Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen Im Rahmen des Seminars „Verteilte und parallele Systeme“ Nial Moore Lehrstuhl für praktische Informatik in der Wirtschaft Prof. Dr. Herbert Kuchen

Gliederung • Einleitung • Differentialgleichungen • Partielle Differentialgleichungen • Diskretisierung • Numerische Lösungsverfahren • Direkte Verfahren • Gauß-Elimination • Iterative Verfahren • Jacobi-Verfahren • Gauß-Seidel-Verfahren • Zusammenfassung

Einleitung • Viele Problemstellungen in FuE lassen mit Hilfe von Simulationen lösen • Beschreibung realer Systeme durch mathematische Modelle • Mathematischen Modelle ermöglichen Simulationen von Zuständen / Ergebnissen • Beispiele: • Klimasimulation • Crashtest Simulation • 3D-CAD Modellierungen

Einleitung • Partielle Differentialgleichungen zur werden oft zur Modellierung herangezogen • Modelle sind recht komplex • Benötigen Unterstützung durch Rechner

Partielle Differentialgleichungen • Differentialgleichungen: • Beschreiben Verhalten realer Systeme • Gesucht: Funktion y, die die Funktion für x = (x1,…,xn) , wobei G Rn erfüllt, dabei sei Dky die k-te Ableitung der Funktion y • y ist stetig und differenzierbar Bsp.: • Beschreibung einer Flugkurve durch eine Parabel

Partielle Differentialgleichungen • Partielle Differentialgleichungen • Mehrdimensional • Von mehreren Variablen abhängig • Komplexe Berechnungen erforderlich • Unterstützung durch Rechner wünschenswert Bsp.: • Modellierung eines Trampolintuchs beim Einsprung • Rechnerunterstützung • Nur bei endlichen Problemen möglich •  Deskritisierung nötig

Diskretisierung • Bsp.: Temperaturverlauf in einem Metallstab stetiges Modell: diskretes Modell: • Einteilung in endlich viele Intervalle • Informationsverlust entsteht • Anzahl der Intervalle bestimmt Höhe des Informationsverlusts • Intervallanzahl regelt Komplexität der entstehenden linearen Gleichungssysteme (LGS)

Diskretisierung • Diskretisierung: • Temperaturen T1 und T2 bekannt • Gesucht sind die Temperaturen x1,…,x4 • Temperaturen x1,…,x4 ergeben sich aus dem Durchschnitt der umgebenden Temperaturen • Entstehendes LGS: +x1 - 0,5x2 = 0,5T1 - 0,5x1 + x2 - 0,5x3 = 0 - 0,5x2 + x3 - 0,5x4 = 0 - 0,5x3 + x4 = 0,5T2 • - Matrixschreibweise Ax = b:

Numerische Lösungsverfahren • Bezeichnet Verfahren, die Lösungen ‚zahlenmäßig‘ herbeiführen • Durch Algorithmen automatisierbar Zwei Verfahrenstypen: • Direkte Verfahren • Exakte Lösungen • Z.B. Gauß-Elimination, zyklische Reduktion • Iterative Verfahren • Erzeugen Folgen von Vektoren • Näherung der exakten Lösung • Z.B. Jacobi-Verfahren, Gauß-Seidel-Verfahren

Gauß-Elimination Vorgehen ausgehend von dem LGS der Form Ax = b: • Schritt 1: LGS transformieren, so dass Matrix A die Form einer oberen Dreieckmatrix annimmt Bsp.:

Gauß-Elimination • Transformation benötigt n-1 Schritte • In jedem Schritt k: und aus und errechnen: • Eliminationsfaktoren l berechnen: • Matrix A(k+1)und Vektor b(k+1)neu berechnen:

Gauß-Elimination • Schritt 2: Durch Rückwärtseinsetzen LGS lösen Bsp.: Rechenvorschrift:

Gauß-Elimination • Problem: • Sollte ein Element der Hauptdiagonalen der Matrix A Null sein bricht der Algorithmus ab (Division durch Null ) • Partielle Pivotisierung • Erfordert mehr Kommunikation/Rechenaufwand

Gauß-Elimination • Sequentielle Implementierung: • 3 ineinander geschachtelte Schleifen Θ(n3) • Parallele Implementierung: • Erfordert wesentlich mehr Kommunikation • Geringer ‚speed-up‘

Gauß-Elimination • Vorteile: • Vorhersagbarkeit der Laufzeit • Vorhersagbarkeit des Speicherbedarfs • exakte Lösung (sofern vorhanden) • Auf jedes LGS anwendbar • Nachteile: • Schlecht parallelisierbar • Bei dünnbesetzten Matrizen entsteht ‚fill-in‘

Iterative Verfahren • Liefern nur Näherungen • Aufbauend auf bereits errechnete Näherungen werden weitere Approximationen errechnet • Verfahren erzeugen Folgen von Vektoren {x(k)}k=1,2,…die gegen die gesuchte Lösung x* konvergieren. • Aufwand der Algorithmen nicht ausschließlich abhängig von der Größe des Systems • Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet

Jacobi-Verfahren • Idee: • Sind alle bekannt, kann durch Einsetzen der errechnet werden , i = 1,…,n , j = 1,…,n • Problem: • Die sind nicht bekannt • Iterativer Ansatz: • Beliebigen Startvektor als vorläufiges Ergebnis betrachten • Vorläufige Ergebnisse der Iteration k zur Errechnung neuer einsetzen • Iterationsvorschrift: • , i = 1,…,n , j = 1,…,n , k = 1,2,…

Jacobi-Verfahren • Abbruchkriterium: • Anzahl an Iterationen - Abbruch ohne Ergebnis • Lösung ist hinreichend genau: Abbruchkriterium: relativer Fehler ||.|| Vektornorm, z.B. ||x|| = max i=1,...,n|xi| oder ||x||2=(ni=1|x|2)½ . • Eigenschaften in Hinblick auf Parallelisierbarkeit • Berechnung der einzelnen xi nur von vorherigen Iteration abhängig • Keine Datenabhängigkeiten innerhalb einer Iteration •  Leicht parallelisierbar

Jacobi-Verfahren • Parallel Implementierung: • Prozessor Pi mit i = 1,…,p speichert n/p Zeilen von A und die dazu gehörigen Werte von b • Möglichkeit Vektor x entweder lokal als auch global gespeichert • Iterationsablauf:

Jacobi-Verfahren • 1. Schritt: Jeder Prozessor Pi hat alle benötigten Daten aus der Approximation x(k) vorliegen und errechnet der Iterationsvorschrift die nächste Aproximation x(k+1) seiner n/p Elemente.

Jacobi-Verfahren • 2. Schritt: Jeder Prozessor sendet seine n/p lokal gespeicherten Elemente des Vektors x(k+1) z.B. mit einer Multibroadcastoperation an die übrigen Prozessoren

Jacobi-Verfahren • 3. Schritt: Abbruchkriterien überprüfen, ggf. Ergebnis ausgeben

Jacobi-Verfahren • Aufwand einer Iteration: • Schritt 1: n/p Werte werden in quadratischer Zeit errechnet  Θ(n2 * (n/p)) • Schritt 2: n/p Werte an p-1 Prozessoren verschicken  Θ((p-1) * (n/p)) • Schritt 3: Ist abhängig vom Abbruchkriterium, z.B. Θ(n), wenn das globale Maximum verglichen wird

Jacobi-Verfahren • Aufwand des Algorithmus: • (Aufwand einer Iteration) * (Iterationsdurchläufe) • Anzahl der Iterationsdurchläufe abhängig vom Gleichungssystem und der Konvergenzrate • Jacobi-Verfahren hat relativ schlechte Konvergenzrate

Gauß-Seidel-Verfahren • Iteratives Verfahren • Gleicher Ansatz wie Jacobi, jedoch: • Innerhalb einer Iteration wird auf die bereits errechneten Werte zurückgegriffen • Dadurch entsteht folgende Iterationsvorschrift • Deutlich bessere Konvergenzrate als das Jacobi-Verfahren • Aber es entstehen Datenabhängigkeiten

Gauß-Seidel-Verfahren • Datenabhängigkeiten

Gauß-Seidel-Verfahren • Gute Anwendbarkeit bei dünnbesetzten Matrizen • Oft bei Modellen die einer Gitterstruktur entsprechen • Bsp.: Temperaturverlauf im Wasserbad • Der Punkt xi,j ist nur von den ihn umgebenden Punkten abhängig: • xi,j = (xi-1,j + xi+1,j + xi,j-1 + xi,j+1)/4

Gauß-Seidel-Verfahren • Bei einem 4x4 Gitter ergibt sich folgendes Bild: • Relative viele Datenabhängigkeiten • Durch Rot-Schwarz-Schema in der Berechnung reduzierbar

Gauß-Seidel-Verfahren • Rot-Schwarz-Schema: • 1. 16 Punkte in rote und schwarze Punkte aufteilen • 2. Punkte so im Gitter angeordnet, dass alle roten Punkte nur schwarze Nachbarn haben und umgekehrt Damit ergibt sich folgende Umordnung:

Gauß-Seidel-Verfahren • Nach der Umordnung: • Damit ergibt sich der Iterationsschritt: • In Vektorschreibweise: Somit ist nur noch von und nur noch von abhängig. - Erst ausrechnen, dann - und sind unabhängig und können daher parallel ausgeführt werden

Gauß-Seidel-Verfahren • Algorithmus: • Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren • Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren • Schritt: Berechne auf parallelen Prozessoren • Schritt: Mit Multibroadcast-Operation Ergebnisse kommunizieren • Schritt: Abbruchkriterium überprüfen • Schritt: Vektor und zu gemeinsamen Ergebnisvektor zusammenführen • Aufwand des Rot-Schwarz-Schemas: • Berechnungsaufwand fast identisch mit dem Jacobi-Verfahren • Eine Mulitbroadcast-Operation mehr • Nicht so gut parallelisierbar wie Jacobi • Zusätzlicher Aufwand wird jedoch durch bessere Konvergenzrate kompensiert

Zusammenfassung • Differentialgleichungen • Können oft zur mathematischen Modellierung herangezogen werden • Sind stetig • Müssen diskretisiert werden, um numerisch gelöst zu werden • Diskretisierung • Beschreibt den Vorgang ein stetiges Problem in ein diskretes umzuwandeln • Erzeugt lineare Gleichungssysteme, die numerisch lösbar sind

Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: • Gaus-Eliminations-Verfahren: • Direktes Verfahren • Exakte Lösung wird errechnet • Vorhersagbare Rechenzeit • Vorhersagbarer Speicherbedarf • Auf alle linearen Gleichungssystemen anwendbar • Fill-in kann auftreten • Schlechte Parallelisierbarkeit

Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: • Jacobi-Verfahren: • Iteratives Verfahren • Kein fill-in • Für dünnbesetzte Matrizen gut geeignet • Rechenzeit nicht vorhersagbar • Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem • Schlechte Konvergenzrate

Zusammenfassung Numerische Lösungsverfahren: • Gauß-Seidel-Verfahren: • Iteratives Verfahren • Kein fill-in • Datenabhängigkeiten innerhalb einer Iteration • Nicht so gut parallelisierbar • Für dünnbesetzte Matrizen in Bandstruktur gut geeignet • Rechenzeit nicht vorhersagbar • Laufzeit abhängig von der Komplexität des Gleichungssystem • bessere Konvergenzrate als Jacobi-Verfahren

Literatur • Michael J. Quinn: Parallel Computing, Theory and Practice, 2nd ed., McGraw-Hill, 1994 • Thomas Rauber, Gudula Rünger: Parallele Programmierung, 2. Aufl., Springer, 2007. • Hartmut Schwandt: Parallele Numerik, Eine Einführung, 1. Aufl., Teubner 2003

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Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

Nummerisches Lösen partieller Differentialgleichungen

Presentation Transcript

Sehnsucht nach Orientierung Jugendreligiosität zwischen totaler und partieller Identifikation