultats. Solution possible: ajouter la contrainte freq(t)>0. Mais freq(<J,B,?>)=0 et <J,B,?> vérifie la contrainte. Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 17

(c) freq(Vt)  6/11 (contrainte anti-monotone) Freq(V<J,?,F>) = 5/11 mais Freq(<J,?,F>) = 0 Donc la contrainte Freq(t) > 0 ne permet pas d’obtenir l’ensemble des solutions d’un problème de data mining multidimensionnel en utilisant les techniques de data mining binaire. Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 18

4. Treillis relationnel vs Datacube • Datacube est un problème de data mining multidimensionnel dont l’espace de recherche est le treillis relationnel. • RL(r) = Datacube( ) + ordre de généralisation + opérateurs Produit et Somme Ordre de généralisation et opérateurs de base permettent la navigation dans le Datacube Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 20

Projet similaire Laksmanan, Pei, Han pour l’extraction des connaissances (sémantiques) dans le Datacube. • Premiers résultats (VLDB’02) : Cube Quotient : Treillis des classes d’équivalences selon des fonctions agrégatives. Ce cube (réduit) permet la navigation comme dans le Datacube. Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 21

5. Perspectives • Treillis relationnel fermé • Espace de version • Espace de version émergent ( 2 Datacubes) • Représentations concises/condensées du treillis relationnel contraint Casali, Cicchetti, Lakhal : Treillis Relationnel 23

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