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第六节 高 斯 公 式 通量与散度

第六节 高 斯 公 式 通量与散度. 高斯公式 1. 定理 : 设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭 曲面 Σ 所围成 , 函数 P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在 Ω 上具有一阶连续偏导数 . 则有 :. 此时 ,Σ 是 Ω 的整个边界曲面的外侧 ,cosα,cosβ ,cosγ 是 Σ 上点 (x,y,z) 处的法向量的方向余弦 , 以 上二式称为高斯公式 . 注意 : 高斯公式表达了空间 区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之 间的关系 . 证明 : 现在我们只要证第一式即可 , 因为 一 , 二式右端相等 , 把第一式分为三式 :.

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第六节 高 斯 公 式 通量与散度

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  1. 第六节 高 斯 公 式通量与散度 • 高斯公式 • 1.定理: 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭 • 曲面Σ所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在 • Ω上具有一阶连续偏导数.则有:

  2. 此时,Σ是Ω的整个边界曲面的外侧,cosα,cosβ ,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,以 上二式称为高斯公式.注意: 高斯公式表达了空间 区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之 间的关系.证明:现在我们只要证第一式即可,因为 一,二式右端相等,把第一式分为三式:

  3. Σ2:z=z2(x,y) z Σ3 Ω Σ1:z=z1(x,y) y Dxy x 现在证(3)

  4. 条件: (1)设闭区域Ω在xoy平面上的投影区域为Dxy: (2)设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的 边界曲面Σ的交点恰好是两个; (3)Σ=Σ1+ Σ2+ Σ3Σ1方程 z=z1(x,y) Σ2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)≤z2(x,y) (4) Σ1取下侧, Σ2取上侧面, Σ3是以Dxy 的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面 上的一部分,取外侧面.

  5. Σ2:z=z2(x,y) z Σ3 Ω Σ1:z=z1(x,y) y Dxy x 则(3)式左边: (简写) (3)式右边:

  6. 以上三式相加,有 故(3)式成立,有

  7. 对于(1)与(2)式,同样可得: 如果穿过Ω内部,且平行于x轴的直线与Ω的边界曲面 Σ的交点恰好为两个.有: 成立 如果穿过Ω内部,且平行于y轴的直线与Ω的边界曲面Σ 的交点恰好为两个.有: 成立

  8. (1),(2),(3)式两端分别相加,即: 即高斯公式 2. 对Ω不作限制时高斯公式仍然成立: 即穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Ω的边界 曲面交点多于两个,可引辅助面把Ω分成有限个闭区域, 使得每个闭区域满足条件

  9. 并可见沿辅助面相反两侧面的两个曲面积分 的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消, 因而高斯公式仍然成立. 例1 利用高斯公式计算曲面积分: z 其中Σ为柱面x2+y2=1及平面 z=0,z=3所围成的空间闭区域 Ω的整个边界曲面的外侧面. 解:因为由已知:P=(y-z)x, Q=0, R=x-y y o x

  10. 柱面坐 标计算

  11. z y x 例2 利用高斯公式计算曲面积分 其中Σ为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h>0)之间的 部分的下侧,cosα,cosβ,cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦. 解:加辅助面Σ1:z = h(x2+y2≤h2) 的上侧面 Σ+Σ1构成一个封闭曲面,才能应用高斯公式. 记Σ+Σ1围成的空间闭区域为Ω. 用高斯公式:

  12. 所以

  13. 所以

  14. 二. 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 现在我们研究在怎样的条件下,曲面积分 与曲面Σ无关而取决于Σ的边界曲线?这问题 相当于在怎样 的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零?这问题可用 高斯公式来解决. 先介绍空间二维单连通区域及一维单连通区域 的概念.对空间区域G 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是 空间二维单连通区域:如果G内任一闭曲线总可以张一 片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.

  15. 例如球面所围成的区域既是空间二维单连通的,例如球面所围成的区域既是空间二维单连通的, 又是空间一维单连通的;环面所围成的区域是空 间二维单连通的,但不是空间一维单连通的;两个 同心球面之间的区域是空间一维单连通的,但不 是空间二维单连通的.对于沿任意闭曲面的曲面 积分为零的条件,我们有以下结论:

  16. 定理2 设G是空间二维单连通区域,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则曲面积分 在G内与所取的曲面Σ无关而只取决于Σ的边界曲线(或沿G内任一 闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是 在G内恒成立

  17. 证明:若等式(4)在G内恒成立,则由高斯公式(1)立即看出沿G内任意闭曲面的曲面积分为零,因此条件(4)是充分的.反之,设沿G内的任一闭曲面的曲面积分为零,若等式(4)在G内不恒成立,就是说在G内至少有一点M0使得证明:若等式(4)在G内恒成立,则由高斯公式(1)立即看出沿G内任意闭曲面的曲面积分为零,因此条件(4)是充分的.反之,设沿G内的任一闭曲面的曲面积分为零,若等式(4)在G内不恒成立,就是说在G内至少有一点M0使得 按P146平面上曲线积分与路径无关的条件用的方法,可得到G内存在着闭曲面使沿该闭曲面的曲面积分不等于零,这与假设有矛盾因此条件(4)是必要的.

  18. 例3 计算 其中Σ为x2+y2+z2=1, (z≥0)的上侧面 分析: 由于 所以沿Σ的曲面积分与沿xoy平面的平面区域 x2+y2=1 (z=0) 的上侧的曲面积分相同,故

  19. 若在G内 则曲面积分在G 内与所取曲面无关,而只取决 于Σ的边界曲线

  20. 三.通量与散度 下面来解释高斯公式 的物理意义. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1的)的速度场由 (1)

  21. 给出,其中P,Q,R假定具有一阶连续偏导数,Σ是速度场中一片有向曲面,又 n=cosαi+cosβj+cosγk 是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量,则由P160知道,单位时间内流体经过Σ流向指定侧的流体总质量Φ可用曲面积分来表示: 表流体的速度向量v在有向曲面

  22. Σ的法向量上的投影,如果Σ是高斯公式(1)中闭区域Ω的边界曲面的外侧,那么公式(1)的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量,由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此在流体离开Ω的同时,Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在Ω内的“源头“在单位时间内所产生的流体的总质量.为了简便起见,把高斯公式(1)改写为Σ的法向量上的投影,如果Σ是高斯公式(1)中闭区域Ω的边界曲面的外侧,那么公式(1)的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量,由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此在流体离开Ω的同时,Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在Ω内的“源头“在单位时间内所产生的流体的总质量.为了简便起见,把高斯公式(1)改写为

  23. 以闭区域Ω的体积V除上式两端,得到 上式左端表示Ω内的源头在单位时间单位体积内所产生的 流体质量的平均值.应用积分中值定理于上式左端,得到

  24. 这里的(ξ,η,ζ)是Ω内的某个点,令Ω缩向一点M(x,y,z),这里的(ξ,η,ζ)是Ω内的某个点,令Ω缩向一点M(x,y,z), 取上式的极限,得到 上式的左端称为v在点M的散度,记作divv,即 divv在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的 源头强度---在单位时间单位体积内所产生的流体质量.

  25. 如果divv为负,表示点M处流体在消失. 一般地,设某向量场由 给出,其中P,Q,R具有一阶连续导数,Σ是场内的一片 有向曲面,n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量,则 叫做向量场 A通过曲面Σ向着指定侧的通量(或流量) 而 叫做向量场A的散度,记作divA,即 高斯公式现在可写成

  26. 其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面,而 是向量A在曲面Σ的外侧法向量上的投影. 散度的物理意义是单位时间内,质点流出的流量.

  27. 高斯公式 其中Σ是闭区域Ω的边界曲面的外侧面. 应用高斯公式时容易出的错误: (1)p,Q,R的函数如何确定,它对什么变量求导. p是dydz前面的函数,dydz (缺少x),故p对x求偏导, 即缺少什么的函数对缺少的求导. (2)在不满足高斯公式的条件下,应用高斯公式计算. 高斯公式要求积分曲面是光滑的闭曲面.若它不是封 闭的,则可加一块使它封闭.再减去在加的一块曲面上的积分

  28. 高斯公式另一要求是在封闭的区域内具有一阶连续的偏导数.如果在闭曲面内有奇点,则可在奇点周围取另一闭曲面,在两个曲面内可应用高斯公式,再减去在加的一块曲面上的积分.高斯公式另一要求是在封闭的区域内具有一阶连续的偏导数.如果在闭曲面内有奇点,则可在奇点周围取另一闭曲面,在两个曲面内可应用高斯公式,再减去在加的一块曲面上的积分. (3)忽略了Σ的取向,要求是边界曲面的外侧.如果是内侧,则曲面积分为负的.

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