Bremsweg - Anhalteweg

1. Bremsweg - Anhalteweg Situation: 30km – Zone PKW mit guten Bremsen und guten Reifen. Fahrgeschwindigkeit 30km/h. Kind läuft in 20m Entfernung zwischen 2 parkenden Fahrzeugen auf die Fahrbahn. Was passiert? Annahme: Bremsverzögerung PKW: a=6m/s2 Keine „Schrecksekunde“ aufgrund bremsbereiten Fahrens.

2. Bremsweg - Anhalteweg Für den zurückgelegten (Brems)weg s(t) des PKW gelten folgende physikalische Zusammenhänge: Mit: s(t) = v0∙t – 1/2∙a t2 Der Wert t gibt dabei die Zeit des Bremsvorgangs ( Bremszeit) an. Wie lange wirklich gebremst werden muss, hängt von der Fahrgeschwindigkeit ab. Im allgemeinen gilt für die Geschwindigkeit v während des Bremsvorgangs eine lineare Abnahme. D. h.: v(t) = v0 – a ∙ t

3. Bremsweg - Anhalteweg Für unsere Werte gilt daher: Das Fahrzeug muss bis zum Stillstand bremsen – d.h. v(t) =0. Daraus berechnet man die Bremszeit t. v(t) = 25/3 – 6t = 0 und daher t= 25/18 Sekunden (1,39s). Bleibt nur noch die Berechnung des zurückgelegten Weges in dieser Zeit. Für den zurückgelegten Weg nach t Sekunden gilt: s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙6 t2 = 25/3 ∙ t – 3t2 Setzt man für t=25/18 Sekunden ein, erhält man s(25/18) = 625/108 = 5,79m. Glück gehabt – Kind bleibt unverletzt.

4. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Fragen: • 1) Was bewirkt eine (realistische) Reaktionszeit von 0,6 Sekunden („Schrecksekunde“)? • 2) Was bewirkt eine Reaktionszeit von 1 Sekunde? • 3) Was bewirkt eine geringere Bremsverzögerung von a=4m/s2 bzw. a=3m/s2 (bei nasser bzw. schneeglatter Fahrbahn und / oder schlechtem Zustand der Reifen bzw. Bremsen? • 4) Was bewirkt eine (nur geringfügig) überhöhte Geschwindigkeit von 35km/h? • 5) Was bewirkt eine (im Ortsgebiet übliche) Geschwindigkeit von 50km/h?

5. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 1: • Durch die Reaktionszeit von tR = 0,6s setzt der Bremsvorgang entsprechend später ein. • An der Bremszeit ändert sich nicht – aber: • Für zurückgelegten Weg gilt nun: • s(t) = v0∙t – 1/2∙a t2 + v0 ∙ tR, d.h. • s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙6 t2 + 25/3 ∙ 6/10 = 25/3 ∙ t – 3t2 + 5 • Daher: Gesamtanhalteweg um 5m länger – • s(1,39) = 10,79m.

6. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 2: • Eine Reaktionszeit von tR = 1 bewirkt einen um 25/3 m längeren Anhalteweg. Das sind dann 14,12m. • Frage 3: • Eine geringere Bremsverzögerung hat Einfluss auf die Bremszeit. Setzt man a= 4m/s2, so gilt für die Bremszeit t wegen v(t) = 25/3 – 4t = 0 t= 25/12 s = 2,083s. • Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙4 t2 = 25/3 ∙ t – 2t2 und für t=2,083s gilt: • S(2,083) = 8,68m. • Bei einer Reaktionszeit von 0,6s wäre der Anhalteweg 13,68m, bei einer Reaktionszeit von 1s schon 17,01m.

7. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Setzt man a= 3m/s2, so gilt für die Bremszeit t wegen v(t) = 25/3 – 3t = 0 t= 25/9 s = 2,78s. • Der Bremsweg beträgt daher s(t) = 25/3 ∙t – 1/2∙3 t2 = 25/3 ∙ t – 3/2 t2 und für t=2,78s gilt: • S(2,78) = 11,57m. • Bei einer Reaktionszeit von 0,6s wäre der Anhalteweg 16,57m, bei einer Reaktionszeit von 1s schon 19,9m. (Es wird knapp!!)

8. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Frage 4: • Bei „perfekter“ Verzögerung von a= 6m/s2 bewirkt eine leicht überhöhte Geschwindigkeit von 35 km/h (entsprechen 175/18m/s)zunächst eine Verlängerung der Bremszeit: • Es gilt wegen v(t) = 175/18 – 6t = 0 für t: t=175/108 s oder 1,62s. • Der Bremsweg beträgt daher: s(t) = 175/18 t – 3t2 und für t=175/108 erhält man: s=7,88m. • Bei einer Reaktionszeit von 0,6s (bzw. 1s) ist allerdings zu beachten, dass aufgrund der höheren Geschwindigkeit in dieser Zeit auch eine entsprechend längere Wegstrecke zurückgelegt wird. • Der Anhalteweg beträgt bei tR =0,6s 13,71m, bei tR =1s 17,6m. • Frage5: …selbst probieren!

9. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Ein paar allgemeinere Überlegungen: • Für die Anfangsgeschwindigkeit v0 erhält man die Bremszeit stets aus v(t) = v0 - a∙ t = 0. Es gilt: • Für den Bremsweg ohne Reaktionszeit gilt s(t) = v0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t2. • Setzt man in die letzte Formel den Term für t ein, erhält man:

10. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • und damit eine Formel in Abhängigkeit von v0. • Berücksichtigt man in dieser Formel noch die Reaktionszeit tR, so gilt: • s(t) = v0 ∙ t – 1/2 ∙a ∙ t2 + v0 ∙ tR und nach neuerlichem Einsetzen des Terms für t: Kennt man nun a=6m/s2 und tR =0,6s kann man die Frage nach der maximalen Geschwindigkeit stellen, um vor einem Hindernis stehenbleiben zu können.

11. Bremsweg – Anhalteweg – jetzt wird’s kritisch… • Für s=20m bedeutet dies, die Gleichung: 20= 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0 zu lösen. Dies ist eine allgemeine quadratische Gleichung – Lösungsformel verwenden. • Man erhält 2 Lösungen, von denen v0 = 12,3 m/s die einzig sinnvolle ist. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von 44,28 km/h.

12. Bremsweg – Anhalteweg – quadratische Funktionen • Kennt man nun a=6m/s2 und tR =0,6s, stellt der Term: • 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0 • eine Formel für den Anhalteweg dar. • Die Zuordnung s(v0)= 1/12∙ v02 + 0,6∙ v0 ist eine quadratische Funktion in der Variablen v0. • Stellt man eine Tabelle für unterschiedliche Werte von v0 auf (v0 >0), erkennt man ihren typischen Verlauf:

14. Übungsaufgaben • Führe alle Berechnungen für das Ortsgebiet (50 km/h) und eine Distanz von 30m bis zum Hindernis durch! • Ergebnisse: • Für v0=50km/h = 125/9m/s und a=6m/s2 gilt: • Bremszeit t=2,31s Bremsweg: s=16,08m. Für Reaktionszeit tR=0,6s: Anhalteweg: 24,41m, für Reaktionszeit tR=1s: Anhalteweg: 29,96m. • Für a=4m/s2 gilt: • Bremszeit t=3,47s Bremsweg: s=24,11m. Für Reaktionszeit tR=0,6s: Anhalteweg: 32,45m, für Reaktionszeit tR=1s: Anhalteweg: 38,00m. In beiden Fällen: Krankenhaus!

15. Übungsaufgaben • Für a=3m/s2 gilt: • Bremszeit t=4,63s Bremsweg: s=32,15m. Für Reaktionszeit tR=0,6s: Anhalteweg: 40,48m, für Reaktionszeit tR=1s: Anhalteweg: 46,04m. In beiden Fällen: Krankenhaus! • Zusatzfrage: Aufprallgeschwindigkeit • Mit welcher Geschwindigkeit prallt das Fahrzeug im letzten Fall auf das Hindernis? • Lösung: • Nach welcher Zeit hat das Fahrzeug 30m zurückgelegt? • D.h. 125/9 t – 3/2 t2 + 125/9 = 30 und daraus t= 1,36s. Setzt man t=1,36s in die Funktion v(t) = 125/9 – 3t ein, erhält man die „Restgeschwindigkeit“ zum Zeitpunkt des Aufpralls • (hier: 9,81m/s oder 35,32km/h)

16. Übungsaufgaben • Situation: Autobahn – Stau – erkennbar in einer Entfernung von 200m (Stauende liegt in einer Kurve) • PKW: Geschwindigkeit 130km/h , a=6m/s2 tR=0,6s • LKW 50m hinter PKW, erkennt Stauende aufgrund der höheren Sitzposition gleichzeitig: • Geschwindigkeit 90km/h a=3m/s2 tR=0,6s. • Frage: Können beide Fahrzeuge vor dem Stauende anhalten? • Lösung: • PKW: Bremszeit: 6,02s, Anhalteweg: 130,33m • LKW: Bremszeit: 8,33s, Anhalteweg: 119,17m • d.h. beide können anhalten, LKW bleibt hinter PKW stehen.

17. Übungsaufgaben • Variante 1: LKW erkennt das Stauende zwar gleichzeitig mit dem PKW (also in 250m Entfernung), hat aber abgefahrene Reifen und schlechte Bremsen, daher a=2m/s2 (Geschwindigkeit unverändert 90km/h): • Lösung: • LKW: Bremszeit: 12,5s, Anhalteweg: 171,25m. • Achtung: Der Anhalteweg des LKW ist größer als jener des PKW, allerdings stehen ihm 250m Strecke zur Verfügung. Der PKW stoppt 69,66m vor dem Stau, der LKW 78,75m vor dem Stau. Ein Aufprall auf den PKW kann damit vermieden werden.

18. Übungsaufgaben • Variante 2: LKW erkennt das Stauende ebenfalls erst in 200m Entfernung, hat abgefahrene Reifen und schlechte Bremsen, daher a=2m/s2 , überhöhte Geschwindigkeit 100km/h: • Lösung: • LKW: Bremszeit: 13,89s, Anhalteweg: 209,56m. • Dem LKW stehen nur 130,33 + 50 = 183,33m zum Anhalten zur Verfügung, er prallt daher in jedem Fall in den PKW! • Aufprallgeschwindigkeit? • Für den LKW gilt: s(t)=250/9 t – t2 + 250/9 ∙0,6. • Will man wissen, wie lange der LKW für 183,33m braucht, setzt man s(t) = 183,33. Man erhält die Bremszeit t= 8,77s. Zu diesem Zeitpunkt hat der LKW eine „Restgeschwindigkeit“ von 10,24m/s, das sind ca. 36,88km/h!! Das Grauen beginnt…