第十七章格与布尔代数

第十七章格与布尔代数 §1 偏序与格

一、格的一般概念 • 偏序集(P;≤)是由一个非空的集合P 及在P上定义的偏序关系≤构成 • 在偏序集(P;≤)中，若对任意a,bP有a≤b或b≤a 时称P为全序。 • 定义17.1:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。

定义17.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。定义17.2:(L;≤)为格,如果a≤b,ab(记为a<b),且不存在uL-{a,b}使a≤u≤b,则称b覆盖a。 • 当a<b时,如有c1,,ckL(k1),使ci+1覆盖ci(i=1,2,,k-1),且有a=c1<c2<<ck=b,则称c1,,ck为连接a,b的链。如果L的任何两个元素a<b,总有连接它们的链, 则称L是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。

例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集,例:设G是一个群,L(G)表示G的所有子群构成的集合,则L(G)关于集合包含关系构成一个偏序集, 并且是格. 称为G的子群格 • 例:设G是一个群,P(G)表示G的所有正规子群构成的集合,则P(G)关于集合包含关系构成一个偏序集并且是格. 称为G的不变子群格

例:设B={0,1},≤n为定义在Bn上的关系, 对任(a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn)当且仅当ai≤nbi(1in),显然这是一个偏序关系。并且(Bn,≤n)是格.

格的定义是:设(L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。 • 定义17.3(L;≤)为偏序集, 当任AL有最大下界,最小上界时,L显然是格,称为完全格。L自身的最小上界是整个格L的最大元,记为1;L自身的最大下界为整个格L的最小元,记为0。于是任xL,x≤1,0≤x。 • 注意: 此处的子集A可以是有限的, 也可以是无限的。 • 例如前面的子群格L(G)是完全格.

例:取S={a,b,c},(P(S);)是一个格,其最大元是S={a,b,c},最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界, 如{{a},{a,c},{c}}的最大下界是,最小上界是{a,c};它是一个完全格。 • 要说明的是并不是所有的格都是完全格.

二、作为代数系统的格 • (L;≤)为偏序集, 如果对任意的a,bL有最小上界与最大下界时,称L为格。以ab=lub(a,b)表示a,b的最小上界,ab=glb(a,b)表示a,b的最大下界。而最小上界和最大下界都是L中的元素。 • 在格(L;≤)中，对任意两个元素a,bL,可唯一确定ab和ab,且它们都属于L，和看作为集合L上的2个二元运算

定理17.1:(L;≤)为格,则对任意a,bL有: • (1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; • (2)a≤b当且仅当ab=b; • (3)a≤b当且仅当ab=a。

非空集合L上和这两个二元运算所具有性质，[L;,]为一个代数系统。非空集合L上和这两个二元运算所具有性质，[L;,]为一个代数系统。 • 定理17.2:(L;≤)为格,任a,b,cL有: • L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点对于一个代数系统[L;,],其中,为L上的二元运算,它们满足L1～L4,此时有何特点 • 引理17.1:在[L;,]中二元运算,满足L1～L4,则对任a,bL,ab=a,当且仅当ab=b。 • 引理17.2：在[L;,]中,,满足L1～L4,在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。 • 自反: • 反对称: • 传递:

在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。在代数系统[L;,]中,,满足L1～L4,定义在L上定义二元关系≤:对任意a,bL,a≤b,当且仅当ab=b，则(L;≤)为偏序集。 • (L;≤)是否为格？ • 关键证明存在最小上界和最大下界 • 因此考虑是否能证明ab,ab为最小上界和最大下界 • 先证明ab是a和b的上界, • 即是否成立a≤ab, b≤ab • L1～L4 • 然后证明ab为a和b的最小上界 • 即证明若存在uL,使得a≤u,b≤u, • 必有ab≤u

定理17.3:如引理17.2所得之偏序集(L;≤)为格。 • 定义17.4: [L;,]为一代数系统,,为定义在L上的二元运算,当其满足L1～L4时，称L为格。并称为积(或交),为和(或并)

例：Z+表示正整数集，对任意a,bZ+,定义:ab=(a,b) (最大公因子) ab=[a,b] (最小公倍数) ,是Z+上的二元运算它们满足L1～L4 取Z+的子集P={2n|n=1,2,} 有最大下界2,无最小上界，所以它不是完全格。

定义：[L;,]为格，若L中存在元素0，使得对任意的xL有x0=x,则称0为的单位元，并称0是格的零元；若L中存在元素1，使得对任意的xL有x1=x,则称1为的单位元，并称1是格的单位元。定义：[L;,]为格，若L中存在元素0，使得对任意的xL有x0=x,则称0为的单位元，并称0是格的零元；若L中存在元素1，使得对任意的xL有x1=x,则称1为的单位元，并称1是格的单位元。 • 例：A的幂集格[P(A);,] • 群G的子群格[L(G);,] • [Z+;,] • (Z;)是格，但既无单位元，又无零元。

零元(单位元)存在则必唯一 • 定理：若格[L;,]存在零元0和单位元1，则0和1分别是L的最小元和最大元。 • 由于具有零元和单位元的格一定有最小元和最大元，称为有界格。

定理17.4(保序性):格[L;,],任a,b,cL,当b≤c时有ab≤ac及ab≤ac。定理17.4(保序性):格[L;,],任a,b,cL,当b≤c时有ab≤ac及ab≤ac。 • 定义17.5:[L;,]为格,T, TL,T关于,封闭(即a,bT则abT, abT)时,则称T为L的子格。

必须注意的是：当T为L的子格时,T一定是格; 但当TL,T关于L中的偏序关系≤为格时,T不一定是L的子格。 • 例：S={1,2,3},S3={e,1, 2, 3, 4, 5}为三次对称群，则(P(S3);)是格，并且是完全格。取T={{e}, H1,H2,H3,H4,S3},其中H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}都是S3的子群，则(T;)是格,但它不是(P(S3);)的子格。

三、格的同态与同构 • 定义17.6:设[L;,]与[S;+,·]为两个格,如果存在映射:L→S使对任a, bL有: (ab)=(a)+(b), (ab)=(a)·(b),则称为L到S的同态映射,当(L)=S即为满射时又说格L与格S同态;当是一一对应时说格L与S同构;若S=L时又分别称它是自同态与自同构。

定理17.5:格[L;,]与格[S;,]同态,为其同态映射,则是保序映射, 即对任a, bL,当a≤b时,(a)≤(b)。 • 保序映射不一定是同态映射

定理17.6:是格L到格S的一一对应, 则是同构映射,当且仅当:对任何a,bL,a≤b当且仅当(a)≤(b)。

作业P356 3,8,9,10 • 答疑时间： • 5月3日(周二)下午3：00——5：00 • 地点：软件楼4楼密码与信息安全实验室

L1幂等律:aa=a,aa=a; • L2交换律:ab=ba,ab=ba; • L3结合律:a(bc)=(ab)c, • a(bc)=(ab)c; • L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。

定理17.5:格[L;,]与格[S;,]同态,为其同态映射,则是保序映射, 即对任a, bL,当a≤b时,(a)≤(b)。

第十七章 格与布尔代数