§6 ． 1 平面图形的面积

1. §6．1 平面图形的面积 一、定积分的元素法 二、在直角坐标情形下求图形的面积 三、在极坐标情形下求图形的面积

2. 是以[a，b]为底的曲边梯形的面积． y A f (x)dx O a b x 一、 定积分的元素法 设yf (x)0 (x[a，b])．

3. A= f(x)dx 是以[a，b]为底的曲边梯形的面积． A(x) f (t)dt是以[a，x]为底的曲边梯形的面积． y A(x) f (t)dt O x x x x x x x a b x 一、 定积分的元素法 设yf (x)0 (x[a，b])．

4. 以dx为宽的曲边梯形面积为： DA ． A f (x)dx y A(x) f (t)dt O x x+dx a b x 曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx， 点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx． DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx)． f (x)dx称为曲边梯形的面积元素． 以[a，b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为 被积表达式，以[a，b]为积分区间的定积分：

5. U  u(x)dx． 一般情况下，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间[a，b]上的 函数U(x)，再求这一量在[a，b]上的元素 dU(x)， 设dU(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a，b]为积分区 间求定积分即得 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)．

6. A= [f上(x)-f下(x)]dx． y y=f上(x) y=f下(x) O x x x+dx a b 二、在直角坐标情形下求图形的面积 求由曲线y=f上(x)、 y=f下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积． 面积元素为： [f上(x)-f下(x)]dx． 所求图形的面积为：

7. y y a b y=f上(x) x d x=f左( y) x=f右( y) A1 O A3 y=f下(x) y c y=f上(x) O A1=A2= [f上(x)-f下(x)]dx． x A2 O a b x A3 = [f右(x)-f左(x)]dx． y=f下(x) 讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？

8. A=f上(x)dx - f下(x)]dx． y y=f下(x) O x 求由曲线y=f上(x)、 y=f下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积： 所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差 y=f上(x) y=f下(x) a b

9. DA  ( x 2)dx， y y2x 1 dA = ( x 2)dx， yx 2 以( x 2)dx为被积表达式， 0 1 x x x+dx 例1计算由两条抛物线：y2x、yx 2所围成的图形的面积． 解 在区间[0, 1]上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记 为A(x)， 直线平移dx后所产生的面积的改变量近似为 于是面积元素为 以[0, 1]为积分区间求定积分 A(x) 得所求的图形面积

10. DA  (y  4  y2)dy， dA = (y  4  y2)dy， 例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积． 求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)． 画图． 解 将图形向y 轴投影得区间[2，4]． A(y)为区间[2，4]上过y点且垂直于y轴的直线下侧的面积． 直线平移dy后所产生的面积的改变量近似为 于是面积元素为 所求的图形面积为

11. 4 2 0 2 4 6 8 x -2 y2=2x (8, 4) y=x-4 (2, -2)

12. y b y xa cos t， a O dx 椭圆的参数方程为: x yb sin t， 解 设椭圆在第一象限的面积为A1， 则椭圆的面积为A4A1． 第一象限的部分椭圆在x轴上的投影区间为[0，a]． 因为面积元素为ydx， 所以 于是 A4A1 ab．

13. r ()  +d    x O 三、在极坐标情形下求图形的面积 • 曲边扇形及曲边扇形的面积元素： 由曲线r()及射线，围成的图形称为曲边扇形． • 曲边扇形的面积元素： • 曲边扇形的面积为

14. O x 例4 计算阿基米德螺线ra (a >0)上相应于从0变到2的 一段弧与极轴所围成的图形的面积． 解  2pa ra d

15. O x 例5 计算心形线ra(1cos) (a>0) 所围成的图形的面积． 解 dq ra(1cos) 2a )q