Trihastuti Agustinah.

1. Trihastuti Agustinah.

2. Vektor pada Rn • Definisi Ruang-n • Himpunan seluruh tupel-n dari bilangan real • Notasi: Rn • n = 2  pasangan terurut; • n = 3 triple terurut • n = 1  satu bilangan real (notasi: R1 atau R) • 2 interpretasi geometris tripel terurut (a1,a2,a3): • Titik: a1,a2,a3 sebagai koordinat • Vektor: a1,a2,a3 sebagai komponen vektor

3. Interpretasi tripel terurut

4. Operasi standar • Dua vektor u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn) pada Rn • Sama u=v; u1= v1, u2= v2, ···, un= vn • Jumlah: u+v = (u1+v1, u2+v2, ···, un+vn) • Perkalian skalar: ku=(ku1, ku2,···, kun) • Vektor nol • Notasi: 0 • 0 = (0,0, ···,0)

5. Sifat-sifat aritmatika • Jika u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn • Negatif: -u = (-u1, -u2,···, -un) • Selisih: v- u = v + (- u) atau v- u = (v1-u1, v2-u2, ···, vn-un) • Teorema: (k,l: skalar) • v+ u = u +v k(lu) = (kl) u • u + (v+w) = (u +v) + w  k(u +v) = ku + kv • u + 0 = 0+ u = u (k+l) u = ku+lu • u +(- u)= 0u - u = 0 1u = u

6. Ruang n-Euclidean • Misal u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn), w=(w1, w2,···, wn) adalah vektor pada Rn dan k skalar • Hasilkali-dalam (inner-product) Euclidean: u·v = (u1v1 + u2v2 + ··· + unvn) • 4 sifat penting inner product • u·v = v·u • (u+v)·w = uw + vw • (ku)·v = k(u·v) • v·v ≥ 0, v·v = 0 jika dan hanya jika (iff) v = 0

7. Contoh 1 • Dapatkan hasilkali-dalam Euclidean dari vektor: u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0) u·v = (-1)(5) + (3)(-4) + (5)(7) + (7)(0) = 18 • Cara penghitungan hasilkali-dalam sama dengan perkalian aritmatika biasa (3u+2v)·(4u+v) = (3u)·(4u+v) + (2v)·(4u+v) = (3u)·(4u) + (3u)·v + (2v)·(4u) + (2v)·v = 12(u·u) + 11(u·v) + 2(v·v)

8. Norm dan jarak • Definisi norm atau panjang Euclidean untuk vektor u=(u1, u2,···, un): • Definisi jarak (distance) antara titik u=(u1, u2,···, un) dan v=(v1, v2,···, vn):

9. Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz • Vektor u=(u1, u2,···, un), v=(v1, v2,···, vn) pada Rn • Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz: atau

10. ku u + v v u u Sifat-sifat norm dan jarak • Jika u dan v adalah vektor dan k skalar • ||u|| ≥ 0 • ||u|| = 0 iff u =0 • ||ku|| = |k| ||u||  perkalian vektor dgn skalar mengalikan panjang dr vektor sebesar k • ||u +v|| ≤ ||u||+||v||  jumlah dua sisi segitiga lebih kecil atau sama dengan sisi ketiga dr segitiga tersebut

11. u + v v u Vektor ortogonal • Dua vektor u dan v adalah ortogonal iff u·v=0 • Vektor u, v dan u+v membentuk sisi-sisi segitiga • Teorema Phytagoras • ||u+v||2=||u||2+||v||2

12. Ruang Vektor Real • Definisi ruang vektor V: • himpunan objek di mana dua operasi berikut didefinisikan pada V • jumlah dari pasangan objek dalam V • perkalian objek dengan skalar • Jika aksioma –aksioma untuk ruang vektor terpenuhi oleh seluruh objek u,v,w dalam V dan skalar k dan l, maka • V disebut ruang vektor • objek dalam V disebut vektor.

13. Aksioma-aksioma • Jika u dan v adalah objek dalam V, maka u + v juga objek dalam V • u + v = v + u • u +(v +w) = (u+ v) + w • Objek 0 dalam V disebut vektor nol untuk V • 0+u=u+ 0=u untuk semua u dalam V • Untuk tiap u dalam V, objek –u dalam V disebut negatif dari u • u + (- u) = (- u) + u = 0 • Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek dalam V, maka ku juga dalam V • k(u +v) = ku + kv • k(lu) = (kl) u • 1u = u

14. Bukti • Misal

15. Subspace (subruang) • Definisi: • Subset W dari ruang vektor V disebut subspace dari V jika W merupakan ruang vektor yang dibentuk dari operasi penjumlahan dan perkalian dalam V • Bila W adalah himpunan yang terdiri dari satu vektor atau lebih dari ruang vektor V, maka W subspace dari V iff • Jika u dan v vektor dalam W, maka u+v juga dalam W • Jika k sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor dalam W, maka ku juga dalam W

16. W u + v v u W ku u u + v v ku u W Contoh1: subruang • Garis melalui origin adalah subruang • Vektor u+v dan ku terletak pada bidang yang sama dengan u dan vW adalah subruang dari R3

17. Subruang dari R2 {0} Garis melalui origin R2 Subruang dari R3 {0} Garis melalui origin Bidang melalui origin R3 Subruang dari R2 dan R3 • Tiap ruang vektor tak-nol V minimal terdiri dari 2 subruang: • Subruang V • Vektor nol dalam V subruang nol (zero subspace)

18. Untuk r = 1: w = k1v1 Kombinasi linear vektor tunggal v1 Kombinasi linear dari vektor • Vektor w adalah kombinasi linear dari v1, v2,, vr dan k1,k2, , kr jika • Vektor v=(a,b,c): kombinasi linear dari vektor basis standar

19. w kombinasi linear dari u dan v bila w = k1u + k2v (9,2,7) = k1(1,2,-1) + k2(6,4,2) (9,2,7) = k1+6k2, 2k1+4k2, -k1+2k2 k1 + 6k2 = 9; 2k1 + 4k2 = 2; -k1 + 2k2 = 7 → k1=-3; k2=2 Maka w = -3u + 2v Contoh 2 • Vektoru = (1,2,-1) danv = (6,4,2) • Tunjukkanbahwa • w=(9,2,7): kombinasi linear dariudanv • w´=(4,-1,8): bukankombinasi linear

20. Rentangan (spanning) • Jika v1, v2,, vr adalah vektor dalam ruang vektor V, maka • Himpunan W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr adalah subruang V • W adalah subruang terkecil dalam V yang berisi v1,v2,, vr • Jika S = {v1, v2,, vr} adalah himpunan vektor dalam ruang vektor V, maka • Subruang W dari seluruh kombinasi linear v1, v2,, vr disebut ruang yang direntang oleh vektor tersebut • W= span (S) atau W= span {v1, v2,, vr}

21. span{v1, v2} z span{v} z k1v1+ k2v2 k2v2 kv v2 v k1v1 v1 y y x x • Jika v1dan v2 adalah vektor di R3 dengan titik awal pada origin • Span{v1, v2} yang berisi seluruh kombinasi linear k1v1 + k2v2: bidang melalui origin yang ditentukan oleh v1 dan v2 • Jika v merupakan vektor di R2 atau R3 • Span{v} yang berupa seluruh perkalian kv: garis yang ditentukan oleh v

22. Tentukanvektorsemub=(b1,b2,b3) sebagaikombinasi linear b = k1v1+ k2v2 + k3v3 (b1,b2,b3) = k1(1,1,2) + k2(1,0,1)+k3(2,1,3) k1 + k2 + 2k3 = b1 k1 + k3 = b2 2k1 + k2 + 3k3 = b3 Sistem linear konsisteniffmatrikskoefisienAdapatdiinverskan det(A)=0 → Atidakdapatdiinverskan v1, v2danv3tidakdapatmerentangpadaR3 Contoh 3 • Tunjukkan bahwa v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1), v3 = (2,1,3) merentang ruang vektor pada R3

23. Kebebasan linear • Himpunan vektor S = {v1, v2, , vr} • Persamaan vektor • k1v1+ k2v2 +  +krvr = 0 • Jika hanya ada satu solusi • k1= 0, k2 = 0, ,kr = 0 • S adalah himpunan bebas linier (linearly independent) • Jika ada solusi yang lain • S disebut himpunan takbebas linear

24. Persamaan vektor dalam komponen k1v1+ k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, -2,3) + k2(5,6, -1)+k3(3,2,1)=(0,0,0) (k1+5k2+3k3, –2k1+6k2+2k3, 3k1– k2 +k3)= (0,0,0) Persamaan untuk tiap komponen k1 + 5k2 + 3k3 = 0 – 2k1 + 6k2 + 2k3 = 0 3k1 – k2 + k3 = 0 Contoh 4 • Tunjukkan bahwa v1 = (1, -2,3), v2 = (5,6,-1), v3 = (3,2,1) membentuk himpunan bebas linear atau tak bebas linear

25. Solusi sistem k1= t/2;k2 = -t/2;k3 = t Solusi nontrivial v1, v2 dan v3: himpunan takbebas linear Eksistensi solusi nontrivial Determinan matriks koefisien sama dengan nol Matrik tsb tidak dapat diinverskan Contoh 4 (cont.)

26. z z z z z z v1 v2 v3 v3 v1 v1 v2 v1 v2 v2 v2 y y y y y y v2 v3 v1 v1 x x x x x x (c) bebas linier (b) takbebas linier (a) takbebas linier (c) bebas linier (a) takbebas linier (b) takbebas linier Interpretasi geometri dari kebebasan linear

27. Basis • Definisi: • Jika V adalah ruang vektor • S = {v1, v2, , vn}: himpunan vektor dalam V • S disebut basis untuk V jika memenuhi kondisi berikut • S adalah bebas linear • S merentang V (S spans V) • Teorema: • Jika S = {v1, v2, , vn}: basis untuk ruang vektor V • Tiap vektor v dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S dalam satu cara saja

28. Basis • Bukti: • v = c1v1+ c2v2+ + cnvn • dan • v = k1v1+ k2v2+ + knvn • Kurangkan kedua persamaan • 0 = (c1– k1)v1+ (c2 – k2)v2+ + (cn – kn)vn • Solusi: c1= k1, c2 = k2,  , cn = kn • Kedua ekspresi untuk v adalah sama

29. Dimensi • Definisi: • Ruang vektor tak nol V disebut dimensi berhingga • Bila V berisi himpunan vektor-vektor berhingga{v1, v2, , vn} yang membentuk sebuah basis • Jika tidak terdapat himpunan vektor tersebut, V disebut dimensi tak berhingga • Teorema: • Jika V adalah ruang vektor dimensi berhingga dan {v1, v2, , vn} merupakan basis • Tiap himpunan yang memiliki vektor > n takbebas linear • Himpunan vektor < n tidak dapat merentang V

30. Dimensi • Catatan: • Bila S ={v1, v2, , vn} adalah basis untuk V • Seluruh basis untuk V memiliki jumlah vektor yang sama dengan basis S • Basis untuk Rn memiliki n vektor • Basis untuk R3 memiliki 3 vektor • Basis untuk R2 memiliki 2 vektor • Basis untuk R1 memiliki 1 vektor • Jumlah vektor dalam basis = jumlah dari dimensi

31. Tentukan basis dan dimensi untuk solusi ruang sistem homogen berikut: 2x1 + 2x2 – x3 + x5 = 0 – x1 – x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0 x1 + x2 – 2x3 – x5 = 0 x3 + x4 + x5 = 0 Contoh 5

32. Augmented matriks: • Reduksi eselon baris: • Bentuk reduksi dalam persamaan: • x1+ x2+ x5 = 0 • x3+ x5 = 0 • x4 = 0

33. Solusi: • x1 = –s –t; x2 = s; x3 = –t; x4 =0; x5 = t; • Dalam bentuk vektor:

34. Vektor yang merentang ruang solusi: • Vektor v1, v2: bebas linear • {v1, v2}: basis • Ruang solusi: dua dimensi

35. Ruang baris, kolom dan nul • Jika A matriks m×n: • subruang Rn direntang oleh vektor baris disebut ruang baris dari A • subruang Rm direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom dari A • ruang solusi dari sistem homogen dari persamaan Ax = 0 yang merupakan subruang Rn disebut ruang nul dari A • Teorema: • Sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten iff b merupakan ruang kolom dari A

36. Tunjukkan bahwa b merupakan ruang kolom dari A dan ekspresikan b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom matriks A: Contoh 6

37. Solusi sistem: x1 = 2; x2 = – 1; x3 = 3 Sistem konsisten b merupakan ruang kolom A Ekspresi b sebagai kombinasi linear vektor kolom matriks A Contoh 6 (cont.)

38. Basis untuk ruang baris, kolom dan nul • Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nul dan ruang baris dari matriks • Jika matriks R merupakan matriks hasil reduksi baris: • Vektor baris dengan leading 1 (baris tak nol)  basis untuk ruang baris • Vektor kolom dengan leading 1  basis untuk ruang kolom

39. Matriks: Contoh 7 • Basis untuk ruang baris: • Basis untuk ruang kolom:

40. Rank dan nullity • Rank: dimensi dari ruang baris dan ruang kolom • Notasi: rank(A) • Nulitas(nullity): dimensi dari ruang nul • Notasi: nullity(A) • rank(A)=dim(ruang baris A)=dim(ruang kolom AT) • rank(A) + nullity(A) = n • Jumlah var. leading + jumlah var. bebas = n

41. Nilai maksimum dari rank • Jika A matriks m×n: • rank(A) = jumlah var. leading dalam solusi Ax = 0 • nullity(A) = jumlah parameter dalam solusi Ax = 0 • Vektor baris terletak pada Rn ruang baris berdimensi n • Vektor kolom terletak pada Rm ruang kolom dimensi m • Ruang baris = ruang kolom • mn, rank(A) = nilai terkecil antara m dan n • Nilai maksimum rank: • rank(A)  min(m,n)