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EE-240/2009 Proportional Hazards Model

EE-240/2009 Proportional Hazards Model. Proportional Hazards Model. Informações da População. p (t). p (t). t. t. T . 0. 0. t. t. =1. =1. =2. =2. =n-1. =n-1. =n. =n. Informações da População. x 2 = f ON-OFF. 0. 0. t. t. x 1 = T. =1. =1. =2. =2.

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EE-240/2009 Proportional Hazards Model

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  1. EE-240/2009 Proportional Hazards Model

  2. Proportional Hazards Model

  3. Informações da População p (t) p (t) t t T 0 0 t t =1 =1 =2 =2 =n-1 =n-1 =n =n

  4. Informações da População x2 = fON-OFF 0 0 t t x1 = T =1 =1 =2 =2 =n-1 =n-1 =n =n

  5. Hazard em Proporção Constante para Qualquer t

  6. Risk Set: R1 = {1,2,3,4,5,6} R2 = {2,3,4} R3 = {3,4} R4 = {4} Seja t1 < t2 < ... < tk Ri = conjunto de componentes sobreviventes até ti- Exemplo:

  7. P(componente x = xj falhar em tj | algum componente de Rj falhar em tj) = P(componente x = xj falhar em tj ) = P(algum componente de Rj falhar em tj) P(componente j falhar em tj | algum componente de Rj falhar em tj) = ? j havia sobrevivido até t falhar em t

  8.  = 0.068

  9. Relação com Tempo de Falha Acelerada

  10. dR ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) l = - = l 0 t a x t a x a x a x t x 0 dt Em modelos com tempo de falha acelerada os covariates x atuam diretamente sobre a escala de tempo: Tempo de falha ti associado com xi

  11. Exemplo de Aplicação Modelo de Riscos Proporcionais

  12. 0 0 t t x1 = T =1 560 =1 =2 830 =2 =n-1 =n-1 580 =n =n 290 Exemplo

  13. 0 t x1 = T 560 =1 830 =2 =n-1 580 =n 290 Exemplo Ordenado

  14. Dados Censurados Conjunto sob Risco

  15.  = 0.068 Maximização de L(): Método Gráfico

  16. Exemplo: Componentes sujeitos a Ciclos de Temperatura

  17. Como contar ciclos? Temp t

  18. Rainflow Counting y t

  19. y t Rainflow Counting

  20. Rainflow Counting 10 

  21. Rainflow Counting 10  5 

  22. Rainflow Counting 10  5  5 

  23. Rainflow Counting 10  5  5  10 

  24. Rainflow Counting 10  5  5  10  7 

  25. Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6 

  26. Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6  9 

  27. Rainflow Counting 10  5  5  10  7  6  9  9 

  28. Rainflow Counting Num ciclos 10  5  5  10  Amplitude dos Ciclos 7  6  9 10 5 9  9  ni ciclos de amplitude i observados Ni ciclos de amplitude i até falha Miner's Rule Falha esperada se degradação = 1

  29. x1 = fciclos 0 t x2 = T =1 1 = 0.080 2 = 0.002 0(t) = 1.000 =2 =n-1 =n Exemplo: Transistor sujeito a Ciclos de Temperatura

  30. x1 x2 tf 4.2306 89.2317 0.0048 6.8886 72.0119 0.0315 2.6111 38.8399 0.0813 6.8938 76.0953 0.0956 7.9026 33.1328 0.1225 2.0328 6.8882 0.1869 5.1552 89.4266 0.2455 3.0149 18.0024 0.2530 4.3336 9.8591 0.2664 3.6429 61.5732 0.3403 5.9924 20.8155 0.3917 7.6678 24.4291 0.4065 4.8371 84.4551 0.4382 0.0822 58.1682 0.5185 1.5801 74.4378 0.5431 x1 x2 tf 0.7944 12.3874 0.5682 7.7666 10.4694 0.5849 6.8524 97.3821 0.6050 2.6404 99.4168 0.6327 6.4964 4.1755 0.6453 3.7506 64.4742 0.7492 3.6956 38.3876 0.7518 4.0088 34.0689 0.7793 0.9710 39.1862 0.8369 1.7397 92.1909 0.9740 7.8625 86.9611 1.1034 8.9069 23.8137 1.1754 1.9242 23.3173 1.2395 5.2769 34.1514 1.6436 0.2712 32.0848 2.7048

  31. Método da Maximização da Verossimilhança (log) >> x=fminsearch(@neglogpartlikelihood,[0.09 ; 0.002]) x = 0.0892 0.0033

  32. function [L]=neglogpartlikelihood(beta) % Número de componentes N = 30; table = [2.2974 49.5063 2.6412 6.4795 40.0443 0.1454 ... 3.0467 81.7767 0.1391]; % Ordenar por instantes de falha tables=sortrows(table,3); % Calcula Somatoria de beta’*x bex=0; for kk=1:N bex=bex + beta(1)*tables(kk,1)+beta(2)*tables(kk,2); end % Calcular Somatoria de beta’*x para R(kk) somat(N+1)=0.; for kk=N:-1:1 somat(kk)=somat(kk+1)+ exp(beta(1)*tables(kk,1)+beta(2)*tables(kk,2)); end L = -bex + sum(log(somat(1:N)));

  33. log L() [ x10-2 ] beta1 9.4 beta2 [ x 10-3 ] 2.9 8.0 2.0 Método Gráfico

  34. Exemplo: Rolamento 20 rolamentos em ambiente limpo  x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } 20 rolamentos em ambiente com partículas abrasivas  x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  35. x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  36. x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  37. x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  38. x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  39. x = 0: tf = { 1 3 3 6 7 7 10 12 14 15 18 19 22 26 28+ 29 34 40 48+ 49+ } x = 1: tf = { 1 1 2 2 3 4 5 8 8 9 11 12 14 16 18 21 27+ 31 38+ 44 }

  40. Visualização Gráfica

  41. Muito Obrigado!

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