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圆周运动

圆周运动. 切向和法向加速度. v. v. e. =. t. o. e. e. ：轨迹切向，指向前 进 方向。. t. v. e. n. t. ：轨迹法向，指向曲线凹侧. e. e. e. P. n. n. t. ， 为单位矢量. 1 、 圆周运动. 三、. 设一质点作圆周运动，. 半径为 R ，速率为 v. 取自然坐标：. 则：. 2 、切向和法向加速度. e. ´. d. e. v. v. e. =. t. t. t. e. ´. t. e. t. (. ). e. o. R.

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  1. 圆周运动

  2. 切向和法向加速度 v v e = t o e e ：轨迹切向，指向前进方向。 t v e n t ：轨迹法向，指向曲线凹侧 e e e P n n t ， 为单位矢量 1、圆周运动 三、 设一质点作圆周运动， 半径为 R，速率为 v . 取自然坐标： 则：

  3. 2、切向和法向加速度 e ´ d e v v e = t t t e ´ t e t ( ) e o R t d q v e d s e e 1 n = = t n P = - e d e ´ e d d e e e e d t d v d e t t t t n t a v v e e t = = + ∵ ∵ t t d d d 垂直于 t 并指向圆心 t t ∴ d e d q e = d q q d 与 = 方向一致 ∴ t n e d q d e = t t

  4. o e e t n a a t n ( ) d q d s d v 2 P v e a e = + n t R d t d v 切向加速度 a = d e d q e = t d t t n 法向加速度 1 s d e d q d q d R v 2 v e t e e e = = = = a = n n n n R R R d d d d t t t t n R

  5. d v 2 v e a e = + n t R d t A. 的产生是由于 的产生是由于 e a a a a e = + n t n t t n 速度 大小的变化。 v 方向的变化。 速度 v a a a = 2 2 + t n 匀速圆周运动中 加速度为 2 v R 讨论:

  6. v 并不一定指向圆心， B.一般加速度 a d v 0 质点减速 < d t θ a n 与 a 成钝角 v a a t d v 0 质点加速 > d t v a θ 与 成锐角 a v a a n t 但一定指向曲线凹侧。

  7. a v t 指向前进方向 d v a = t d t 指向曲线凹侧 ρ v a 2 = a n ρ n o 3 y 1 + ) ( ´ 2 ρ = ρ 曲率半径 y ´ ´ C.对于任意曲线运动

  8. §4 、运动的角参量 t Δ t + . . B t Dq A Δ θ 2 .角位移 θ Δ = qB - qA o q x θ Δ ω = 平均角速度 Δ t 一、角量 1. 角位置， θ ( rad ) 位矢与x 轴之间的夹角。 角位置的增量。 3. 角速度， ω 单位时间内的角位移。 ( rad/s )

  9. ω Δ b = Δ t ω ω θ 2 d d Δ lim b = = = Δ t t t d d 2 t Δ 0 θ θ d Δ ω lim = = Δ t d t t Δ 0 瞬时角速度 4. 角加速度 b (rad.s-2) 平均角加速度 瞬时角加速度

  10. θ θ ω = t + 0 0 1 θ θ ω 2 = t b t x θ + + ~ 2 0 0 ω ω ω = b v ~ t + 0 ω ω a ~ b 2 b θ θ 2 2 = + ( ) 0 0 匀速圆周运动的运动方程 匀变速圆周运动的运动方程

  11. 二. 线量和角量的关系 ω v Δ R Δ = R ω Δ v Δ s Δ lim θ ω lim d R Δ Δ s R = = θ R Δ = Δ t t Δ t t t d Δ Δ 0 0 Δ θ s Δ v = lim lim ω R R = = Δ t t Δ t t Δ Δ 0 0 ω = v R a = t b R =

  12. v ω 2 R 2 2 ω ω = a v R R = = 2 = n R R v b 2 ω a R a = R = = 2 t n R 线量和角量的关系

  13. 、运动的迭加原理 y v0t 1 gt2 2 x x v cos t = + θ { 0 0 r0 1 v0 y y v sin t gt q θ 2 = + 2 0 0 r = x ( t ) i + y (t ) j x 0 1 r = (x0 + v0cos t )i+ (y0 + v0sin t- gt2 ) j θ θ 2 1 1 = (x0 i+ y0j ) + (v0cos i+ v0sin j )t- gt2 j θ θ 2 2 = r0 + v0t + gt2 §5 例:抛体运动 一般曲线运动研究可直线运动研究。

  14. 1 r = (x0 + v0cos t )i+ (y0 + v0sin t- gt 2) j θ θ 2 1 2 = r0 + v0t + gt 2 运动的迭加原理 一个运动可看成几个各自独立的运动 迭加而成

  15. [例1] d w b = 2 b = d q dt ω = c t = 2 b dt a w 2 c t ) = = ( 2 b R 2 R n a b R 2 b = = R t 已知：圆周运动，半径 R， 方程为：θ= ct-b t 2, c 和 b 常数。 求：切向加速度和法向加速度。 解：

  16. [例2] d x v = d t B x O M C (h tgwt ) h d q = d t d v A = = h w sec2wt i d t a v = 2h w2cos-2wt tgwt i p47-1-13 杆AB 绕 A点以匀角速 w转动，已知 OA=h ,q0 = 0 求：M点的速度与加速度。 解： x = h tgq = h tgwt

  17. [例3] h l d x h b l ( x b ), v = , = = + x b b 0 + d t d b d ( x b ) + h l = d t d t d x d b l l = + d t d t h l d b l v = b x 0 d t h l 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度； （2）影子长度增长的速率。 解： 影子长度增长速率为：

  18. h b l ( x b ) = + d b l v = 0 d t h l . . h h . d b d ( x b ) + v = = 0 l h l d t d t h l b x 所以人影头顶移动速度为：

  19. [例4] 一质点在 XY 平面上运动，运动方程为 x = 2t , y = 19 - 2t2 ( x,y的单位为米，t 的单位为秒)。 求(1) 质点运动的轨迹方程； (2) 1秒到2秒之间的平均速度和平均加速度； (3) 1秒时的瞬时速度和瞬时加速度。 (4)1秒时的切向加速度，法向加速度和曲率半径。

  20. x x2 解： ∵x = 2t ， ∴t = 2 2 r Δ = x i + y j v = Δ Δ Δ t = 19 － = 2 i 6 j (m) r1 = x1i + y1 j = 2i+17j (m) r2 = x2i + y2 j = 4i+11j (ｍs-1) ∴质点运动的轨迹方程为： y =19 －2t2 质点的位置矢量为： 1秒到2秒之间的平均速度为：

  21. v Δ dr dr a = = 4 j Δ t dt dt v = v = (ms-1) = 2 i 4 t j (ms-1) (ms-2) v = 4 t j Δ Δ = 2 i 4 t j = 2i 4j (ms-1) x = 2t , y = 19 － 2t2 1秒到2秒之间的平均加速度： 1秒时的瞬时速度：

  22. 1秒的瞬时加速度。 dv d 8 5 dv v2 4 5 = 4j (ms-2) dt dt 5 dt an 5 at = = 4 + 16t2 = a = 2 2 (ms-2) an = a－at = 2 2 v = vx+ vy 2 2 = 2 + (4t ) (ms-2) ρ= = 5 5 (m) 1秒时的切向加速度和法向加速度 1秒时的曲率半径：

  23. §6 、相对运动 相对于 设 k k ´ 运动 沿 x 轴以速度 v y y ´ . P k v ´ x x v t = ´ k y y ´ = v t x ´ z z O ´ = x z ´ ´ O x t = t ´ x z ´ 一、伽利略坐标变换 P(x,y,z) P´(x´,y´,z´)

  24. 相对运动 物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系

  25. A AC = AB + BC Dr物对地= Dr物对船+ Dr船对地 Dr物对地 Dr物对船 B C Dr船对地 Dr12 = Dr13 + Dr32 二、相对位移 例：匀速直线运动的船上的一自由落体 写成一般形式：

  26. v r r v v r d d d d d d v12 = a12 = 12 12 13 13 32 + + = = d d d d d d t t t t t t = a13 + a32 = v13 + v32 32 三、相对速度 速度相加原理 四、相对加速度

  27. Dr12 = Dr13 + Dr32 v12 = v13 + v32 a12 = a13+ a32 一般形式： 注意矢量式 解题关键：作矢量图

  28. [例 1] v12 = v13+ v32 v v v v + - v v地车 = = 雨 雨 车 车 雨地 雨 地 车 地 v v 已知： 和 求： v雨车 雨地 车地 v v 雨 地 , 雨 车 , q +v v , v 2 2 车 地 v v v = 地 雨 雨地 车地 雨车 雨地 tgq = v v v 车 地 车 地 车地 作矢量图

  29. v v + v = 风人 风地 地人 v v - v = v 风地 风地 人地 风人 600 300 v 人地 v风人= 2 -3v/2 v 人地 某人骑自行车以速率v向西行驶，今有 风以相同速率从北偏东60o方向吹来，人感到 风从哪个方向吹来？ 解： [例2] 由图可得： 人感到风从 北偏西 15o 方向吹来。 作矢量图

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