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§ 4. 1 Desargues 定理

§ 4. 1 Desargues 定理. 一、 Desargues 定理(代沙格定理). 1、两个三点形的对应关系. 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有 透视中心 ，透视中心也称为 Desargues 点. 若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有 透视轴 ，透视轴也称为 Desargues 线. 请问你是怎样画出这两个图的？. 问题. 画图过程演示. 一、 Desargues 定理. 2、 Desargues 定理. 定理. ( Desargues 定理及其逆定理).

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§ 4. 1 Desargues 定理

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  1. §4. 1 Desargues定理 一、Desargues定理(代沙格定理) 1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，则称这对对应三点形具有透视中心，透视中心也称为Desargues 点. 若两个三点形对应边的交点共线，则称这对对应三点形具有透视轴，透视轴也称为Desargues 线. 请问你是怎样画出这两个图的？ 问题

  2. 画图过程演示

  3. 一、Desargues定理 2、Desargues定理 定理 (Desargues定理及其逆定理) 证明：1.对于两个对应三点 行，存在透视中心 存在透视轴 纳闷 这张美丽的图是如何画的？

  4. 证明：以A、B、C 、 、 、 既表示点，又表示这些点的 坐标矢量。设三直线A 、B 、C 的公共点为O, 、A、 O三点共线，所以O点的坐标矢量O一定可表示为A和 的线性 组合： （ 表示组合系数） 同样有： 比较这三式，得：

  5. （1）式 由左端观察表示两点 与 联线上的一点，由右端观之，它代表两点 、 联线上的一点。 所以它代表直线 与 的交点X。其余依次类推，（2）式 表示直线 与 的交点Y，（3）式表示直线 与直线 的交点Z。由于X、Y、Z三点的坐标矢量间有明显的线性关系式： X+Y+Z=0 三点X、Y、Z共一直线

  6. Desargues定理画图过程演示 注1、Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题. 注2、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形.

  7. 2、Desargues定理 注3、关于Desargues构图. 左图表示了一对透视的三点形ABC, A'B'C'. 左图中共有十个点、十条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点. 这十点、十线地位平等，此图称为Desargues构图.

  8. 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z即可. 证明:由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母A,B,C,D,E,F.由代沙格定理有:

  9. 二、应用举例 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点. 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P', Q', 设P'Q', PQ交于C.只要证明A, B, C三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需. 思考: 条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！

  10. 二、应用举例 例3 已知完全四点形PRQS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC×RQ, B1=AC×RP, C1=AB×PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线. 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而他们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线. 引申：同理可证

  11. 二、应用举例 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的定直线上的动点, AP×BC=X, AC×BP=Y. 求证：XY经过定点. 证明：设动点P的另一个位置为P', 依题意作图, 得交点X', Y'. 考察三点形AXX'与BYY', 因为其对应边的交点P, C, P'共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, X'Y'共点, 此点为AB上的定点. 思考： 考察三点形PXY与P'X'Y'进行证明. 2、不可及点的作图问题

  12. 二、应用举例 2、不可及点的作图问题 例5. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点a×b, 过P求作直线c, 使c经过a×b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3×B1B3, Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即c=PQ经过a, b的交点.

  13. 作业: • 课本66页第1,2,4,5题.

  14. §4.2完全四点（角）形与完全四 线（边）形 定理1：平面内无三点共线的四点及其两两联线所构成的图形称为完全四点形（完全四角形），它的代号是： A F Q B D E 顶点：A，B，C，D。边：AB，AD，BD，AC，BC，DC。对应点：P，Q，R C P R 图（1） 对角三角形： 图形含四点及六直线，每一点称为顶点，每一直线称为边。不过同一顶点的两边称为对边，六边称为三对。每一对对边的交点称为对边点（对角点）。三个对边点构成的三角形称为对角三角形。 定理2：平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形称为完全四线形（完全四边形），它的代号是：

  15. 代号: a 四直线，六个顶点 r d b 对角三角形 p c 图（2） q 图形含四直线及六点，每一直线称为边，每一点称为顶点，不在同一边上的两个顶点称为对顶，六个顶点分为三对。每一对对顶的联线称为对定线（对角线）。三条对顶线构成的三角形称为对角三角形。 完全四点形的调和性质：完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这对对角点的两边和对角三角形的两条边。 证明：如上图（1）延长PQ交AR于点F，已知A，B，C，D为完全四点形的四个顶点，P，Q，R为对角点，PQ交BC于点E 则有：

  16. = = 同理可证： 完全四线形的调和性质：完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列。即这直线上的两个顶点和对角三角形的两个顶点 证明：设AB，QS，RT为完全四线形的三条对角线，

  17. 而 将导致四点A，B，C，D中有某两点重合与情况不合 同理可得另外两组调和点列 可以用定理1来证明定理2，也可以用定理2来证明定理1 例1：已知共线三点A，B，C，求作点D使（AB，CD）=-1 作法：过C点任作一直线L，L与A，B，C所在直线不同 在其上任取 与C不同的两点Q，S，作R= 则D为所求 证明：如图：四点形RSTQ为完全四点形，由定理可得 故D为所求

  18. 代沙格对合定理： 定理3： 完全四点形的三双对边，被不通过任一顶点的一直线所截, 所得三个点偶,是一个对合对应中的三个点偶. 代沙格对合定理的对偶定理: 定理4： 完全四线形的三双对顶，与不在任一边上的一点相连,所得 三个线偶,是一个对合对应中的三个线偶. 作业: • 课本66页第6,7,8题.

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